2 Calculus’un Özü

Daireden integrale + türeve + Calculus’un Temel Teoremine

Bölüm bilgisi

Grant’ın videosu: YouTube — Chapter 1: The Essence of Calculus (≈17 dk)
Kaynak: 3Blue1Brown — Essence of Calculus
Okuma süresi: ≈22 dk

2.1 Bu Derste Ne Var?

Calculus genelde bir yığın kural ve formülle gelir: türev formülleri, çarpım kuralı, zincir kuralı, kapalı türev, integralle türevin zıt olması, Taylor serileri… ve bunlar ezberlenecek şeyler gibi sunulur. Grant’ın hedefi bambaşka: dersin sonunda “bunu ben de icat edebilirdim” hissiyle kalmanı.

Bu ilk bölümde tek bir geometri parçasını — bir dairenin alanını — derinlemesine düşünerek calculus’un üç büyük fikrine birden tökezliyoruz. $\pi r^2$ formülünü biliyorsun; ama nereden geldiğini güzel bir yolla görmek, seni doğrudan calculus’un kalbine götürüyor.

Üç büyük fikir:

İntegral — bir eğrinin altındaki alan; “çok sayıda küçük nicelik”in toplamı.
Türev — anlık değişim oranı; bir fonksiyonun girdideki küçük dürtüşe ne kadar duyarlı olduğu.
Bu ikisinin ters olması — Calculus’un Temel Teoremi (FTC): türev ve integral birbirinin tersi.

flowchart LR
    A["🔵 Bir dairenin alanı"] --> B["Halkalara böl"]
    B --> C["Her halka ≈ 2πr·dr"]
    C --> D["Halkaları üçgenleştir"]
    D --> E["½·R·2πR = πR²"]
    E --> F["💡 İntegral fikri"]
    F --> G["A(x) = ∫₀ˣ t² dt"]
    G --> H["dA/dx = x²"]
    H --> I["💡 Türev fikri"]
    F --> J["💎 Calculus'un Temel Teoremi<br/>(türev = integralin tersi)"]
    I --> J

    style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px
    style F fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style I fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style J fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px

Şekil 2.1: Bu bölümün kavram haritası — bir dairenin alanından FTC’ye

“my goal is for you to come away feeling like you could have invented calculus yourself.” — Grant, 0:54

Builder Notu — ML Köprüleri

Türev = gradient + backprop’un temeli. Bir loss fonksiyonunun her ağırlığa duyarlılığı ($dLoss/dw$) bir türevdir; gradient descent bu oranın ters yönünde adım atar.
İntegral = beklenen değer / Monte Carlo. $E[f(X)] = \int f(x)\,p(x)\,dx$ — sürekli bir toplama. Çok örneğin ortalaması bu integrali tahmin eder.
Yaklaşıktan kesine geçiş ($dr \to 0$) = limit. Sürekli optimizasyonun, gradient flow’un ve neural ODE’lerin matematiksel zemini.
Türev↔︎integral terslik (FTC) → RL’de kümülatif ödül (value function) ile anlık ödül arasındaki ilişki; forward/backward dualitesi.
“Kendin keşfedebilirdin” = builder zihniyeti. Formülü ezberleme, nereden geldiğini gör — her ML tekniğine böyle bak.

2.2 Tek Bir Soru: Bir Dairenin Alanı

Hikaye basit başlıyor: sen ve bir daire — diyelim yarıçapı $3$. Alanını bulmaya çalışıyorsun. Bir sürü kâğıt harcayıp alanı farklı şekillerde parçalayıp yeniden dizdikten sonra, umut verici bir fikir deniyorsun: daireyi eşmerkezli (iç içe) halkalara dilimlemek.

Bu neden umut verici? Çünkü dairenin simetrisine saygı gösteriyor — ve matematik, simetrisine saygı gösterdiğinde seni ödüllendirme eğilimindedir.

“math has a tendency to reward you when you respect its symmetries.” — Grant, 2:24

Halkalardan birini al: iç yarıçapı $r$ olsun, $0$ ile $3$ arasında bir yerde. Plan şu: (1) her halkanın alanı için temiz bir ifade bulmak, (2) hepsini düzgünce toplamanın bir yolunu bulmak. Bu iki parça bir araya gelince, tüm dairenin alanı ortaya çıkacak.

Builder Notu — Simetri ve Invariance

Simetriye saygı — yani problemi “doğru koordinatlarda” parçalamak — ML’de invariance/equivariance olarak karşımıza çıkar. CNN’ler öteleme değişmezliğinden güç alır (kediyi nerede görürsen gör, kedidir); görev simetrisine uygun bir mimari/parametreleme seçmek, öğrenmeyi dramatik biçimde kolaylaştırır. Grant’ın “doğru dilimleme” sezgisi tam da budur: problemin yapısına uygun ayrıştırma, çözümü kendiliğinden getirir.

2.3 Halkayı Açmak: $2\pi r \cdot dr$

Bir halkayı al ve düzleştir; düz bir şeride dönüştür. Bu yeni şeklin tam ne olduğunu düşünebilirsin, ama basitlik için onu bir dikdörtgen olarak yaklaştıralım. Dikdörtgenin genişliği, orijinal halkanın çevresidir: $2\pi r$ (zaten $\pi$’nin tanımı bu). Kalınlığı ise daireyi ne kadar ince dilimlediğine bağlı — şu an keyfî bir seçim. Standart calculus notasyonuyla bu kalınlığa $dr$ diyelim: yarıçaptaki sonsuz küçük bir fark, örneğin $0{,}1$.

“let’s call that thickness dr, for a tiny difference in the radius from one ring to the next.” — Grant, 3:20

Böylece açılmış halkanın alanı, yaklaşık olarak genişlik çarpı kalınlık:

\[ A_{\text{halka}} \approx 2\pi r \, dr \]

Bu tam doğru değil — şerit gerçek bir dikdörtgen değil, hafifçe yamuk. Ama $dr$ küçüldükçe yaklaşım giderek daha iyi olur: şeridin üst ve alt kenar uzunlukları ($2\pi r$ ile $2\pi(r+dr)$) birbirine yaklaşır, aradaki fark $2\pi \cdot dr$ ile orantılı biçimde sıfıra gider.

Builder Notu — Yerel Doğrusallaştırma

“Eğri parçayı küçük ölçekte düz say” — bu yerel doğrusallaştırma (local linearization), calculus’un en sık tekrar eden hilesidir. Türev tam olarak budur: bir fonksiyonu bir nokta civarında en iyi doğru ile değiştirmek. ML’de bir loss yüzeyini gradient (birinci derece terim) ile yerel olarak düzleştiririz; her gradient descent adımı, “yeterince küçük bir komşulukta yüzey neredeyse düzdür” varsayımına dayanır.

2.4 Yaklaşıktan Kesine: Üçgenin Alanı

Şimdi bu dikdörtgenleri, $r = 0$’dan $r = 3$’e kadar bir eksen boyunca yan yana dik diz. Her birinin kalınlığı $dr$, yüksekliği ise o yarıçaptaki $2\pi r$ değeri. Yükseklikler $2\pi r$ olduğundan, dikdörtgenlerin uçları eğimi $2\pi$ olan bir doğrunun üstünde oturur: $y = 2\pi r$ grafiği.

Şimdi güzel kısım: $dr$ küçüldükçe dikdörtgen sayısı patlar, ama hepsinin toplam alanı yalnızca bu doğrunun altındaki alana benzer. O bölge bir üçgendir — tabanı $3$, yüksekliği $2\pi \cdot 3$.

\[ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (2\pi \cdot 3) = 9\pi = \pi \cdot 3^2 \]

Yarıçap genel olarak $R$ olsaydı, aynı üçgen argümanı:

\[ \frac{1}{2} \cdot R \cdot (2\pi R) = \pi R^2 \]

İşte dairenin alan formülü — ezberlenecek bir şey değil, halkaları toplamanın doğal sonucu.

İşin kalbi şu ince geçişte: problem, her biri $2\pi r \cdot dr$ gibi görünen çok sayıda küçük sayının toplamıyla yaklaşık çözülebiliyordu. $dr$ küçüldükçe (daireyi giderek daha ince halkalara böldükçe) bu toplam, grafik altındaki kesin alana yakınsıyor. Yaklaşıktan kesine bu geçiş, calculus’un ne olduğuna dair en derin fikirdir.

