12 Taylor Serileri

Tek nokta türev bilgisini civar davranışa çevirme

Bölüm bilgisi

Grant’ın videosu: YouTube — Chapter 11: Taylor series (≈22 dk)
Kaynak: 3Blue1Brown — Essence of Calculus
Okuma süresi: ≈28 dk

12.1 Bu Derste Ne Var?

Taylor serileri, matematiğin fonksiyon yaklaşımı için sunduğu en güçlü araçlardan biridir. Temel fikir: polinom-olmayan bir fonksiyonu, bir nokta civarında polinomlarla yaklaştırmak — çünkü polinomları hesaplamak, türevlemek ve integrallemek çok daha kolaydır.

Üç ana fikir:

Taylor polinomu: bir fonksiyonu bir noktada polinomla yaklaştır; polinomun katsayıları, türevleri o noktada eşleştirir (değer, eğim, eğrilik…).
n. terimin katsayısı = $f^{(n)}(0) / n!$ — faktöriyel, kuvvet kuralının kademeli etkisini götürür.
Taylor serisi (sonsuz terim): bazen her yerde yakınsar ($e^x$, $\sin$, $\cos$), bazen yalnızca bir yakınsama yarıçapı içinde.

flowchart LR
    F["f(x)"] --> T0["c₀ = f(a)<br/>(değer)"]
    F --> T1["c₁ = f'(a)<br/>(eğim, gradient)"]
    F --> T2["c₂ = f''(a)/2!<br/>(eğrilik, Hessian)"]
    F --> Tn["cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!<br/>(yüksek mertebe)"]
    T0 --> P["P(x) = Σ cₙ·(x−a)ⁿ"]
    T1 --> P
    T2 --> P
    Tn --> P
    P --> O["ML\: Newton's method,<br/>trust region, GELU yaklaşımı"]
    style T1 fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2
    style T2 fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style O fill:#fce4ec,stroke:#c2185b

Şekil 12.1: Taylor zinciri: değer + eğim + eğrilik + … = giderek daha iyi polinom yaklaşımı.

“they translate derivative information at a single point to approximation information around that point.” — Grant, 21:33

Builder Notu — ML Köprüleri

Birinci-derece Taylor → gradient / lineerleştirme: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$; gradient descent adımı tam bu yerel lineer modeldir.
İkinci-derece Taylor → Hessian, Newton’s method: $f(x) \approx \ldots + \tfrac{1}{2} f''(a)(x-a)^2$; trust region, doğal gradyan ve ikinci-derece optimizer’lar bu kuadratik modeli kullanır.
$e^x$ serisi → softmax/exp hesabı; GELU’nun tanh/erf ile yaklaşımı, sigmoid açılımları.
“Tek noktadaki türev bilgisi → civardaki davranış” → yerel / surrogate modeller, RL ve kontrolde sistemi bir nokta civarında lineerleştirme.
Yakınsama yarıçapı → bir yaklaşımın geçerli kaldığı bölge; sayısal serilerin ve aktivasyon yaklaşımlarının sınırı.

12.2 Neden Taylor? Polinomla Yaklaşmak

Grant’ın bu fikri ilk kavradığı an bir fizik dersinde olmuş: bir sarkacın potansiyel enerjisi $1 - \cos(\theta)$ ile orantılıydı ve bu cosine ifadesi problemi hantal yapıyordu. Ama $\cos(\theta)$’yı $1 - \theta^2/2$ ile yaklaştırınca her şey yerine oturdu.

Motivasyon, polinomların diğer fonksiyonlardan çok daha uysal olması: kolay hesaplanır, kolay türevlenir, kolay integrallenir.

Builder Notu — Yerel Polinom

ML’de bir fonksiyonu yerel olarak basit bir modelle değiştirmek her yerdedir. Gradient descent, kaybı bir noktada birinci-derece (lineer) Taylor ile değiştirir ve o yönde adım atar. Newton’s method ve trust-region yöntemleri ikinci-derece (kuadratik) Taylor kullanır.

