13 Calculus’ta Sana Öğretmedikleri

Dönüşümsel görüş — sayı doğrusundan sayı doğrusuna germe/sıkıştırma

Bölüm bilgisi

Grant’ın videosu: YouTube — Chapter 12: What they won’t teach you in calculus (≈14 dk)
Kaynak: 3Blue1Brown — Essence of Calculus
Okuma süresi: ≈22 dk

13.1 Bu Derste Ne Var?

Serinin son bölümü. Çoğu calculus dersinin atladığı ama öğrenmeyi hızlandıran bir bakış: dönüşümsel görüş. Bu seride tüm sezgilerimiz grafiklere dayandı (türev = eğim, integral = alan). Ama girdi-çıktısı yalnızca sayı olmayan fonksiyonlara geçince grafik çizemezsin; grafik-temelli sezgi, çok değişkenli calculus ve kompleks analiz gibi ileri konulara gereksiz bir engel olur.

Üç ana fikir:

Dönüşümsel görüş: türev = girdiyi bir nokta civarında ne kadar gerip/sıkıştırdığı. ($x^2$’nin 1’deki türevi 2 = yerel olarak $\times 2$ germe.)
Sabit nokta: sonsuz kesir, $f(x) = 1 + 1/x$’in sabit noktasıdır; iki çözüm var ($\varphi \approx 1{,}618$ ve $-1/\varphi \approx -0{,}618$).
Kararlılık: $|f'| < 1$ ise sabit nokta çekici (stable), $|f'| > 1$ ise itici (unstable).

flowchart LR
    A["Grafik sezgisi:<br/>türev = eğim<br/>(tek değişken)"] --> B["Yetersiz:<br/>vektör→vektör grafiği yok"]
    B --> C["Dönüşümsel görüş:<br/>türev = yerel germe/sıkıştırma"]
    C --> D["⭐ Jacobian<br/>(çok değişkenli türev)"]
    C --> E["Sabit nokta<br/>x = f(x)"]
    E --> F["Kararlılık\: |f'| < 1<br/>contraction mapping"]
    F --> G["RNN spektral norm,<br/>DEQ, value iteration"]
    style C fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style D fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px
    style G fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2

Dönüşümsel türev: eğim olmaktan duyarlılık olmaya, sayı doğrusundan Jacobian’a.

“the stability of a fixed point is determined by whether or not the magnitude of its derivative is bigger or smaller than 1.” — Grant, 12:23

Builder Notu — ML Köprüleri

Germe/sıkışma faktörü → Jacobian determinantı. Çok değişkenlide türev, yerel hacmi ne kadar gerip sıkıştırdığını ($\det J$) söyler; normalizing flows’ta log-det-Jacobian tam budur.
Negatif türev → yön çevirme (Jacobian determinantının işareti); sıfır türev → çöküş (tekil/singular Jacobian, bilgi kaybı).
Kararlılık $|f'| < 1$ → contraction mapping (Banach sabit nokta teoremi): DEQ yakınsaması, power iteration, RL’de value iteration.
$|\text{türev}|$ ve kararlılık → RNN’de gradyan patlama/sönme: tekrarlı çarpımın Jacobian spektral normu $> 1$ ise patlar, $< 1$ ise söner; spectral normalization ve Lipschitz kısıtları tam bunu kontrol eder.

13.2 Grafik Sezgisinin Sınırı: Neden Yeni Bir Bakış?

Bu ilk yılın görsel sezgilerinin neredeyse tamamı grafiklere dayanır: türev bir grafiğin eğimi, integral o grafiğin altındaki alan. Ama calculus’u, girdi ve çıktısı yalnızca sayı olan fonksiyonların ötesine genelledikçe, analiz ettiğin fonksiyonu her zaman grafikleyemezsin.

Grant’ın paylaştığı alternatif: türevi, daha sorunsuz genelleşen bir biçimde düşünmek. Önemli nokta: “türev = eğim”i türevin tanımı sanma. Türev, daha temelde, fonksiyonun girdideki küçük dürtmelere ne kadar duyarlı olduğudur.

Builder Notu — Jacobian

“Türev = eğim”e fazla bağlanmanın bedeli, ML matematiğinde net görülür: orada türev neredeyse hiç “eğim” değildir. Bir sinir ağı vektörleri vektörlere eşler; türevi bir Jacobian matrisidir (yerel lineer dönüşüm). “Duyarlılık” ve “yerel dönüşüm” bakışı, tek-değişkenli eğimden çok daha sorunsuz genelleşir.

13.3 Dönüşümsel Görüş: Türev = Yerel Germe/Sıkışma

Alternatif görselin temel fikri: fonksiyonu, girdi doğrusundaki tüm noktaları başka bir sayı doğrusundaki karşılık gelen çıktılara eşleyen bir harita olarak düşün. Türev sana, girdi uzayının çeşitli bölgelerde ne kadar gerildiğini ya da sıkıştığını söyler.

Örnek: $f(x) = x^2$. Bu fonksiyon 1’i 1’e, 2’yi 4’e, 3’ü 9’a eşler. Girdi 1 etrafındaki küçük bir nokta kümesine yakınlaşıp nereye düştüklerine bakarsan, yaklaşık 2 katı gerildiklerini görürsün.

\[ f(x) = x^2: \qquad f'(1) = 2, \quad f'(3) = 6, \quad f'\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{1}{2} \]

Girdi 3 etrafında noktalar 6 katı gerilir; girdi $1/4$ etrafında ise $1/2$ katı büzülür.