“the way that we transitioned from something approximate to something precise … cuts deep to what calculus is all about.” — Grant, 7:08

Builder Notu — Riemann → Monte Carlo

Bu tam olarak bir Riemann toplamı → integral geçişidir. ML’de beklenen değer $E[f(X)] = \int f(x)\,p(x)\,dx$, Monte Carlo ile tahmin edilir: çok sayıda örneğin ortalaması = küçük katkıların toplamı; örnek sayısı $N \to \infty$ iken gerçek integrale yakınsar (tıpkı $dr \to 0$ gibi). Policy gradient, ELBO ve difüzyon kayıpları hep bu “küçük niceliklerin toplamı → integral” iskeletine dayanır.

2.5 İntegral: Başka Eğrilerin Altındaki Alan

Daire problemi tek başına güzel; ama asıl kazanç, yöntemin kendisi. Matematikte ve bilimde pek çok zor problem, çok sayıda küçük niceliğin toplamı olarak yaklaştırılabilir — ve bu toplamlar çoğu zaman bir grafiğin altındaki alan sorusuna dönüşür.

Örnek: bir arabanın kat ettiği mesafeyi, her andaki hızından bulmak istiyorsun. Zamanı küçük $dt$ aralıklarına böl; her aralıkta mesafe $\approx v(t) \cdot dt$. Hepsini topla → kat edilen toplam mesafe = hız grafiğinin altındaki alan. Daire ile birebir aynı yapı.

Şimdi unutamayacağın bir soru: parabol, yani $x^2$ grafiği. $0$ ile $x$ arasında bu eğrinin altındaki alan nedir? Sol ucu $0$’da sabitleyip sağ ucu serbest bırakalım. $x$’e bağlı bir alan fonksiyonu $A(x)$ bulabilir misin? Böyle bir $A(x)$’e $x^2$’nin integrali denir.

Calculus bunu bulmanın araçlarını içerir; ama şu an $A(x)$ bizim için bir gizem — yalnızca $x^2$ altındaki alanı verdiğini biliyoruz, ne olduğunu değil.

“finding this area, this integral function, is genuinely hard.” — Grant, 11:14

Zor bir soruyla karşılaşınca Grant’ın tavsiyesi: doğrudan cevaba saldırma; fikirle oyna, $A(x)$ ile $x^2$ arasındaki ilişkiye aşinalık kur.

“a good policy is to not try too hard to get at the answer directly … play around with the idea.” — Grant, 11:22

Builder Notu — Biriktirme

İntegral bir biriktirmedir (accumulation). “$v \cdot dt$’leri topla → mesafe”, sayısal entegrasyonun (Euler yöntemi) ve onun sürekli limitinin tam olarak nasıl çalıştığıdır: bir neural ODE’de durum $= \int \text{dinamik}\,dt$. Yine beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$ de bir integraldir — modellerde “ortalama davranışı” hesaplamak, küçük katkıları biriktirmek demektir.

2.6 Türev: $dA/dx$ Oranı

Gizem fonksiyonu $A(x)$ ile oynamaya devam edelim. $x$’i küçük bir $dx$ kadar dürt. Alanda ortaya çıkan değişim, ince bir dilimdir — buna $dA$ diyelim. Bu dilim, yüksekliği $x^2$ ve genişliği $dx$ olan bir dikdörtgenle iyi yaklaştırılabilir. Yani $dA \approx x^2 \cdot dx$; yeniden düzenlersek $dA/dx \approx x^2$. $dx$ küçüldükçe bu yaklaşım daha da iyi olur.

\[ \frac{dA}{dx} \approx \frac{A(x + dx) - A(x)}{dx} \approx x^2 \]

Dikkat: $A(x)$’in ne olduğunu hâlâ bilmiyoruz — ama sağlaması gereken bir özellik bulduk. Somut örnek: $3$ ile $3{,}001$ noktalarında $[A(3{,}001) - A(3)] / 0{,}001$ oranı, yaklaşık $3^2 = 9$ olmalı. Ve bu her $x$ için geçerli, yalnızca $3$ için değil.

Aslında özel olan $x^2$ değil: bir grafiğin altındaki alan olarak tanımlı her fonksiyonun bu özelliği vardır — $A$’ya verilen küçük bir dürtüşün, onu tetikleyen $dx$’e oranı, o noktadaki grafiğin yüksekliğine eşittir. Bu oranın ($dx \to 0$ iken yaklaştığı değer) bir adı var: $A$’nın türevi.

\[ \frac{dA}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{A(x + dx) - A(x)}{dx} \]

Gevşek bir ifadeyle türev, bir fonksiyonun girdisindeki küçük değişimlere ne kadar duyarlı olduğunun ölçüsüdür.

“the derivative … loosely speaking it’s a measure of how sensitive a function is to small changes in its input.” — Grant, 14:31

Builder Notu — Gradient ve Autodiff

İşte büyük olan. $dA/dx$, “$x$’i azıcık değiştirince çıktı ne kadar değişir” oranıdır — yani gradient’in tek değişkenli hâli. Eğitimde $dLoss/dw$ her ağırlığın loss’a duyarlılığını verir; gradient descent bu oranın ters yönünde adım atar. “Girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç” sezgisi, otomatik türevin (autodiff) çekirdeğidir; backprop bu oranları zincir kuralıyla verimli hesaplar (Ders 4’te göreceğiz). Sonlu fark (finite difference) sezgisi de budur: $dx$’i çok küçük seçip $[f(x+dx) - f(x)]/dx$ ile türevi sayısal olarak yoklamak.

2.7 Temel Teorem: Türev ile İntegral Terstir

Elimizde şu var: gizem fonksiyonu $A(x)$ ($x^2$ altındaki alan) ve onun türevinin $x^2$ olduğu bilgisi. $A$’yı bulmak için tersten çöz: türevi $x^2$ olan fonksiyon hangisidir? Türev hesaplamada yeterince ustalaşınca, türevi verilen bir fonksiyonu geri mühendislikle bulabilirsin.

İntegrallerle türevler arasındaki bu gidiş-geliş — bir grafik altındaki alan fonksiyonunun türevinin, grafiği tanımlayan fonksiyonu geri vermesi — Calculus’un Temel Teoremi olarak bilinir. İki büyük fikri birbirine bağlar ve bir anlamda her birinin diğerinin tersi olduğunu gösterir.

flowchart LR
    F["f(x)<br/>(eğri)"] -- "integral<br/>(alanı biriktir)" --> A["A(x) = ∫₀ˣ f(t) dt"]
    A -- "türev<br/>dA/dx" --> F
    style F fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px

Şekil 2.2: Calculus’un Temel Teoremi (FTC): türev ve integral, birbirinin tersidir.

“this back and forth between integrals and derivatives … is called the fundamental theorem of calculus … each one is an inverse of the other.” — Grant, 15:31

Builder Notu — Forward/Backward Dualitesi

Temel Teorem, biriktirme ile oran arasındaki derin bağdır. Pekiştirmeli öğrenmede (RL) value function $V$ — zamana yayılmış indirimli kümülatif ödül, bir tür “integral” — ile anlık ödül (onun “türevi”) Bellman denklemiyle birbirine bağlıdır; bu, FTC’nin ayrık akrabasıdır. Forward (biriktir) ve backward (türevini al / geri yay) dualitesi hem otomatik türevde hem de dinamik programlamada tekrar tekrar karşına çıkar.

2.8 Bu Dersin Özeti

Calculus, “ezberlenecek formüller” değil; doğru resmi çizersen kendin keşfedebileceğin bir avuç fikirdir.
Bir dairenin alanını eşmerkezli halkalara dilimleyerek bulduk: her halka $\approx 2\pi r$ genişliğinde, $dr$ kalınlığında bir dikdörtgen, alanı $2\pi r \cdot dr$.
Halka alanlarını toplamak = $y = 2\pi r$ doğrusunun altındaki üçgenin alanı = $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (2\pi \cdot 3) = \pi \cdot 3^2$. Bu, integral fikrinin somut hâli.
Asıl derin nokta: $dr$ küçüldükçe bu yaklaşık toplam, grafik altındaki kesin alana yakınsar. Yaklaşıktan kesine geçiş, calculus’un kalbidir.
$x^2$ eğrisinin altındaki alan $A(x)$ bir gizem; ama $dA/dx = x^2$ olduğunu çıkarabiliyoruz. Bu oran türev.
Türev = bir fonksiyonun girdideki küçük değişime duyarlılığı ($dx \to 0$ iken $dA/dx$).
$A$’nın türevi orijinal grafiği geri verir → Calculus’un Temel Teoremi: türev ve integral birbirinin tersidir.