12.3 $\cos(x)$’i Parabolle Yaklaştırmak

$\cos(x)$’i $x = 0$ civarında bir kuadratikle yaklaştıralım:

\[ P(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 \]

Üç koşulu sırayla dayatıyoruz:

Değer eşleşsin: $\cos(0) = 1$. $P(0) = c_0$, dolayısıyla $c_0 = 1$.
Eğim eşleşsin: $\cos' = -\sin$, $x = 0$’da 0. $P'(x) = c_1 + 2c_2 x$, $x = 0$’da $c_1$. Dolayısıyla $c_1 = 0$.
Eğrilik eşleşsin: $\cos'' = -\cos$, $x = 0$’da $-1$. $P''(x) = 2c_2$. Dolayısıyla $c_2 = -1/2$.

\[ \cos(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 \]

$\cos(0{,}1)$’i bu polinomla tahmin edersen $0{,}995$ çıkar — ve $\cos(0{,}1)$’in gerçek değeri de $0{,}995$. Üç serbestlik derecesi sırasıyla değeri, eğimi ve eğriliği $\cos$ ile eşleştirdi.

Builder Notu — Newton’s Method

Bu “değer + eğim + eğrilik eşleştirme” tam olarak ikinci-derece optimizasyonun yaptığıdır. Newton’s method, kaybı bir noktada bu üç bilgiyle ($f$, $f'$, $f''$) kuadratik bir parabolle değiştirir ve doğrudan o parabolün minimumuna atlar.

12.4 Daha Çok Terim: Faktöriyeller

Daha çok serbestlik için terim ekle. $c_3 x^3$ eklersen: bir kübiğin üçüncü türevi $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot c_3 = 6c_3$’tür. $\cos$’un üçüncü türevi $\sin x$, $x = 0$’da 0. Eşleşmesi için $c_3 = 0$.

$c_4 x^4$ eklersen iyileşme olur. $\cos$’un dördüncü türevi yine $\cos$’tur, $x = 0$’da 1. Polinomun dördüncü türevi $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot c_4 = 24c_4$:

\[ c_4 = \frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} = \frac{1}{24} \]

Faktöriyeller doğal olarak çıkar: $x^n$’in $n$ ardışık türevini alınca kuvvet kuralı kademeli iner ve geriye $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!$ kalır.

Builder Notu — exp Serisi

$x^n$’in türevlerinden çıkan $n!$ faktörü, neden Taylor katsayılarında ve dolayısıyla $\exp$/softmax serilerinde her yerde faktöriyel gördüğünü açıklar. Bir framework $e^x$’i hesaplarken bu $1/n!$ katsayıları kullanır; faktöriyel hızlı büyüdüğü için seri hızlı yakınsar.

12.5 Genel Taylor Formülü ve $e^x$

Genel olarak, herhangi bir $f$ için $x^n$ teriminin katsayısı:

\[ f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \]

$0$ yerine başka bir $a$ noktası civarında:

\[ f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n \]

En şık örnek $e^x$’tir: $e^x$’in türevi kendisi olduğundan tüm türevler $e^x$, $x = 0$’da hepsi 1. Dolayısıyla tüm katsayılar $1/n!$:

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

Builder Notu — Gradient ve Hessian

ML’de en sık ilk iki/üç terimini kullanırsın: $f(a)$ (değer), $f'(a)(x-a)$ (gradient/lineer terim), $\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ (Hessian/kuadratik terim). Optimizasyon, kayıp manifoldunu bu kesilmiş Taylor ile modeller.

12.6 İkinci Terimin Geometrik Anlamı (FTC)

Taylor’ın ikinci-derece terimini Calculus’un Temel Teoremi’yle de görebiliriz. Bir grafiğin altındaki alanı veren fonksiyonu düşün. Bu kez grafiği değil, alan fonksiyonunu yaklaştırıyoruz.

FTC der ki: grafiğin kendisi, alan fonksiyonunun türevidir. Ama değişim $x - a$ küçük değilse, bir de şu üçgeni hesaba katmalısın. Tabanı $x - a$, yüksekliği grafiğin eğimi çarpı $x - a$. Grafik, alan fonksiyonunun türevi olduğundan, onun eğimi alan fonksiyonunun ikinci türevidir:

\[ \frac{1}{2}(x-a) \cdot f''(a)(x-a) = \frac{1}{2}\,f''(a)\,(x-a)^2 \]

\[ A(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \]

Bu tam olarak Taylor polinomudur — ama her terimin diyagramda işaret edebileceğin net bir anlamı var: değer, dikdörtgen, üçgen.

Builder Notu — Trust Region

Optimizasyonda $f(a)$ mevcut kayıp, $f'(a)$ gradyan (lineer iyileşme), $\tfrac{1}{2}f''(a)$ eğrilik düzeltmesi (Hessian terimi) — trust-region yöntemleri tam bu kuadratik modeli kurar ve ne kadar güvenebileceğini (adım yarıçapını) eğrilik terimine göre ayarlar.

12.7 Yakınsama: Taylor Polinomu vs Serisi

Hiç durmayıp sonsuz terim eklesek? Matematikte sonsuz toplama seri denir.