Builder Notu — Normalizing Flows

“Yerel germe/sıkışma faktörü” tek-değişkenlide bir sayı, çok değişkenlide bir matristir — Jacobian. Ve bu faktörün büyüklüğü (Jacobian’ın determinantı), bir bölgenin hacminin ne kadar gerildiğini söyler. Normalizing flows tam bunu kullanır: veriyi tersine çevrilebilir bir dönüşümle başka bir uzaya taşırken, olasılık yoğunluğunun nasıl değiştiğini log-det-Jacobian ile hesaplar.

13.4 Özel Durumlar: Sıfır, Negatif, Çöküş

Girdi 0’da: $x^2$ için 0 etrafına 10x, 100x, 1000x yakınlaştıkça, küçük bir komşuluğun giderek tek bir noktaya (0’a) çöktüğünü görürsün. Türevin 0 olması tam budur — yerel davranış, tüm sayı doğrusunu 0 ile çarpmaya benzer.

\[ f'(0) = 2 \cdot 0 = 0 \]

Negatif girdilerde: girdi $-2$ etrafındaki noktalar yalnızca gerilmez, aynı zamanda ters çevrilir.

\[ f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4 \]

Builder Notu — Tekil Jacobian

Negatif türev = yön çevirme, çok değişkenlide Jacobian determinantının işaretine karşılık gelir. Sıfır türev = çöküş ise tekil (singular) Jacobian: dönüşüm bir boyutu ezer, bilgi geri döndürülemez biçimde kaybolur. Bu, otomatik kodlayıcılarda dar boğazın ve boyut indirgemenin neden bilgi kaybettiğinin geometrik nedenidir.

13.5 Sonsuz Kesir Bulmacası: İki Sabit Nokta

Sonsuz kesir $1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}$ aslında $f(x) = 1 + 1/x$ fonksiyonunun bir sabit noktasını arıyor:

\[ x = 1 + \frac{1}{x} \qquad x^2 - x - 1 = 0 \]

İki çözüm var: altın oran $\varphi$ ve onun “küçük kardeşi” $-1/\varphi$:

\[ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618, \qquad -\frac{1}{\varphi} \approx -0{,}618 \]

Bir hesap makinesi al, herhangi bir sayıyla başla ve $f(x) = 1 + 1/x$’i defalarca uygula: hangi sayıyla başlarsan başla, sonunda hep $1{,}618$’e varırsın — küçük kardeşe çok yakın başlasan bile ondan kaçıp $\varphi$’ye sıçrar.

Builder Notu — DEQ / Value Iteration

“$x = 1 + 1/x$’in sabit noktasını ara, ama iterasyonla bul” — bu, sabit-nokta iterasyonunun tam örneğidir. ML’de Deep Equilibrium Models (DEQ) çıktısını $z = f(z, x)$ sabit noktası olarak tanımlar; RL’de value iteration, Bellman operatörünün sabit noktasını arar.

13.6 Sabit Noktaların Kararlılığı: $|f'| < 1$

Cevap, dönüşümsel türevde. $\varphi$ etrafına yakınlaş: eşleme sırasında o bölgedeki noktalar $\varphi$’ye doğru büzülür, yani $f(x) = 1 + 1/x$’in oradaki türevinin büyüklüğü 1’den küçüktür.

\[ f(x) = 1 + \frac{1}{x}, \qquad f'(x) = -\frac{1}{x^2} \]

\[ |f'(\varphi)| \approx 0{,}38 < 1 \;(\text{stable}), \qquad \left|f'\!\left(-\tfrac{1}{\varphi}\right)\right| \approx 2{,}62 > 1 \;(\text{unstable}) \]

İşte çok yararlı bir gerçek: bir sabit noktanın kararlılığı, türevinin büyüklüğünün 1’den küçük mü büyük mü olduğuyla belirlenir. $|f'| < 1$ ise kararlı (çekici); $|f'| > 1$ ise kararsız (itici).

“the stability of a fixed point is determined by whether or not the magnitude of its derivative is bigger or smaller than 1.” — Grant, 12:23

Builder Notu — RNN ve Spectral Normalization

$|f'| < 1$ kararlılık koşulu, ML’in her yerindedir. Bir contraction mapping (Banach sabit nokta teoremi) tam olarak $|f'| < 1$ olan haritadır; DEQ ve value iteration’ın yakınsamasını bu garanti eder. Tekrarlı dinamiklerde (RNN’ler) ise tekrarlı çarpımın Jacobian’ının spektral normu $> 1$ ise gradyan patlar, $< 1$ ise söner — bu yüzden gradient clipping, ortogonal başlatma ve spectral normalization ile bu büyüklük 1 civarında tutulur.

13.7 Neden Öğrenmeli? Sonrası İçin

Grant’ın dürüst itirafı: türevi bu “yoğunluk değişimi” olarak görmek, bütün bir fonksiyonu resmetmek söz konusu olduğunda grafiklerden daha hantal olabilir. Asıl neden, tek-değişkenli calculus anlayışına kattığı şey değil — sonrasında geleni kolaylaştırmasıdır.

Çok değişkenli calculus, kompleks analiz, diferansiyel geometri… hepsinde fonksiyonlar artık birer dönüşümdür ve türev bir yerel germe/sıkışma (Jacobian) olarak çok daha doğal oturur.