Tek bir cümle

Calculus iki büyük fikir üzerine kuruludur — integral (küçük niceliklerin toplamı = eğri altı alan) ve türev (anlık değişim oranı) — ve bu ikisi birbirinin tersidir; üçünü de tek bir daireyi dilimleyerek kendin keşfedebilirdin.

2.9 Kontrol Soruları

Soru 1: Yarıçapı R = 5 olan bir daire için halka-dilimleme argümanını uygula. Alanı bul.

Cevap: Halka alanı $\approx 2\pi r \cdot dr$, $r \in [0, 5]$. Bu dikdörtgenleri yan yana dizince eğimi $2\pi$ olan $y = 2\pi r$ doğrusunun altındaki üçgeni elde ederiz: taban $5$, yükseklik $2\pi \cdot 5 = 10\pi$. Alan $= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\pi = 25\pi = \pi \cdot 5^2$. Genel $R$ için aynı argüman $\pi R^2$ verir — yani formül, halkaları toplamanın doğrudan sonucudur.

Soru 2: dr küçüldükçe ‘halka ≈ dikdörtgen’ yaklaşımı neden daha iyi oluyor?

Cevap: Açılmış halkanın iç kenarı $2\pi r$, dış kenarı $2\pi(r+dr)$ uzunluğundadır; aradaki fark $2\pi \cdot dr$. $dr \to 0$ iken bu iki kenar birbirine yaklaşır, şekil gerçek bir dikdörtgene yakınsar ve “dikdörtgen” yaklaşımının hatası $dr$ ile orantılı biçimde sıfıra gider. Daha ince dilimleme = daha küçük hata.

Soru 3: v(t) hızıyla giden bir araç. Neden kat edilen mesafe = hız grafiğinin altındaki alan?

Cevap: Küçük bir $dt$ aralığında hız neredeyse sabittir, dolayısıyla o aralıkta kat edilen yol $\approx v(t) \cdot dt$. Tüm $dt$’lerdeki bu küçük yolları toplamak, hız grafiğinin altındaki ince dikdörtgenleri toplamaktır; $dt \to 0$ iken toplam, eğrinin altındaki alana yakınsar. Bu, daire problemiyle birebir aynı yapıdır: küçük niceliklerin toplamı = bir grafiğin altındaki alan = integral.

Soru 4: (Builder) dA/dx = x² ilişkisi gradient descent ile nasıl bağlanır?

Cevap: $dA/dx$, “$x$’i azıcık değiştirince $A$ ne kadar değişir” oranıdır = türev, yani gradient’in tek değişkenli hâli. Eğitimde $dLoss/dw$ her ağırlığın loss’a duyarlılığını ölçer; gradient descent bu oranın ters yönünde küçük bir adım atarak loss’u azaltır. “Girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç” sezgisi otomatik türevin (autodiff) çekirdeğidir; backprop bu oranları zincir kuralıyla katman katman verimli hesaplar (Ders 4).

2.10 Egzersizler

Egzersiz 1. Daire argümanını bir kürenin hacmine uyarla: küreyi, yarıçapı $r \in [0, R]$ olan ince küresel kabuklara böl. Her kabuğun yüzey alanı $4\pi r^2$, kalınlığı $dr$, dolayısıyla hacmi $\approx 4\pi r^2 \cdot dr$. Bu küçük hacimleri toplamak hangi grafiğin (hangi fonksiyonun) altındaki alana karşılık gelir? (Sonucun $\frac{4}{3}\pi R^3$ çıkması gerekir — neden?)

Egzersiz 2. Bir $A(x)$ fonksiyonunun türevinin $x^3$ olduğunu bildiğini varsay (yani $dA/dx = x^3$). $3$ ile $3{,}01$ noktalarında $[A(3{,}01) - A(3)] / 0{,}01$ oranının yaklaşık hangi sayıya eşit olmasını beklersin? Cevabını $dx \to 0$ limiti açısından gerekçelendir.

Egzersiz 3. (Yapısal) Bir üçgenin alanının neden $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$ olduğunu, daire argümanındaki $y = 2\pi r$ doğrusunun altında kalan bölgeyi düşünerek açıkla. (İpucu: bu doğru orijinden geçiyor; tabanı $3$, yüksekliği $2\pi \cdot 3$ olan dik üçgen, kenarları $3$ ve $2\pi \cdot 3$ olan dikdörtgenin tam yarısıdır.)

Egzersiz 4. (Python — görsel doğrulama) Daireyi $N$ halkaya bölüp alanı Riemann toplamıyla yaklaştır ve $\pi R^2$ ile karşılaştır. $N$ büyüdükçe mutlak hatanın küçüldüğünü hem sayısal hem grafiksel göster.

Egzersiz 5. (Sonraki dersin habercisi) Bu kez alanı değil, fonksiyonun kendisini ele al: $f(x) = x^2$. $[f(x+dx) - f(x)] / dx$ oranını $dx$ cinsinden aç ve sonucu “$2x +$ (bir terim)” biçiminde yaz. $dx \to 0$ iken hangi terim kaybolur? Bulduğun sonuç, Ders 2’de “türevin paradoksu” olarak göreceğimiz $d(x^2)/dx = 2x$ ifadesidir.

2.11 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 2: Türevin Paradoksu

Ders 2’de türevi yakından inceliyoruz. “Anlık değişim oranı” aslında ince bir paradoks barındırır: tek bir anda hiçbir şey değişmez (değişim için iki an gerekir), ama yine de anlamlı bir “anlık hız” tanımlarız. Grant bu paradoksu $dx \to 0$ limitiyle çözer ve $d(x^2)/dx = 2x$ sonucunu, bir kareyi büyüterek tamamen geometrik olarak türetir.

Ana konular:

Türevin paradoksu: “anlık değişim oranı” tam olarak ne demek?
$d(x^2)/dx = 2x$’in geometrik türetimi (ve neden ihmal edilen $dx^2$ terimi sıfıra gider).
Türev = bir noktadaki teğet doğrunun eğimi.

Ders 2 öncesi yapılacak

Egzersizleri çöz — özellikle 4 (Riemann simülasyonu) ve 5 ($d(x^2)/dx$ önizlemesi).
“Yaklaşıktan kesine” geçişin ($dr \to 0$) neden calculus’un kalbi olduğunu kendi cümlenle yaz.
Ana cümleyi tekrar oku: “Calculus iki büyük fikir üzerine kuruludur — integral ve türev — ve bu ikisi birbirinin tersidir.”

2.12 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Grant’ta
İntegral	Bir eğrinin altındaki alan; küçük niceliklerin toplamının limiti	8m14
Türev	$dA/dx$; bir fonksiyonun girdideki küçük değişime duyarlılığı	14m16
Halka alanı ($2\pi r \cdot dr$)	Açılmış halkanın yaklaşık dikdörtgen alanı (çevre × kalınlık)	3m20
$\pi R^2$ türetimi	$y = 2\pi r$ doğrusu altındaki üçgen: $\frac{1}{2} \cdot R \cdot 2\pi R$	6m28
Yaklaşıktan kesine	$dr \to 0$ iken toplam, grafik altındaki tam alana yakınsar	7m08
$A(x)$: integral fonksiyonu	$x^2$ altındaki, $0$’dan $x$’e kadar olan alan	10m37
$dA/dx$ = grafiğin yüksekliği	Alan fonksiyonunun türevi = eğrinin o noktadaki değeri	13m50
Temel Teorem (FTC)	Türev ve integral birbirinin ters işlemidir	15m31
“Kendin keşfet”	Grant’ın pedagojik hedefi: formülü değil, kaynağını anla	0m54
Simetriye saygı	Doğru parçalama (eşmerkezli halkalar) problemi çözer	2m24

2.13 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Türev ($dA/dx$) → gradient: loss’un parametreye duyarlılığı; gradient descent bu yönün tersine adım atar.
Oran/dürtme sezgisi → otomatik türev (autodiff) ve backprop: “girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç”ün mekanikleştirilmesi (Ders 4’te zincir kuralı).
İntegral (küçük niceliklerin toplamı) → beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$ ve Monte Carlo: çok örneğin ortalaması, $N \to \infty$ iken yakınsar ($dr \to 0$’ın aynası).
Yaklaşıktan kesine / $dr \to 0$ → limit: sürekli optimizasyon, gradient flow, neural ODE (durum $= \int \text{dinamik}\,dt$).
Temel Teorem (türev ↔︎ integral terslik) → RL’de value function (kümülatif ödül = “integral”) ile anlık ödül (“türev”) arasındaki Bellman bağı; forward/backward dualitesi.
Simetriye saygı (doğru parçalama) → invariance/equivariance: CNN’de öteleme değişmezliği; göreve uygun ayrıştırma öğrenmeyi kolaylaştırır.
“Kendin keşfedebilirdin” → builder zihniyeti: her ML tekniğinin nereden geldiğini (türetimini) anlamak, kara kutu ezberden üstündür.