$e^x$’in Taylor serisine herhangi bir $x$ için seri $e^x$’e yakınsar — $x = 0$’daki türev bilgisinden kurulmuş olmasına rağmen, her girdide geçerli. $e^x$ kendi Taylor serisine her yerde eşittir ($\sin$ ve $\cos$ da öyle):

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \qquad (\text{her } x) \]

Ama her zaman böyle olmaz. $\ln(x)$’in $x = 1$ civarındaki Taylor serisi, yalnızca $x \in (0, 2)$ aralığında yakınsar.

Yaklaştırdığın nokta ile serinin yakınsadığı en uzak nokta arasındaki mesafeye yakınsama yarıçapı denir.

“we say that e to the x equals its own Taylor series at all inputs x, which is kind of a magical thing to have happen.” — Grant, 19:18

Builder Notu — Güven Bölgesi

Yakınsama yarıçapı, bir seri-temelli yaklaşımın nerede güvenli olduğunu söyler. Bir aktivasyonu (örneğin GELU’yu) Taylor/seri açılımıyla yaklaştırırken, yalnızca yakınsama bölgesinde geçerlidir. Aynı şekilde, bir modeli bir çalışma noktası civarında lineerleştirdiğinde (kontrol, RL, perturbation analizi), yaklaşım yalnızca o nokta yakınında güvenilirdir.

12.8 Bu Dersin Özeti

Taylor serileri: polinom-olmayan bir fonksiyonu bir nokta civarında polinomla yaklaştırma sanatıdır.
$\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2$: değeri ($c_0=1$), eğimi ($c_1=0$) ve eğriliği ($c_2=-1/2$) $\cos$ ile eşleştirerek.
Daha çok terim = daha yüksek türevleri eşleştirme. $\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2 + (1/24)x^4$.
Faktöriyeller doğal çıkar: katsayı $= f^{(n)}(0)/n!$.
Genel formül: $f(x) \approx \sum f^{(n)}(a)/n! \cdot (x-a)^n$. $e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \ldots$
İkinci terimin geometrik anlamı (FTC): alan = değer + dikdörtgen $f'(x-a)$ + üçgen $\tfrac{1}{2}f''(x-a)^2$.
Taylor serisi: bazen her yerde yakınsar ($e^x$, $\sin$, $\cos$), bazen yalnızca bir yakınsama yarıçapı içinde.

Tek bir cümle

Taylor serisi, bir fonksiyonun tek bir noktadaki tüm türev bilgisini alıp o nokta civarında fonksiyonu yaklaştıran bir polinoma çevirir; $n$. terimin katsayısı $f^{(n)}(a)/n!$’dir ve yakınsama yarıçapı içinde, yeterince terimle polinom fonksiyonun kendisine eşit olur.

12.9 Kontrol Soruları

Soru 1: sin(x)’in x = 0 civarında 3. dereceye kadar Taylor polinomu nedir?

Cevap: $\sin$’in türevleri: $\sin, \cos, -\sin, -\cos$; $x = 0$’daki değerleri $0, 1, 0, -1$. Katsayılar $f^{(n)}(0)/n!$: $c_0 = 0$, $c_1 = 1$, $c_2 = 0$, $c_3 = -1/6$. Yani $\sin(x) \approx x - x^3/6$.

Soru 2: Katsayıyı neden f⁽ⁿ⁾(0)’a değil de f⁽ⁿ⁾(0)/n!’e eşitliyoruz?

Cevap: $x^n$ teriminin $n$. türevini alınca kuvvet kuralı kademeli iner ve $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!$ çarpanı çıkar. $n!$’e bölmek bu fazlalığı tam götürür, böylece polinomun $n$. türevi tam olarak $f^{(n)}(0)$’a eşit olur.

Soru 3: $e^x$ ≈ 1 + x + x²/2 yaklaşımıyla $e^{0{,}1}$’i tahmin et.

Cevap: $1 + 0{,}1 + (0{,}1)^2/2 = 1{,}105$. Gerçek değer $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$. Yalnızca üç terimle dört hane doğru.

Soru 4: (Builder) Newton’s method, kaybın 2. dereceye kadar Taylor’ını kullanır. Bu parabolün minimumu nerededir?

Cevap: Yaklaşım $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$. Minimum için türevini sıfırla: $f'(a) + f''(a)(x-a) = 0 \to x = a - f'(a)/f''(a)$. Bu, Newton adımıdır.