“the real reason I’d recommend you carry this perspective with you as you learn new topics … it’s for what comes after.” — Grant, 13:58

Builder Notu — Asıl Çalışma Dili

ML matematiğinin tamamı, bu son dersin bakışıyla yazılır: fonksiyonlar dönüşümlerdir, türevler Jacobian’lardır, eğitim bu dönüşümlerin yerel davranışını (gradient, eğrilik, spektral norm) kontrol etmektir. Grafik sezgisi tek-değişkenlide harikadır; ama derin öğrenmeye geçtiğinde, Grant’ın bu “atlanmış” dönüşümsel görüşü senin asıl çalışma dilin olur.

13.8 Bu Dersin Özeti

Bu serinin grafik sezgisi (türev = eğim) güçlüdür ama sayı→sayı fonksiyonlarıyla sınırlıdır.
Dönüşümsel görüş: fonksiyon, bir sayı doğrusunu başka bir sayı doğrusuna eşleyen dönüşümdür; türev = yerel germe/sıkışma faktörü.
$x^2$: girdi 1’de $\times 2$, 3’te $\times 6$, $1/4$’te $\times 1/2$ (büzülme), 0’da çöküş (türev 0), $-2$’de $\times -4$ (gerilme + ters çevirme).
Sonsuz kesir = $f(x) = 1 + 1/x$’in sabit noktası; iki çözüm: $\varphi \approx 1{,}618$ ve $-1/\varphi \approx -0{,}618$.
Kararlılık: $|f'| < 1$ ise çekici (stable), $|f'| > 1$ ise itici (unstable).
Türev, daha temelde “girdideki küçük dürtmelere duyarlılık”tır; eğim bunun yalnızca bir görünümüdür.
Bu bakış, türevi grafiklerin ötesine (Jacobian, çok değişkenli calculus) taşıyan esnek köprüdür.

Tek bir cümle

Türev, “eğim” olmaktan daha temelde, bir fonksiyonun girdiyi yerel olarak ne kadar gerip sıkıştırdığıdır (negatifse ters çevirir, sıfırsa çökertir); bu dönüşümsel bakış, sabit noktaların kararlılığını $|f'| < 1$ ile açıklar ve türevi grafiklerin ötesine — Jacobian’lara — taşıyan köprüdür.

13.9 Kontrol Soruları

Soru 1: f(x) = x³’ün x = 2’deki türevini dönüşümsel olarak yorumla.

Cevap: $f'(x) = 3x^2$, dolayısıyla $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$. Dönüşümsel anlamı: girdi 2 etrafındaki küçük bir nokta kümesi, eşlemeden sonra yaklaşık 12 katı gerilir.

Soru 2: f(x) = x/2’nin sabit noktası 0’dır. Kararlı mı? İterasyon ne yapar?

Cevap: $f'(x) = 1/2$. $|f'| = 1/2 < 1$ olduğundan 0 kararlı (çekici). Herhangi bir tohumdan başla: $x, x/2, x/4, x/8, \ldots \to 0$. Her adım komşuluğu yarıya büzer, bir contraction mapping.

Soru 3: Dönüşümsel görüşte negatif türev ne anlama gelir? Ya sıfır türev?

Cevap: Negatif türev: yerel komşuluk hem gerilir/büzülür hem de ters çevrilir. Sıfır türev: komşuluk giderek tek bir noktaya çöker — bilgi yerel olarak kaybolur.

Soru 4: (Builder) Bir RNN’in tekrarlı haritasının Jacobian’ının spektral normu ≈ 1,5 ise, uzun bir dizide gradyana ne olur?

Cevap: Geri yayılım, her zaman adımında bu Jacobian’la çarpar; spektral norm $\approx 1{,}5$ ise gradyanın büyüklüğü her adımda $\sim 1{,}5$ kat artar, $T$ adımda $\sim 1{,}5^T$ olur — yani patlar. $< 1$ olsaydı $\sim 0{,}x^T$ ile sönerdi. Gradient clipping, ortogonal başlatma ve spectral normalization bu büyüklüğü 1 civarında tutmak içindir.

13.10 Egzersizler

Egzersiz 1. $f(x) = 2x + 1$’in her noktadaki germe faktörü nedir? (İpucu: $f'$ sabit.)

Egzersiz 2. $f(x) = \sqrt{x}$’in $x = 4$’teki germe/sıkışma faktörünü bul. Bu, $x^2$’nin $x = 2$’deki germesinin tersi olmalı; neden?

Egzersiz 3. $f(x) = \cos(x)$’in sabit noktasını (Dottie sayısı $\approx 0{,}739$) bir hesap makinesinde tekrarlı $\cos$ alarak bul. Kararlı mı?

Egzersiz 4. (Python — sabit nokta ve kararlılık) $f(x) = 1 + 1/x$’i farklı tohumlardan iterasyonla uygula.

Egzersiz 5. (Seri sonu) Bir an dur ve 12 bölümü topla: küçük dürtmeler ($dx$), yaklaşıktan kesine geçiş (limit), türev (oran/germe), integral (toplam/alan), terslik (FTC), üsteller, Taylor, dönüşümler. “Calculus’u kendim icat edebilirdim” hissini bir cümleyle yaz.

13.11 Seri Sonu: Calculus’tan Sonra

Essence of Calculus’un 12 bölümü burada tamamlanıyor. Tek bir daireyi dilimleyerek başladık (Ders 1), türevi küçük dürtmelerle kurduk (Ders 2-4), üstelleri ve $e$’yi anladık (Ders 5-6), limitlerle her şeyi sağlamlaştırdık (Ders 7), integral-türev tersliğini kapattık (Ders 8-9), eğriliği ve Taylor’ı ekledik (Ders 10-11) ve nihayet türevin grafiklerin ötesine geçen dönüşümsel yüzünü gördük (Ders 12).