Tek bir şey alıp gideceksen

Calculus’un tamamı iki fikre dayanır — integral (küçük parçaları topla = eğri altı alan) ve türev (anlık değişim oranı) — ve Temel Teorem bunların birbirinin tersi olduğunu söyler. Hiçbirini ezberlemene gerek yok; doğru resmi çizip $dr$ ile $dx$’i küçülttüğünde hepsi kendiliğinden ortaya çıkar.

--- title: "Calculus'un Özü" subtitle: "Daireden integrale + türeve + Calculus'un Temel Teoremine" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Grant'ın videosu:** [YouTube — Chapter 1: The Essence of Calculus](https://www.youtube.com/watch?v=WUvTyaaNkzM&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=1) (≈17 dk) - **Kaynak:** [3Blue1Brown — Essence of Calculus](https://www.3blue1brown.com/topics/calculus) - **Okuma süresi:** ≈22 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Calculus genelde bir yığın kural ve formülle gelir: türev formülleri, çarpım kuralı, zincir kuralı, kapalı türev, integralle türevin zıt olması, Taylor serileri… ve bunlar ezberlenecek şeyler gibi sunulur. Grant'ın hedefi bambaşka: dersin sonunda *"bunu **ben de icat edebilirdim**"* hissiyle kalmanı. Bu ilk bölümde tek bir geometri parçasını — **bir dairenin alanını** — derinlemesine düşünerek calculus'un üç büyük fikrine birden tökezliyoruz. $\pi r^2$ formülünü biliyorsun; ama nereden geldiğini güzel bir yolla görmek, seni doğrudan calculus'un kalbine götürüyor. **Üç büyük fikir:** 1. **İntegral** — bir eğrinin altındaki alan; "çok sayıda küçük nicelik"in toplamı. 2. **Türev** — anlık değişim oranı; bir fonksiyonun girdideki küçük dürtüşe ne kadar duyarlı olduğu. 3. **Bu ikisinin ters olması** — Calculus'un Temel Teoremi (FTC): türev ve integral birbirinin tersi. ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Bu bölümün kavram haritası — bir dairenin alanından FTC'ye" flowchart LR A["🔵 Bir dairenin alanı"] --> B["Halkalara böl"] B --> C["Her halka ≈ 2πr·dr"] C --> D["Halkaları üçgenleştir"] D --> E["½·R·2πR = πR²"] E --> F["💡 İntegral fikri"] F --> G["A(x) = ∫₀ˣ t² dt"] G --> H["dA/dx = x²"] H --> I["💡 Türev fikri"] F --> J["💎 Calculus'un Temel Teoremi<br/>(türev = integralin tersi)"] I --> J style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px style F fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style I fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style J fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px ``` > *"my goal is for you to come away feeling like you could have invented calculus yourself."* — Grant, 0:54 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Türev = gradient + backprop'un temeli.** Bir loss fonksiyonunun her ağırlığa duyarlılığı ($dLoss/dw$) bir türevdir; gradient descent bu oranın ters yönünde adım atar. - **İntegral = beklenen değer / Monte Carlo.** $E[f(X)] = \int f(x)\,p(x)\,dx$ — sürekli bir toplama. Çok örneğin ortalaması bu integrali tahmin eder. - **Yaklaşıktan kesine geçiş ($dr \to 0$) = limit.** Sürekli optimizasyonun, gradient flow'un ve neural ODE'lerin matematiksel zemini. - **Türev↔integral terslik (FTC)** → RL'de kümülatif ödül (value function) ile anlık ödül arasındaki ilişki; forward/backward dualitesi. - **"Kendin keşfedebilirdin" = builder zihniyeti.** Formülü ezberleme, nereden geldiğini gör — her ML tekniğine böyle bak. ::: ## Tek Bir Soru: Bir Dairenin Alanı {#sec-daire} Hikaye basit başlıyor: sen ve bir daire — diyelim yarıçapı $3$. Alanını bulmaya çalışıyorsun. Bir sürü kâğıt harcayıp alanı farklı şekillerde parçalayıp yeniden dizdikten sonra, umut verici bir fikir deniyorsun: daireyi **eşmerkezli (iç içe) halkalara** dilimlemek. Bu neden umut verici? Çünkü dairenin **simetrisine saygı gösteriyor** — ve matematik, simetrisine saygı gösterdiğinde seni ödüllendirme eğilimindedir. > *"math has a tendency to reward you when you respect its symmetries."* — Grant, 2:24 ```{python} #| label: fig-halkalar #| fig-cap: "Daireyi eşmerkezli halkalara böl: her halkanın çevresi $2\\pi r$, kalınlığı $dr$. Halka sayısı arttıkça kalınlık küçülür." #| fig-width: 11 #| fig-height: 4.5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt R = 3.0 theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 200) fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(11, 4.5)) for ax, N in zip(axes, [6, 15, 40]): dr = R / N for i in range(N): r_inner = i * dr r_outer = (i + 1) * dr ax.fill_between(R*np.cos(theta) * (r_outer/R), R*np.sin(theta) * (r_outer/R), color=plt.cm.Blues(0.3 + 0.5 * (i/N)), alpha=0.6) ax.plot(r_outer*np.cos(theta), r_outer*np.sin(theta), color='#1f4e79', linewidth=0.6) ax.set_aspect('equal') ax.set_title(f'N = {N} halka (dr = R/{N} ≈ {dr:.2f})', fontsize=11) ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) for s in ax.spines.values(): s.set_visible(False) fig.suptitle('Daireyi halkalara böl — N arttıkça dr küçülür', fontsize=13, y=1.02) plt.tight_layout() plt.show() ``` Halkalardan birini al: iç yarıçapı $r$ olsun, $0$ ile $3$ arasında bir yerde. Plan şu: **(1)** her halkanın alanı için temiz bir ifade bulmak, **(2)** hepsini düzgünce toplamanın bir yolunu bulmak. Bu iki parça bir araya gelince, tüm dairenin alanı ortaya çıkacak. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Simetri ve Invariance"} Simetriye saygı — yani problemi "doğru koordinatlarda" parçalamak — ML'de **invariance/equivariance** olarak karşımıza çıkar. CNN'ler öteleme değişmezliğinden güç alır (kediyi nerede görürsen gör, kedidir); görev simetrisine uygun bir mimari/parametreleme seçmek, öğrenmeyi dramatik biçimde kolaylaştırır. Grant'ın "doğru dilimleme" sezgisi tam da budur: problemin yapısına uygun ayrıştırma, çözümü kendiliğinden getirir. ::: ## Halkayı Açmak: $2\pi r \cdot dr$ {#sec-halka-acma} Bir halkayı al ve düzleştir; düz bir şeride dönüştür. Bu yeni şeklin tam ne olduğunu düşünebilirsin, ama basitlik için onu bir **dikdörtgen** olarak yaklaştıralım. Dikdörtgenin genişliği, orijinal halkanın çevresidir: $2\pi r$ (zaten $\pi$'nin tanımı bu). Kalınlığı ise daireyi ne kadar ince dilimlediğine bağlı — şu an keyfî bir seçim. Standart calculus notasyonuyla bu kalınlığa $dr$ diyelim: yarıçaptaki sonsuz küçük bir fark, örneğin $0{,}1$. > *"let's call that thickness dr, for a tiny difference in the radius from one ring to the next."