Sırada ne var? Bu dönüşümsel bakış, doğrudan çok değişkenli calculusa açılır: gradient (her yöndeki duyarlılık), Jacobian (vektör→vektör dönüşümün yerel hâli), Hessian (eğrilik matrisi) — hepsi burada gördüğün tek-değişkenli fikirlerin doğal genellemesi. ML için bu üçü kritiktir.

13.12 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Grant’ta
Dönüşümsel görüş	Fonksiyon = bir sayı doğrusu → başka sayı doğrusu	2m22
Türev = germe/sıkışma faktörü	Girdinin yerel ölçek değişimi	2m33
$x^2$ türevleri (dönüşümsel)	1’de $\times 2$, 3’te $\times 6$, $1/4$’te $\times 1/2$	2m59
Sıfır türev = çöküş	Komşuluk tek noktaya ezilir	4m13
Negatif türev = ters çevirme	Gerilme + yön değişimi	4m55
Sabit nokta	$x = f(x)$; sonsuz kesir $\to \varphi, -1/\varphi$	6m05
Kararlılık $\\|f'\\| < 1$	Çekici (stable) vs itici (unstable)	12m23
Sonrası için	Jacobian, çok değişkenli; esnek bakış	13m58

13.13 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Germe/sıkışma → Jacobian determinantı → normalizing flows’ta log-det-Jacobian, değişken değiştirme.
Negatif/sıfır türev → yönelim (det işareti) / tekil (singular) Jacobian: bilgi kaybı, bottleneck.
Sabit nokta iterasyonu → Deep Equilibrium Models (DEQ), RL’de value iteration, power iteration.
Kararlılık $|f'| < 1$ → contraction mapping (Banach sabit nokta teoremi); iteratif yöntemlerin yakınsama garantisi.
Spektral norm → RNN’de gradyan patlama/sönme; spectral normalization, Lipschitz kısıtları.
Türev = duyarlılık (eğim değil) → Jacobian; çok değişkenli calculus ve derin öğrenmenin asıl dili.
Tersine çevrilebilirlik → normalizing flows, invertible networks (Jacobian determinantı $\neq 0$ şartı).

Bu dersten — ve tüm seriden — tek bir şey alıp gideceksen

Türev, bir eğrinin eğimi olmaktan daha temelde, bir fonksiyonun girdiye duyarlılığıdır — yerel bir germe/sıkışma. Bu bakış eğimden Jacobian’a, tek değişkenden derin ağlara sorunsuz geçer. 12 bölüm boyunca gördüğün her şey — küçük dürtmeler, limit, türev, integral, terslik, Taylor — tek bir cümlede toplanır: küçük değişimlere yeterince dikkatle bakarsan, calculus’un tamamını kendin keşfedebilirsin.

--- title: "Calculus'ta Sana Öğretmedikleri" subtitle: "Dönüşümsel görüş — sayı doğrusundan sayı doğrusuna germe/sıkıştırma" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Grant'ın videosu:** [YouTube — Chapter 12: What they won't teach you in calculus](https://www.youtube.com/watch?v=CfW845LNObM&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=12) (≈14 dk) - **Kaynak:** [3Blue1Brown — Essence of Calculus](https://www.3blue1brown.com/topics/calculus) - **Okuma süresi:** ≈22 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-donusum-intro} Serinin son bölümü. Çoğu calculus dersinin atladığı ama öğrenmeyi hızlandıran bir bakış: **dönüşümsel görüş**. Bu seride tüm sezgilerimiz **grafiklere** dayandı (türev = eğim, integral = alan). Ama girdi-çıktısı yalnızca sayı olmayan fonksiyonlara geçince grafik çizemezsin; grafik-temelli sezgi, çok değişkenli calculus ve kompleks analiz gibi ileri konulara gereksiz bir engel olur. **Üç ana fikir:** 1. **Dönüşümsel görüş:** türev = girdiyi bir nokta civarında ne kadar gerip/sıkıştırdığı. ($x^2$'nin 1'deki türevi 2 = yerel olarak $\times 2$ germe.) 2. **Sabit nokta:** sonsuz kesir, $f(x) = 1 + 1/x$'in **sabit noktasıdır**; iki çözüm var ($\varphi \approx 1{,}618$ ve $-1/\varphi \approx -0{,}618$). 3. **Kararlılık:** $|f'| < 1$ ise sabit nokta **çekici** (stable), $|f'| > 1$ ise **itici** (unstable). ```{mermaid} %%| fig-cap: "Dönüşümsel türev: eğim olmaktan duyarlılık olmaya, sayı doğrusundan Jacobian'a." flowchart LR A["Grafik sezgisi: türev = eğim (tek değişken)"] --> B["Yetersiz: vektör→vektör grafiği yok"] B --> C["Dönüşümsel görüş: türev = yerel germe/sıkıştırma"] C --> D["⭐ Jacobian (çok değişkenli türev)"] C --> E["Sabit nokta x = f(x)"] E --> F["Kararlılık\: |f'| < 1 contraction mapping"] F --> G["RNN spektral norm, DEQ, value iteration"] style C fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style D fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px style G fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2 ``` > *"the stability of a fixed point is determined by whether or not the magnitude of its derivative is bigger or smaller than 1."* — Grant, 12:23 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Germe/sıkışma faktörü → Jacobian determinantı.** Çok değişkenlide türev, yerel hacmi ne kadar gerip sıkıştırdığını ($\det J$) söyler; **normalizing flows**'ta log-det-Jacobian tam budur. - **Negatif türev → yön çevirme** (Jacobian determinantının işareti); **sıfır türev → çöküş** (tekil/singular Jacobian, bilgi kaybı). - **Kararlılık $|f'| < 1$ → contraction mapping** (Banach sabit nokta teoremi): DEQ yakınsaması, power iteration, RL'de value iteration. - **$|\text{türev}|$ ve kararlılık → RNN'de gradyan patlama/sönme:** tekrarlı çarpımın Jacobian spektral normu $> 1$ ise patlar, $< 1$ ise söner; **spectral normalization** ve Lipschitz kısıtları tam bunu kontrol eder. ::: ## Grafik Sezgisinin Sınırı: Neden Yeni Bir Bakış? {#sec-sinir} Bu ilk yılın görsel sezgilerinin neredeyse tamamı **grafiklere** dayanır: türev bir grafiğin eğimi, integral o grafiğin altındaki alan. Ama calculus'u, girdi ve çıktısı yalnızca sayı olan fonksiyonların ötesine genelledikçe, analiz ettiğin fonksiyonu her zaman grafikleyemezsin. Grant'ın paylaştığı alternatif: türevi, daha sorunsuz genelleşen bir biçimde düşünmek. Önemli nokta: "türev = eğim"i türevin **tanımı** sanma. Türev, daha temelde, **fonksiyonun girdideki küçük dürtmelere ne kadar duyarlı olduğudur**. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Jacobian"} "Türev = eğim"e fazla bağlanmanın bedeli, ML matematiğinde net görülür: orada türev neredeyse hiç "eğim" değildir. Bir sinir ağı vektörleri vektörlere eşler; türevi bir **Jacobian matrisidir** (yerel lineer dönüşüm). "Duyarlılık" ve "yerel dönüşüm" bakışı, tek-değişkenli eğimden çok daha sorunsuz genelleşir. ::: ## Dönüşümsel Görüş: Türev = Yerel Germe/Sıkışma {#sec-germe-sikisma} Alternatif görselin temel fikri: fonksiyonu, girdi doğrusundaki tüm noktaları **başka bir sayı doğrusundaki** karşılık gelen çıktılara eşleyen bir harita olarak düşün. Türev sana, girdi uzayının çeşitli bölgelerde ne kadar **gerildiğini ya da sıkıştığını** söyler. Örnek: $f(x) = x^2$. Bu fonksiyon 1'i 1'e, 2'yi 4'e, 3'ü 9'a eşler. Girdi 1 etrafındaki küçük bir nokta kümesine yakınlaşıp nereye düştüklerine bakarsan, yaklaşık **2 katı** gerildiklerini görürsün. ```{python} #| label: fig-donusumsel #| fig-cap: "Dönüşümsel görüş: $f(x) = x^2$. Girdi doğrusundaki eşit aralıklı noktalar, çıktı doğrusunda nasıl gerilir veya sıkışır. Türev = yerel ölçek faktörü." #| fig-width: 11 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 5)) # Girdi doğrusu y_in = 1.5 y_out = 0 ax.axhline(y_in, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, xmin=0.03, xmax=0.97) ax.axhline(y_out, color='#c2410c', linewidth=2.5, xmin=0.03, xmax=0.97) ax.text(-1.4, y_in, 