* — Grant, 3:20 Böylece açılmış halkanın alanı, yaklaşık olarak genişlik çarpı kalınlık: $$ A_{\text{halka}} \approx 2\pi r \, dr $$ ```{python} #| label: fig-halka-ac #| fig-cap: "Bir halkayı 'aç' — neredeyse bir dikdörtgen olur. Genişliği $2\\pi r$, yüksekliği $dr$. $dr \\to 0$ iken hata kaybolur." #| fig-width: 11 #| fig-height: 4 fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4)) # Sol: daire üzerinde tek bir halka ax = axes[0] r_in, r_out = 1.4, 1.8 theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 200) ax.fill_between(r_out*np.cos(theta), r_out*np.sin(theta), color='#fde68a', alpha=0.8) ax.fill_between(r_in*np.cos(theta), r_in*np.sin(theta), color='white') ax.plot(r_out*np.cos(theta), r_out*np.sin(theta), color='#c2410c', linewidth=2) ax.plot(r_in*np.cos(theta), r_in*np.sin(theta), color='#c2410c', linewidth=2) # diğer halkalar açık gri for r in [0.4, 0.8, 2.2, 2.6]: ax.plot(r*np.cos(theta), r*np.sin(theta), color='#cbd5e0', linewidth=0.8) ax.annotate('iç yarıçap\n$r$', xy=(r_in, 0), xytext=(0.4, -2.2), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='#1e293b'), fontsize=10, ha='center') ax.annotate('kalınlık\n$dr$', xy=(r_out, 0.1), xytext=(2.4, 1.6), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='#1e293b'), fontsize=10, ha='center') ax.set_xlim(-3.2, 3.2); ax.set_ylim(-3.2, 3.2) ax.set_aspect('equal'); ax.set_title('Tek bir halka (sarı)', fontsize=11) ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) for s in ax.spines.values(): s.set_visible(False) # Sağ: açılmış halka -> dikdörtgen ax = axes[1] width = 2 * np.pi * r_in # 2πr height = r_out - r_in # dr # hafif yamuk (üst kenar 2π(r+dr), alt 2πr) xs = [0, width, 2*np.pi*r_out, 0] ys = [0, 0, height, height] poly = plt.Polygon(list(zip(xs, ys)), closed=True, facecolor='#fde68a', edgecolor='#c2410c', linewidth=2) ax.add_patch(poly) # Dikdörtgen yaklaşımı (kesikli) ax.plot([0, width, width, 0, 0], [0, 0, height, height, 0], 'b--', linewidth=1.5, label='dikdörtgen yaklaşımı') ax.annotate('genişlik = $2\\pi r$', xy=(width/2, -0.05), xytext=(width/2, -0.2), fontsize=11, ha='center', color='#1e293b') ax.annotate('yükseklik = $dr$', xy=(width + 0.3, height/2), xytext=(width + 0.8, height/2), fontsize=11, va='center', color='#1e293b') ax.set_xlim(-0.5, width + 3.5); ax.set_ylim(-0.6, height + 0.4) ax.set_aspect('equal'); ax.set_title('Açılmış halka ≈ dikdörtgen, alan = $2\\pi r \\cdot dr$', fontsize=11) ax.set_xticks([]); ax.set_yticks([]) for s in ax.spines.values(): s.set_visible(False) ax.legend(loc='upper right', fontsize=9) plt.tight_layout() plt.show() ``` Bu tam doğru değil — şerit gerçek bir dikdörtgen değil, hafifçe yamuk. Ama $dr$ küçüldükçe yaklaşım **giderek daha iyi** olur: şeridin üst ve alt kenar uzunlukları ($2\pi r$ ile $2\pi(r+dr)$) birbirine yaklaşır, aradaki fark $2\pi \cdot dr$ ile orantılı biçimde sıfıra gider. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Yerel Doğrusallaştırma"} "Eğri parçayı küçük ölçekte düz say" — bu **yerel doğrusallaştırma** (local linearization), calculus'un en sık tekrar eden hilesidir. Türev tam olarak budur: bir fonksiyonu bir nokta civarında en iyi doğru ile değiştirmek. ML'de bir loss yüzeyini gradient (birinci derece terim) ile yerel olarak düzleştiririz; her gradient descent adımı, "yeterince küçük bir komşulukta yüzey neredeyse düzdür" varsayımına dayanır. ::: ## Yaklaşıktan Kesine: Üçgenin Alanı {#sec-ucgen} Şimdi bu dikdörtgenleri, $r = 0$'dan $r = 3$'e kadar bir eksen boyunca yan yana dik diz. Her birinin kalınlığı $dr$, yüksekliği ise o yarıçaptaki $2\pi r$ değeri. Yükseklikler $2\pi r$ olduğundan, dikdörtgenlerin uçları **eğimi $2\pi$ olan bir doğrunun** üstünde oturur: $y = 2\pi r$ grafiği. ```{python} #| label: fig-ucgen-yakinsama #| fig-cap: "Dikdörtgenler arttıkça (yani $dr \\to 0$), toplam alan $y = 2\\pi r$ doğrusu altındaki üçgene yakınsar. Bu, integral fikrinin kendisidir." #| fig-width: 12 #| fig-height: 4 R = 3.0 r_continuous = np.linspace(0, R, 200) y_continuous = 2 * np.pi * r_continuous fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(12, 4), sharey=True) configs = [(5, '#fde68a'), (10, '#fdba74'), (30, '#fb923c'), (100, '#c2410c')] for ax, (N, color) in zip(axes, configs): dr = R / N r_left = np.arange(N) * dr y_left = 2 * np.pi * r_left ax.bar(r_left, y_left, width=dr, align='edge', color=color, edgecolor='#1e293b', linewidth=0.4, alpha=0.85) ax.plot(r_continuous, y_continuous, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$y = 2\\pi r$') yak = np.sum(2 * np.pi * r_left * dr) gercek = np.pi * R**2 hata_yuzde = 100 * (gercek - yak) / gercek ax.set_title(f'N = {N}\n$\\approx${yak:.3f} (hata %{hata_yuzde:.1f})', fontsize=10) ax.set_xlabel('$r$', fontsize=11) if ax is axes[0]: ax.set_ylabel('$2\\pi r$', fontsize=11) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_xlim(0, R) ax.set_ylim(0, 2*np.pi*R*1.05) ax.legend(loc='upper left', fontsize=9) fig.suptitle(f'Gerçek alan: $\\pi R^2 = {np.pi*R**2:.4f}$', fontsize=12, y=1.03) plt.tight_layout() plt.show() ``` Şimdi güzel kısım: $dr$ küçüldükçe dikdörtgen sayısı patlar, ama hepsinin toplam alanı yalnızca **bu doğrunun altındaki alana** benzer. O bölge bir üçgendir — tabanı $3$, yüksekliği $2\pi \cdot 3$. $$ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (2\pi \cdot 3) = 9\pi = \pi \cdot 3^2 $$ Yarıçap genel olarak $R$ olsaydı, aynı üçgen argümanı: $$ \frac{1}{2} \cdot R \cdot (2\pi R) = \pi R^2 $$ İşte dairenin alan formülü — ezberlenecek bir şey değil, halkaları toplamanın doğal sonucu. İşin **kalbi** şu ince geçişte: problem, her biri $2\pi r \cdot dr$ gibi görünen çok sayıda küçük sayının toplamıyla **yaklaşık** çözülebiliyordu. $dr$ küçüldükçe (daireyi giderek daha ince halkalara böldükçe) bu toplam, grafik altındaki **kesin** alana yakınsıyor. Yaklaşıktan kesine bu geçiş, calculus'un ne olduğuna dair en derin fikirdir. > *"the way that we transitioned from something approximate to something precise ... cuts deep to what calculus is all about."