'girdi $x$', fontsize=13, color='#1e3a8a', va='center', ha='right') ax.text(-1.4, y_out, 'çıktı $x^2$', fontsize=13, color='#c2410c', va='center', ha='right') # tick'ler for v in range(-3, 4): ax.plot([v, v], [y_in - 0.06, y_in + 0.06], color='#1e3a8a', linewidth=1.2) ax.text(v, y_in + 0.15, f'{v}', fontsize=9, ha='center', color='#1e3a8a') for v in [-2, 0, 1, 4, 9]: ax.plot([v, v], [y_out - 0.06, y_out + 0.06], color='#c2410c', linewidth=1.2) ax.text(v, y_out - 0.22, f'{v}', fontsize=9, ha='center', color='#c2410c') # Mapping points giriş = [0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0] renkler = plt.cm.viridis(np.linspace(0, 1, len(giriş))) for x_val, c in zip(giriş, renkler): y_val = x_val**2 ax.plot(x_val, y_in, 'o', color=c, markersize=10, zorder=5) ax.plot(y_val, y_out, 'o', color=c, markersize=10, zorder=5) ax.plot([x_val, y_val], [y_in - 0.06, y_out + 0.06], color=c, linewidth=1, alpha=0.6) # Etiketler ax.text(-3, 0.8, "$f'(1) = 2$:\nyerel olarak\n×2 germe", fontsize=11, ha='left', color='#7c3aed', bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='#f3e8ff', edgecolor='#7c3aed')) ax.set_xlim(-3.5, 10); ax.set_ylim(-0.5, 2.2) ax.set_title("Dönüşümsel görüş: $f(x) = x^2$ — yerel germe faktörü = türev", fontsize=12) ax.axis('off') plt.tight_layout() plt.show() ``` $$ f(x) = x^2: \qquad f'(1) = 2, \quad f'(3) = 6, \quad f'\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = \tfrac{1}{2} $$ Girdi 3 etrafında noktalar 6 katı gerilir; girdi $1/4$ etrafında ise $1/2$ katı **büzülür**. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Normalizing Flows"} "Yerel germe/sıkışma faktörü" tek-değişkenlide bir sayı, çok değişkenlide bir **matristir** — Jacobian. Ve bu faktörün büyüklüğü (Jacobian'ın determinantı), bir bölgenin **hacminin** ne kadar gerildiğini söyler. **Normalizing flows** tam bunu kullanır: veriyi tersine çevrilebilir bir dönüşümle başka bir uzaya taşırken, olasılık yoğunluğunun nasıl değiştiğini log-det-Jacobian ile hesaplar. ::: ## Özel Durumlar: Sıfır, Negatif, Çöküş {#sec-ozel-durumlar} **Girdi 0'da:** $x^2$ için 0 etrafına 10x, 100x, 1000x yakınlaştıkça, küçük bir komşuluğun giderek tek bir noktaya (0'a) **çöktüğünü** görürsün. Türevin 0 olması tam budur — yerel davranış, tüm sayı doğrusunu 0 ile çarpmaya benzer. $$ f'(0) = 2 \cdot 0 = 0 $$ **Negatif girdilerde:** girdi $-2$ etrafındaki noktalar yalnızca gerilmez, aynı zamanda **ters çevrilir**. $$ f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4 $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Tekil Jacobian"} Negatif türev = yön çevirme, çok değişkenlide Jacobian determinantının **işaretine** karşılık gelir. Sıfır türev = çöküş ise **tekil (singular) Jacobian**: dönüşüm bir boyutu ezer, bilgi geri döndürülemez biçimde kaybolur. Bu, otomatik kodlayıcılarda dar boğazın ve boyut indirgemenin neden bilgi kaybettiğinin geometrik nedenidir. ::: ## Sonsuz Kesir Bulmacası: İki Sabit Nokta {#sec-sonsuz-kesir} Sonsuz kesir $1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}$ aslında $f(x) = 1 + 1/x$ fonksiyonunun bir **sabit noktasını** arıyor: $$ x = 1 + \frac{1}{x} \qquad x^2 - x - 1 = 0 $$ İki çözüm var: altın oran $\varphi$ ve onun "küçük kardeşi" $-1/\varphi$: $$ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618, \qquad -\frac{1}{\varphi} \approx -0{,}618 $$ Bir hesap makinesi al, **herhangi** bir sayıyla başla ve $f(x) = 1 + 1/x$'i defalarca uygula: hangi sayıyla başlarsan başla, sonunda hep $1{,}618$'e varırsın — küçük kardeşe çok yakın başlasan bile ondan kaçıp $\varphi$'ye sıçrar. ```{python} #| label: fig-sabit-nokta #| fig-cap: "Sabit nokta iterasyonu: $f(x) = 1 + 1/x$. Farklı tohumlar hep $\\varphi$'ye yakınsar; küçük kardeş kararsız." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2 fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) for tohum, color in [(0.5, '#1e3a8a'), (-0.6, '#c2410c'), (3.0, '#16a34a'), (-10, '#7c3aed')]: x = tohum hist = [x] for _ in range(15): x = 1 + 1/x hist.append(x) ax.plot(range(len(hist)), hist, 'o-', color=color, markersize=6, linewidth=1.5, label=f'tohum = {tohum}') ax.axhline(phi, color='#16a34a', linestyle='--', linewidth=2, label=f'$\\varphi \\approx {phi:.4f}$') ax.axhline(-1/phi, color='#dc2626', linestyle=':', linewidth=1.5, label=f'$-1/\\varphi \\approx {-1/phi:.4f}$ (kararsız)') ax.set_xlabel('iterasyon', fontsize=11) ax.set_ylabel('$x$', fontsize=11) ax.set_title('$x \\to 1 + 1/x$: tüm tohumlar $\\varphi$\'ye yakınsar', fontsize=12) ax.legend(fontsize=10) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_ylim(-2, 4) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — DEQ / Value Iteration"} "$x = 1 + 1/x$'in sabit noktasını ara, ama iterasyonla bul" — bu, **sabit-nokta iterasyonunun** tam örneğidir. ML'de Deep Equilibrium Models (DEQ) çıktısını $z = f(z, x)$ sabit noktası olarak tanımlar; RL'de value iteration, Bellman operatörünün sabit noktasını arar. ::: ## Sabit Noktaların Kararlılığı: $|f'| < 1$ {#sec-kararlilik} Cevap, dönüşümsel türevde. $\varphi$ etrafına yakınlaş: eşleme sırasında o bölgedeki noktalar $\varphi$'ye doğru **büzülür**, yani $f(x) = 1 + 1/x$'in oradaki türevinin büyüklüğü 1'den küçüktür. $$ f(x) = 1 + \frac{1}{x}, \qquad f'(x) = -\frac{1}{x^2} $$ $$ |f'(\varphi)| \approx 0{,}38 < 1 \;(\text{stable}), \qquad \left|f'\!