* — Grant, 7:08 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Riemann → Monte Carlo"} Bu tam olarak bir **Riemann toplamı → integral** geçişidir. ML'de beklenen değer $E[f(X)] = \int f(x)\,p(x)\,dx$, **Monte Carlo** ile tahmin edilir: çok sayıda örneğin ortalaması = küçük katkıların toplamı; örnek sayısı $N \to \infty$ iken gerçek integrale yakınsar (tıpkı $dr \to 0$ gibi). Policy gradient, ELBO ve difüzyon kayıpları hep bu "küçük niceliklerin toplamı → integral" iskeletine dayanır. ::: ## İntegral: Başka Eğrilerin Altındaki Alan {#sec-integral} Daire problemi tek başına güzel; ama asıl kazanç, **yöntemin** kendisi. Matematikte ve bilimde pek çok zor problem, çok sayıda küçük niceliğin toplamı olarak yaklaştırılabilir — ve bu toplamlar çoğu zaman **bir grafiğin altındaki alan** sorusuna dönüşür. **Örnek:** bir arabanın kat ettiği mesafeyi, her andaki hızından bulmak istiyorsun. Zamanı küçük $dt$ aralıklarına böl; her aralıkta mesafe $\approx v(t) \cdot dt$. Hepsini topla → kat edilen toplam mesafe = **hız grafiğinin altındaki alan**. Daire ile birebir aynı yapı. Şimdi unutamayacağın bir soru: **parabol**, yani $x^2$ grafiği. $0$ ile $x$ arasında bu eğrinin altındaki alan nedir? Sol ucu $0$'da sabitleyip sağ ucu serbest bırakalım. $x$'e bağlı bir alan fonksiyonu $A(x)$ bulabilir misin? Böyle bir $A(x)$'e **$x^2$'nin integrali** denir. ```{python} #| label: fig-parabol-alan #| fig-cap: "Gizem fonksiyonu $A(x)$ = $f(t) = t^2$ eğrisinin altındaki, $0$'dan $x$'e kadar olan alan. Şu an ne olduğunu bilmiyoruz." #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5)) t = np.linspace(0, 3.5, 200) y = t**2 ax.plot(t, y, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$f(t) = t^2$') x = 2.5 mask = t <= x ax.fill_between(t[mask], 0, y[mask], color='#fb923c', alpha=0.5, label='$A(x)$ = ?') ax.axvline(x, color='#c2410c', linestyle='--', linewidth=1.2) ax.annotate('$x$', xy=(x, 0), xytext=(x, -1.3), fontsize=14, ha='center', color='#c2410c') ax.annotate('?', xy=(x*0.55, x**2*0.35), fontsize=40, ha='center', color='#7c2d12', alpha=0.6, weight='bold') ax.set_xlabel('$t$', fontsize=12) ax.set_ylabel('$f(t)$', fontsize=12) ax.set_title(r'$A(x) = \int_0^x t^2\,dt$ — şu an bir gizem', fontsize=12) ax.legend(loc='upper left', fontsize=11) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_xlim(-0.2, 3.5); ax.set_ylim(-2, 13) plt.tight_layout() plt.show() ``` Calculus bunu bulmanın araçlarını içerir; ama şu an $A(x)$ bizim için bir gizem — yalnızca $x^2$ altındaki alanı verdiğini biliyoruz, ne olduğunu değil. > *"finding this area, this integral function, is genuinely hard."* — Grant, 11:14 Zor bir soruyla karşılaşınca Grant'ın tavsiyesi: doğrudan cevaba saldırma; fikirle **oyna**, $A(x)$ ile $x^2$ arasındaki ilişkiye aşinalık kur. > *"a good policy is to not try too hard to get at the answer directly ... play around with the idea."* — Grant, 11:22 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Biriktirme"} İntegral bir **biriktirmedir** (accumulation). "$v \cdot dt$'leri topla → mesafe", sayısal entegrasyonun (Euler yöntemi) ve onun sürekli limitinin tam olarak nasıl çalıştığıdır: bir neural ODE'de durum $= \int \text{dinamik}\,dt$. Yine beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$ de bir integraldir — modellerde "ortalama davranışı" hesaplamak, küçük katkıları biriktirmek demektir. ::: ## Türev: $dA/dx$ Oranı {#sec-turev} Gizem fonksiyonu $A(x)$ ile oynamaya devam edelim. $x$'i küçük bir $dx$ kadar **dürt**. Alanda ortaya çıkan değişim, ince bir dilimdir — buna $dA$ diyelim. Bu dilim, yüksekliği $x^2$ ve genişliği $dx$ olan bir dikdörtgenle iyi yaklaştırılabilir. Yani $dA \approx x^2 \cdot dx$; yeniden düzenlersek $dA/dx \approx x^2$. $dx$ küçüldükçe bu yaklaşım daha da iyi olur. $$ \frac{dA}{dx} \approx \frac{A(x + dx) - A(x)}{dx} \approx x^2 $$ ```{python} #| label: fig-dA-dx #| fig-cap: "$x$'i $dx$ kadar dürt: ortaya çıkan ince dilim ≈ yüksekliği $x^2$, genişliği $dx$ olan bir dikdörtgen. $dA/dx \\to x^2$ olduğunu görmek bu kadar." #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5)) t = np.linspace(0, 3.5, 200) y = t**2 ax.plot(t, y, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$f(t) = t^2$') x0 = 2.2; dx = 0.4 mask = t <= x0 ax.fill_between(t[mask], 0, y[mask], color='#cbd5e0', alpha=0.4, label='$A(x)$') # dx dilimi vurgu strip_t = np.linspace(x0, x0 + dx, 30) strip_y = strip_t**2 ax.fill_between(strip_t, 0, strip_y, color='#fb923c', alpha=0.8, label='$dA$') # Dikdörtgen yaklaşımı ax.add_patch(plt.Rectangle((x0, 0), dx, x0**2, fill=False, edgecolor='#7c2d12', linewidth=2, linestyle='--', label='yaklaşım: $x^2 \\cdot dx$')) ax.annotate('$x$', xy=(x0, 0), xytext=(x0, -1.0), fontsize=13, ha='center') ax.annotate('$x + dx$', xy=(x0 + dx, 0), xytext=(x0 + dx + 0.05, -1.0), fontsize=13, ha='left') ax.annotate('yükseklik\n$\\approx x^2$', xy=(x0 + dx + 0.05, x0**2/2), xytext=(x0 + dx + 0.6, x0**2/2), fontsize=11, va='center', arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='#7c2d12')) ax.set_xlabel('$t$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$f(t)$', fontsize=12) ax.set_title(r'$\frac{dA}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{A(x+dx) - A(x)}{dx} = x^2$', fontsize=13) ax.legend(loc='upper left', fontsize=10) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_xlim(-0.2, 3.5); ax.set_ylim(-1.6, 13) plt.tight_layout() plt.show() ``` Dikkat: $A(x)$'in ne olduğunu hâlâ bilmiyoruz — ama sağlaması gereken bir **özellik** bulduk. Somut örnek: $3$ ile $3{,}001$ noktalarında $[A(3{,}001) - A(3)] / 0{,}001$ oranı, yaklaşık $3^2 = 9$ olmalı. Ve bu her $x$ için geçerli, yalnızca $3$ için değil. Aslında özel olan $x^2$ değil: **bir grafiğin altındaki alan** olarak tanımlı her fonksiyonun bu özelliği vardır — $A$'ya verilen küçük bir dürtüşün, onu tetikleyen $dx$'e oranı, o noktadaki grafiğin yüksekliğine eşittir. Bu oranın ($dx \to 0$ iken yaklaştığı değer) bir adı var: $A$'nın **türevi**. $$ \frac{dA}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{A(x + dx) - A(x)}{dx} $$ Gevşek bir ifadeyle türev, bir fonksiyonun girdisindeki küçük değişimlere ne kadar **duyarlı** olduğunun ölçüsüdür. > *"the derivative ... loosely speaking it's a measure of how sensitive a function is to small changes in its input."* — Grant, 14:31 ```{python} #| label: fig-tegent #| fig-cap: "Türev = teğet doğrunun eğimi. $f(x) = x^2$ üzerinde $x_0 = 2$'de türev $f'(2) = 4$, yani teğetin eğimi 4." #| fig-width: 9 #| fig-height: 5 fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5)) x = np.linspace(-0.5, 3.5, 200) y = x**2 ax.plot(x, y, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$f(x) = x^2$') x0 = 2.0; y0 = x0**2; egim = 2 * x0 # f'(x0) = 2*x0 xt = np.linspace(x0 - 1.2, x0 + 1.2, 40) ax.plot(xt, egim * (xt - x0) + y0, color='#dc2626', linewidth=2.2, linestyle='--', label=f"teğet: $f'({x0:.0f}) = {egim:.0f}$") ax.plot(x0, y0, 'o', color='#dc2626', markersize=11, zorder=5) # Eğim sağ üçgen ax.plot([x0, x0 + 1], [y0, y0], 'k-', linewidth=1) ax.plot([x0 + 1, x0 + 1], [y0, y0 + egim], 'k-', linewidth=1) ax.annotate('$\\Delta x = 1$', xy=(x0 + 0.5, y0), xytext=(x0 + 0.5, y0 - 0.6), fontsize=10, ha='center') ax.annotate(f'$\\Delta y = {egim:.0f}$', xy=(x0 + 1, y0 + egim/2), xytext=(x0 + 1.15, y0 + egim/2), fontsize=10, va='center') ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$f(x)$', fontsize=12) ax.set_title(r"Türev = eğim. $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$", fontsize=13) ax.legend(loc='upper left', fontsize=11) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_xlim(-0.5, 3.5); ax.set_ylim(-1.5, 12.5) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Gradient ve Autodiff"} İşte büyük olan. $dA/dx$, "$x$'i azıcık değiştirince çıktı ne kadar değişir" oranıdır — yani **gradient'in** tek değişkenli hâli. Eğitimde $dLoss/dw$ her ağırlığın loss'a duyarlılığını verir; gradient descent bu oranın ters yönünde adım atar. "Girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç" sezgisi, **otomatik türevin (autodiff)** çekirdeğidir; backprop bu oranları zincir kuralıyla verimli hesaplar ([Ders 4](#)'te göreceğiz). Sonlu fark (finite difference) sezgisi de budur: $dx$'i çok küçük seçip $[f(x+dx) - f(x)]/dx$ ile türevi sayısal olarak yoklamak. ::: ## Temel Teorem: Türev ile İntegral Terstir {#sec-ftc} Elimizde şu var: gizem fonksiyonu $A(x)$ ($x^2$ altındaki alan) ve onun türevinin $x^2$ olduğu bilgisi. $A$'yı bulmak için **tersten çöz**: türevi $x^2$ olan fonksiyon hangisidir? Türev hesaplamada yeterince ustalaşınca, türevi verilen bir fonksiyonu geri mühendislikle bulabilirsin. İntegrallerle türevler arasındaki bu gidiş-geliş — bir grafik altındaki alan fonksiyonunun türevinin, grafiği tanımlayan fonksiyonu geri vermesi — **Calculus'un Temel Teoremi** olarak bilinir. İki büyük fikri birbirine bağlar ve bir anlamda her birinin diğerinin **tersi** olduğunu gösterir. ```{mermaid} %%| label: fig-ftc %%| fig-cap: "Calculus'un Temel Teoremi (FTC): türev ve integral, birbirinin tersidir." flowchart LR F["f(x)<br/>(eğri)"] -- "integral<br/>(alanı biriktir)" --> A["A(x) = ∫₀ˣ f(t) dt"] A -- "türev<br/>dA/dx" --> F style F fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px ``` > *"this back and forth between integrals and derivatives ... is called the fundamental theorem of calculus ... each one is an inverse of the other."* — Grant, 15:31 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Forward/Backward Dualitesi"} Temel Teorem, **biriktirme ile oran** arasındaki derin bağdır. Pekiştirmeli öğrenmede (RL) value function $V$ — zamana yayılmış indirimli kümülatif ödül, bir tür "integral" — ile anlık ödül (onun "türevi") Bellman denklemiyle birbirine bağlıdır; bu, FTC'nin ayrık akrabasıdır. Forward (biriktir) ve backward (türevini al / geri yay) dualitesi hem otomatik türevde hem de dinamik programlamada tekrar tekrar karşına çıkar. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. Calculus, "ezberlenecek formüller" değil; doğru resmi çizersen kendin keşfedebileceğin bir avuç fikirdir. 2. Bir dairenin alanını eşmerkezli halkalara dilimleyerek bulduk: her halka $\approx 2\pi r$ genişliğinde, $dr$ kalınlığında bir dikdörtgen, alanı $2\pi r \cdot dr$. 3. Halka alanlarını toplamak = $y = 2\pi r$ doğrusunun altındaki üçgenin alanı = $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (2\pi \cdot 3) = \pi \cdot 3^2$. Bu, **integral** fikrinin somut hâli. 4. Asıl derin nokta: $dr$ küçüldükçe bu yaklaşık toplam, grafik altındaki **kesin** alana yakınsar. Yaklaşıktan kesine geçiş, calculus'un kalbidir. 5. $x^2$ eğrisinin altındaki alan $A(x)$ bir gizem; ama $dA/dx = x^2$ olduğunu çıkarabiliyoruz. Bu oran **türev**. 6. Türev = bir fonksiyonun girdideki küçük değişime duyarlılığı ($dx \to 0$ iken $dA/dx$). 7. $A$'nın türevi orijinal grafiği geri verir → **Calculus'un Temel Teoremi**: türev ve integral birbirinin tersidir. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Calculus iki büyük fikir üzerine kuruludur — **integral** (küçük niceliklerin toplamı = eğri altı alan) ve **türev** (anlık değişim oranı) — ve bu ikisi birbirinin tersidir; üçünü de tek bir daireyi dilimleyerek kendin keşfedebilirdin. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Yarıçapı R = 5 olan bir daire için halka-dilimleme argümanını uygula. Alanı bul."} **Cevap:** Halka alanı $\approx 2\pi r \cdot dr$, $r \in [0, 5]$. Bu dikdörtgenleri yan yana dizince eğimi $2\pi$ olan $y = 2\pi r$ doğrusunun altındaki üçgeni elde ederiz: taban $5$, yükseklik $2\pi \cdot 5 = 10\pi$. Alan $= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\pi = 25\pi = \pi \cdot 5^2$. Genel $R$ için aynı argüman $\pi R^2$ verir — yani formül, halkaları toplamanın doğrudan sonucudur. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: dr küçüldükçe 'halka ≈ dikdörtgen' yaklaşımı neden daha iyi oluyor?"} **Cevap:** Açılmış halkanın iç kenarı $2\pi r$, dış kenarı $2\pi(r+dr)$ uzunluğundadır; aradaki fark $2\pi \cdot dr$. $dr \to 0$ iken bu iki kenar birbirine yaklaşır, şekil gerçek bir dikdörtgene yakınsar ve "dikdörtgen" yaklaşımının hatası $dr$ ile orantılı biçimde sıfıra gider. Daha ince dilimleme = daha küçük hata. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: v(t) hızıyla giden bir araç. Neden kat edilen mesafe = hız grafiğinin altındaki alan?"} **Cevap:** Küçük bir $dt$ aralığında hız neredeyse sabittir, dolayısıyla o aralıkta kat edilen yol $\approx v(t) \cdot dt$. Tüm $dt$'lerdeki bu küçük yolları toplamak, hız grafiğinin altındaki ince dikdörtgenleri toplamaktır; $dt \to 0$ iken toplam, eğrinin altındaki alana yakınsar. Bu, daire problemiyle birebir aynı yapıdır: küçük niceliklerin toplamı = bir grafiğin altındaki alan = integral. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) dA/dx = x² ilişkisi gradient descent ile nasıl bağlanır?"} **Cevap:** $dA/dx$, "$x$'i azıcık değiştirince $A$ ne kadar değişir" oranıdır = türev, yani gradient'in tek değişkenli hâli. Eğitimde $dLoss/dw$ her ağırlığın loss'a duyarlılığını ölçer; gradient descent bu oranın ters yönünde küçük bir adım atarak loss'u azaltır. "Girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç" sezgisi otomatik türevin (autodiff) çekirdeğidir; backprop bu oranları zincir kuralıyla katman katman verimli hesaplar (Ders 4). ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** Daire argümanını bir **kürenin hacmine** uyarla: küreyi, yarıçapı $r \in [0, R]$ olan ince küresel kabuklara böl. Her kabuğun yüzey alanı $4\pi r^2$, kalınlığı $dr$, dolayısıyla hacmi $\approx 4\pi r^2 \cdot dr$. Bu küçük hacimleri toplamak hangi grafiğin (hangi fonksiyonun) altındaki alana karşılık gelir? (Sonucun $\frac{4}{3}\pi R^3$ çıkması gerekir — neden?) **Egzersiz 2.