\left(-\tfrac{1}{\varphi}\right)\right| \approx 2{,}62 > 1 \;(\text{unstable}) $$ İşte çok yararlı bir gerçek: bir sabit noktanın **kararlılığı**, türevinin büyüklüğünün 1'den küçük mü büyük mü olduğuyla belirlenir. $|f'| < 1$ ise kararlı (çekici); $|f'| > 1$ ise kararsız (itici). > *"the stability of a fixed point is determined by whether or not the magnitude of its derivative is bigger or smaller than 1."* — Grant, 12:23 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — RNN ve Spectral Normalization"} $|f'| < 1$ kararlılık koşulu, ML'in her yerindedir. Bir **contraction mapping** (Banach sabit nokta teoremi) tam olarak $|f'| < 1$ olan haritadır; DEQ ve value iteration'ın yakınsamasını bu garanti eder. Tekrarlı dinamiklerde (RNN'ler) ise tekrarlı çarpımın Jacobian'ının spektral normu $> 1$ ise gradyan **patlar**, $< 1$ ise **söner** — bu yüzden gradient clipping, ortogonal başlatma ve **spectral normalization** ile bu büyüklük 1 civarında tutulur. ::: ## Neden Öğrenmeli? Sonrası İçin {#sec-sonrasi} Grant'ın dürüst itirafı: türevi bu "yoğunluk değişimi" olarak görmek, bütün bir fonksiyonu resmetmek söz konusu olduğunda grafiklerden daha hantal olabilir. Asıl neden, tek-değişkenli calculus anlayışına kattığı şey değil — **sonrasında geleni** kolaylaştırmasıdır. Çok değişkenli calculus, kompleks analiz, diferansiyel geometri… hepsinde fonksiyonlar artık birer dönüşümdür ve türev bir yerel germe/sıkışma (Jacobian) olarak çok daha doğal oturur. > *"the real reason I'd recommend you carry this perspective with you as you learn new topics ... it's for what comes after."* — Grant, 13:58 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Asıl Çalışma Dili"} ML matematiğinin tamamı, bu son dersin bakışıyla yazılır: fonksiyonlar dönüşümlerdir, türevler Jacobian'lardır, eğitim bu dönüşümlerin yerel davranışını (gradient, eğrilik, spektral norm) kontrol etmektir. Grafik sezgisi tek-değişkenlide harikadır; ama derin öğrenmeye geçtiğinde, Grant'ın bu "atlanmış" dönüşümsel görüşü senin asıl çalışma dilin olur. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet-12} 1. Bu serinin grafik sezgisi (türev = eğim) güçlüdür ama sayı→sayı fonksiyonlarıyla sınırlıdır. 2. Dönüşümsel görüş: fonksiyon, bir sayı doğrusunu başka bir sayı doğrusuna eşleyen dönüşümdür; türev = yerel **germe/sıkışma faktörü**. 3. $x^2$: girdi 1'de $\times 2$, 3'te $\times 6$, $1/4$'te $\times 1/2$ (büzülme), 0'da çöküş (türev 0), $-2$'de $\times -4$ (gerilme + ters çevirme). 4. Sonsuz kesir = $f(x) = 1 + 1/x$'in sabit noktası; iki çözüm: $\varphi \approx 1{,}618$ ve $-1/\varphi \approx -0{,}618$. 5. Kararlılık: $|f'| < 1$ ise çekici (stable), $|f'| > 1$ ise itici (unstable). 6. Türev, daha temelde "girdideki küçük dürtmelere duyarlılık"tır; eğim bunun yalnızca bir görünümüdür. 7. Bu bakış, türevi grafiklerin ötesine (Jacobian, çok değişkenli calculus) taşıyan esnek köprüdür. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Türev, "eğim" olmaktan daha temelde, bir fonksiyonun girdiyi yerel olarak ne kadar gerip sıkıştırdığıdır (negatifse ters çevirir, sıfırsa çökertir); bu dönüşümsel bakış, sabit noktaların kararlılığını $|f'| < 1$ ile açıklar ve türevi grafiklerin ötesine — Jacobian'lara — taşıyan köprüdür. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular-12} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: f(x) = x³'ün x = 2'deki türevini dönüşümsel olarak yorumla."} **Cevap:** $f'(x) = 3x^2$, dolayısıyla $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$. Dönüşümsel anlamı: girdi 2 etrafındaki küçük bir nokta kümesi, eşlemeden sonra yaklaşık **12 katı gerilir**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: f(x) = x/2'nin sabit noktası 0'dır. Kararlı mı? İterasyon ne yapar?"} **Cevap:** $f'(x) = 1/2$. $|f'| = 1/2 < 1$ olduğundan 0 **kararlı** (çekici). Herhangi bir tohumdan başla: $x, x/2, x/4, x/8, \ldots \to 0$. Her adım komşuluğu yarıya büzer, bir contraction mapping. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Dönüşümsel görüşte negatif türev ne anlama gelir? Ya sıfır türev?"} **Cevap:** **Negatif türev:** yerel komşuluk hem gerilir/büzülür hem de **ters çevrilir**. **Sıfır türev:** komşuluk giderek tek bir noktaya **çöker** — bilgi yerel olarak kaybolur. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Bir RNN'in tekrarlı haritasının Jacobian'ının spektral normu ≈ 1,5 ise, uzun bir dizide gradyana ne olur?"} **Cevap:** Geri yayılım, her zaman adımında bu Jacobian'la çarpar; spektral norm $\approx 1{,}5$ ise gradyanın büyüklüğü her adımda $\sim 1{,}5$ kat artar, $T$ adımda $\sim 1{,}5^T$ olur — yani **patlar**. $< 1$ olsaydı $\sim 0{,}x^T$ ile **sönerdi**. Gradient clipping, ortogonal başlatma ve spectral normalization bu büyüklüğü 1 civarında tutmak içindir. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler-12} **Egzersiz 1.** $f(x) = 2x + 1$'in her noktadaki germe faktörü nedir? (İpucu: $f'$ sabit.) **Egzersiz 2.** $f(x) = \sqrt{x}$'in $x = 4$'teki germe/sıkışma faktörünü bul. Bu, $x^2$'nin $x = 2$'deki germesinin tersi olmalı; neden? **Egzersiz 3.** $f(x) = \cos(x)$'in sabit noktasını (Dottie sayısı $\approx 0{,}739$) bir hesap makinesinde tekrarlı $\cos$ alarak bul. Kararlı mı? **Egzersiz 4.** *(Python — sabit nokta ve kararlılık)* $f(x) = 1 + 1/x$'i farklı tohumlardan iterasyonla uygula. ```{python} phi = (1 + 5**0.5) / 2 f = lambda x: 1 + 1/x df = lambda x: -1 / x**2 for seed in [0.5, -0.6, 100.0, -10.0]: x = seed for _ in range(60): x = f(x) print(f"tohum {seed:6}: -> {x:.6f}") print("phi =", round(phi, 6)) print(f"|f'(phi)| = {abs(df(phi)):.3f} (<1, kararli)") print(f"|f'(-1/phi)| = {abs(df(-1/phi)):.3f} (>1, kararsiz)") ``` **Egzersiz 5.** *(Seri sonu)* Bir an dur ve 12 bölümü topla: küçük dürtmeler ($dx$), yaklaşıktan kesine geçiş (limit), türev (oran/germe), integral (toplam/alan), terslik (FTC), üsteller, Taylor, dönüşümler. "Calculus'u kendim icat edebilirdim" hissini bir cümleyle yaz. ## Seri Sonu: Calculus'tan Sonra {#sec-seri-sonu} Essence of Calculus'un 12 bölümü burada tamamlanıyor. Tek bir daireyi dilimleyerek başladık ([Ders 1](01-calculus-ozu.qmd)), türevi küçük dürtmelerle kurduk (Ders 2-4), üstelleri ve $e$'yi anladık (Ders 5-6), limitlerle her şeyi sağlamlaştırdık (Ders 7), integral-türev tersliğini kapattık (Ders 8-9), eğriliği ve Taylor'ı ekledik (Ders 10-11) ve nihayet türevin grafiklerin ötesine geçen dönüşümsel yüzünü gördük (Ders 12). **Sırada ne var?** Bu dönüşümsel bakış, doğrudan **çok değişkenli calculus**a açılır: gradient (her yöndeki duyarlılık), Jacobian (vektör→vektör dönüşümün yerel hâli), Hessian (eğrilik matrisi) — hepsi burada gördüğün tek-değişkenli fikirlerin doğal genellemesi. ML için bu üçü kritiktir. ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-12} | Kavram | Tanım | Grant'ta | |--------|-------|----------| | **Dönüşümsel görüş** | Fonksiyon = bir sayı doğrusu → başka sayı doğrusu | 2m22 | | **Türev = germe/sıkışma faktörü** | Girdinin yerel ölçek değişimi | 2m33 | | **$x^2$ türevleri (dönüşümsel)** | 1'de $\times 2$, 3'te $\times 6$, $1/4$'te $\times 1/2$ | 2m59 | | **Sıfır türev = çöküş** | Komşuluk tek noktaya ezilir | 4m13 | | **Negatif türev = ters çevirme** | Gerilme + yön değişimi | 4m55 | | **Sabit nokta** | $x = f(x)$; sonsuz kesir $\to \varphi, -1/\varphi$ | 6m05 | | **Kararlılık $\|f'\| < 1$** | Çekici (stable) vs itici (unstable) | 12m23 | | **Sonrası için** | Jacobian, çok değişkenli; esnek bakış | 13m58 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-12} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Germe/sıkışma → Jacobian determinantı** → normalizing flows'ta log-det-Jacobian, değişken değiştirme. 2. **Negatif/sıfır türev** → yönelim (det işareti) / tekil (singular) Jacobian: bilgi kaybı, bottleneck. 3. **Sabit nokta iterasyonu** → Deep Equilibrium Models (DEQ), RL'de value iteration, power iteration. 4. **Kararlılık $|f'| < 1$** → contraction mapping (Banach sabit nokta teoremi); iteratif yöntemlerin yakınsama garantisi. 5. **Spektral norm** → RNN'de gradyan patlama/sönme; spectral normalization, Lipschitz kısıtları. 6. **Türev = duyarlılık (eğim değil)** → Jacobian; çok değişkenli calculus ve derin öğrenmenin asıl dili. 7. **Tersine çevrilebilirlik** → normalizing flows, invertible networks (Jacobian determinantı $\neq 0$ şartı). ::: ::: {.callout-important title="Bu dersten — ve tüm seriden — tek bir şey alıp gideceksen"} Türev, bir eğrinin eğimi olmaktan daha temelde, bir fonksiyonun girdiye **duyarlılığıdır** — yerel bir germe/sıkışma. Bu bakış eğimden Jacobian'a, tek değişkenden derin ağlara sorunsuz geçer. 12 bölüm boyunca gördüğün her şey — küçük dürtmeler, limit, türev, integral, terslik, Taylor — tek bir cümlede toplanır: **küçük değişimlere yeterince dikkatle bakarsan, calculus'un tamamını kendin keşfedebilirsin.** :::

13.1 Bu Derste Ne Var?

13.2 Grafik Sezgisinin Sınırı: Neden Yeni Bir Bakış?

13.3 Dönüşümsel Görüş: Türev = Yerel Germe/Sıkışma

13.4 Özel Durumlar: Sıfır, Negatif, Çöküş

13.5 Sonsuz Kesir Bulmacası: İki Sabit Nokta

13.6 Sabit Noktaların Kararlılığı: \(|f'| < 1\)

13.7 Neden Öğrenmeli? Sonrası İçin

13.8 Bu Dersin Özeti

13.9 Kontrol Soruları

13.10 Egzersizler

13.11 Seri Sonu: Calculus’tan Sonra

13.12 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

13.13 ML Bağlantıları Özeti