** Bir $A(x)$ fonksiyonunun türevinin $x^3$ olduğunu bildiğini varsay (yani $dA/dx = x^3$). $3$ ile $3{,}01$ noktalarında $[A(3{,}01) - A(3)] / 0{,}01$ oranının yaklaşık hangi sayıya eşit olmasını beklersin? Cevabını $dx \to 0$ limiti açısından gerekçelendir. **Egzersiz 3.** *(Yapısal)* Bir üçgenin alanının neden $\frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$ olduğunu, daire argümanındaki $y = 2\pi r$ doğrusunun altında kalan bölgeyi düşünerek açıkla. (İpucu: bu doğru orijinden geçiyor; tabanı $3$, yüksekliği $2\pi \cdot 3$ olan dik üçgen, kenarları $3$ ve $2\pi \cdot 3$ olan dikdörtgenin tam yarısıdır.) **Egzersiz 4.** *(Python — görsel doğrulama)* Daireyi $N$ halkaya bölüp alanı Riemann toplamıyla yaklaştır ve $\pi R^2$ ile karşılaştır. $N$ büyüdükçe mutlak hatanın küçüldüğünü hem sayısal hem grafiksel göster. ```{python} #| label: fig-exercise-riemann #| fig-cap: "Riemann toplamı $\\pi R^2$'ye yakınsıyor — $N$ büyüdükçe mutlak hata $\\sim 1/N$ hızıyla küçülür (log-log eğri ≈ doğrusal eğim −1)." #| fig-width: 8 #| fig-height: 5 R = 3.0 gercek = np.pi * R**2 def halka_toplami(N): dr = R / N r = np.arange(N) * dr # ic yaricaplar: 0, dr, 2dr, ... return float(np.sum(2 * np.pi * r * dr)) # toplam_{r} 2*pi*r*dr Ns = [4, 10, 50, 200, 1000, 5000] satirlar = [] for N in Ns: yak = halka_toplami(N) satirlar.append((N, yak, abs(yak - gercek))) print(f"N={N:5d} yaklasik={yak:.5f} hata={abs(yak - gercek):.6f}") print(f"\nGercek pi*R^2 = {gercek:.6f}") hata = [s[2] for s in satirlar] fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5)) ax.loglog(Ns, hata, 'o-', color='#dc2626', linewidth=2.2, markersize=10, markeredgecolor='#7c2d12', markerfacecolor='#fb923c') ax.set_xlabel('halka sayısı $N$', fontsize=12) ax.set_ylabel('mutlak hata $|\\hat A - \\pi R^2|$', fontsize=12) ax.set_title('Riemann toplamı $\\pi R^2$ ye yakınsıyor', fontsize=12) ax.grid(True, which='both', alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki dersin habercisi)* Bu kez alanı değil, **fonksiyonun kendisini** ele al: $f(x) = x^2$. $[f(x+dx) - f(x)] / dx$ oranını $dx$ cinsinden aç ve sonucu *"$2x +$ (bir terim)"* biçiminde yaz. $dx \to 0$ iken hangi terim kaybolur? Bulduğun sonuç, Ders 2'de "türevin paradoksu" olarak göreceğimiz $d(x^2)/dx = 2x$ ifadesidir. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 2: Türevin Paradoksu** Ders 2'de türevi yakından inceliyoruz. "Anlık değişim oranı" aslında ince bir paradoks barındırır: tek bir **anda** hiçbir şey değişmez (değişim için iki an gerekir), ama yine de anlamlı bir "anlık hız" tanımlarız. Grant bu paradoksu $dx \to 0$ limitiyle çözer ve $d(x^2)/dx = 2x$ sonucunu, bir kareyi büyüterek tamamen **geometrik** olarak türetir. **Ana konular:** - Türevin paradoksu: "anlık değişim oranı" tam olarak ne demek? - $d(x^2)/dx = 2x$'in geometrik türetimi (ve neden ihmal edilen $dx^2$ terimi sıfıra gider). - Türev = bir noktadaki teğet doğrunun eğimi. ::: {.callout-warning title="Ders 2 öncesi yapılacak"} - Egzersizleri çöz — özellikle **4** (Riemann simülasyonu) ve **5** ($d(x^2)/dx$ önizlemesi). - "Yaklaşıktan kesine" geçişin ($dr \to 0$) neden calculus'un kalbi olduğunu kendi cümlenle yaz. - Ana cümleyi tekrar oku: *"Calculus iki büyük fikir üzerine kuruludur — integral ve türev — ve bu ikisi birbirinin tersidir."* ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Grant'ta | |--------|-------|----------| | **İntegral** | Bir eğrinin altındaki alan; küçük niceliklerin toplamının limiti | 8m14 | | **Türev** | $dA/dx$; bir fonksiyonun girdideki küçük değişime duyarlılığı | 14m16 | | **Halka alanı** ($2\pi r \cdot dr$) | Açılmış halkanın yaklaşık dikdörtgen alanı (çevre × kalınlık) | 3m20 | | **$\pi R^2$ türetimi** | $y = 2\pi r$ doğrusu altındaki üçgen: $\frac{1}{2} \cdot R \cdot 2\pi R$ | 6m28 | | **Yaklaşıktan kesine** | $dr \to 0$ iken toplam, grafik altındaki tam alana yakınsar | 7m08 | | **$A(x)$: integral fonksiyonu** | $x^2$ altındaki, $0$'dan $x$'e kadar olan alan | 10m37 | | **$dA/dx$ = grafiğin yüksekliği** | Alan fonksiyonunun türevi = eğrinin o noktadaki değeri | 13m50 | | **Temel Teorem (FTC)** | Türev ve integral birbirinin ters işlemidir | 15m31 | | **"Kendin keşfet"** | Grant'ın pedagojik hedefi: formülü değil, kaynağını anla | 0m54 | | **Simetriye saygı** | Doğru parçalama (eşmerkezli halkalar) problemi çözer | 2m24 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Türev ($dA/dx$)** → gradient: loss'un parametreye duyarlılığı; gradient descent bu yönün tersine adım atar. 2. **Oran/dürtme sezgisi** → otomatik türev (autodiff) ve backprop: "girdiyi dürt, çıktının değişimini ölç"ün mekanikleştirilmesi (Ders 4'te zincir kuralı). 3. **İntegral (küçük niceliklerin toplamı)** → beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$ ve Monte Carlo: çok örneğin ortalaması, $N \to \infty$ iken yakınsar ($dr \to 0$'ın aynası). 4. **Yaklaşıktan kesine / $dr \to 0$** → limit: sürekli optimizasyon, gradient flow, neural ODE (durum $= \int \text{dinamik}\,dt$). 5. **Temel Teorem (türev ↔ integral terslik)** → RL'de value function (kümülatif ödül = "integral") ile anlık ödül ("türev") arasındaki Bellman bağı; forward/backward dualitesi. 6. **Simetriye saygı (doğru parçalama)** → invariance/equivariance: CNN'de öteleme değişmezliği; göreve uygun ayrıştırma öğrenmeyi kolaylaştırır. 7. **"Kendin keşfedebilirdin"** → builder zihniyeti: her ML tekniğinin nereden geldiğini (türetimini) anlamak, kara kutu ezberden üstündür. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Calculus'un tamamı iki fikre dayanır — **integral** (küçük parçaları topla = eğri altı alan) ve **türev** (anlık değişim oranı) — ve Temel Teorem bunların birbirinin tersi olduğunu söyler. Hiçbirini ezberlemene gerek yok; doğru resmi çizip $dr$ ile $dx$'i küçülttüğünde hepsi kendiliğinden ortaya çıkar. :::

2 Calculus’un Özü

2.1 Bu Derste Ne Var?

2.2 Tek Bir Soru: Bir Dairenin Alanı

2.3 Halkayı Açmak: \(2\pi r \cdot dr\)

2.4 Yaklaşıktan Kesine: Üçgenin Alanı

2.5 İntegral: Başka Eğrilerin Altındaki Alan

2.6 Türev: \(dA/dx\) Oranı

2.7 Temel Teorem: Türev ile İntegral Terstir

2.8 Bu Dersin Özeti

2.9 Kontrol Soruları

2.10 Egzersizler

2.11 Sonraki Ders İçin Hazırlık

2.12 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

2.13 ML Bağlantıları Özeti