12.10 Egzersizler

Egzersiz 1. $\cos(x)$’in $x = 0$ civarında 4. dereceye kadar Taylor polinomunu yaz ve $\cos(0{,}5)$’i tahmin et.

Egzersiz 2. $f(x) = 1/(1-x)$’in $x = 0$ civarındaki Taylor serisini bul. (İpucu: $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$)

Egzersiz 3. $\ln(x)$’in $x = 1$ civarında 2. dereceye kadar Taylor polinomunu bul.

Egzersiz 4. (Python — sembolik) SymPy’nin series fonksiyonuyla Taylor açılımları al.

Egzersiz 5. (Sonraki dersin habercisi) Türevi düşünmenin, bu seride gördüğümüzden farklı, daha derin bir görsel yolu var mı? Ders 12, türevin alternatif bir geometrik yorumunu sunacak.

12.11 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Grant’ta
Taylor polinomu	Fonksiyonu bir nokta civarında polinomla yaklaştırma	1m43
$\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2$	Değer + eğim + eğrilik eşleştirme	8m02
Katsayı $= f^{(n)}(0)/n!$	Faktöriyel, kuvvet kuralı kademesini götürür	8m32
$e^x = \sum x^n/n!$	Tüm türevler 1; her yerde yakınsar	13m35
Genel: $f^{(n)}(a)/n! \cdot (x-a)^n$	$a$ noktası civarında Taylor	13m02
İkinci terim = üçgen	$\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ (FTC, alan yorumu)	16m18
Taylor serisi	Sonsuz terim; yakınsarsa fonksiyona eşit	17m30
Yakınsama yarıçapı	Serinin yakınsadığı maksimum mesafe	20m44

12.12 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Birinci-derece Taylor → gradient / lineerleştirme; gradient descent adımı $f(a) + f'(a)(x-a)$.
İkinci-derece Taylor → Hessian, Newton’s method, trust region, doğal gradyan; eğrilik düzeltmesi.
$e^x$ serisi → softmax/exp hesabı; GELU’nun tanh/erf yaklaşımı, üstel-aile dağılımları.
$f^{(n)}/n!$ katsayıları → faktöriyel paydalar, serinin hızlı yakınsaması.
“Tek nokta türevi → civar davranış” → yerel / surrogate modeller, perturbation analizi.
Yakınsama yarıçapı → bir yaklaşımın geçerli kaldığı güven bölgesi.
Kesilmiş Taylor → düşük dereceli modeller; ikinci-derece optimizasyonun matematiksel iskeleti.

Tek bir şey alıp gideceksen

Taylor serisi, bir fonksiyonun tek bir noktadaki türev bilgisini, o nokta civarındaki davranışına çevirir. Katsayılar $f^{(n)}(a)/n!$; ilk birkaç terim ML’de her gün kullandığın yaklaşımlardır — gradient (birinci derece) ve Hessian (ikinci derece). “Karmaşığı yerel bir polinomla değiştir”, calculus’un en güçlü pratik hamlesidir.

--- title: "Taylor Serileri" subtitle: "Tek nokta türev bilgisini civar davranışa çevirme" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Grant'ın videosu:** [YouTube — Chapter 11: Taylor series](https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=11) (≈22 dk) - **Kaynak:** [3Blue1Brown — Essence of Calculus](https://www.3blue1brown.com/topics/calculus) - **Okuma süresi:** ≈28 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-taylor-intro} **Taylor serileri**, matematiğin fonksiyon yaklaşımı için sunduğu en güçlü araçlardan biridir. Temel fikir: polinom-olmayan bir fonksiyonu, bir nokta civarında **polinomlarla** yaklaştırmak — çünkü polinomları hesaplamak, türevlemek ve integrallemek çok daha kolaydır. **Üç ana fikir:** 1. **Taylor polinomu:** bir fonksiyonu bir noktada polinomla yaklaştır; polinomun katsayıları, türevleri o noktada **eşleştirir** (değer, eğim, eğrilik…). 2. **n. terimin katsayısı = $f^{(n)}(0) / n!$** — faktöriyel, kuvvet kuralının kademeli etkisini götürür. 3. **Taylor serisi** (sonsuz terim): bazen **her yerde** yakınsar ($e^x$, $\sin$, $\cos$), bazen yalnızca bir **yakınsama yarıçapı** içinde. ```{mermaid} %%| label: fig-taylor-map %%| fig-cap: "Taylor zinciri: değer + eğim + eğrilik + ... = giderek daha iyi polinom yaklaşımı." flowchart LR F["f(x)"] --> T0["c₀ = f(a) (değer)"] F --> T1["c₁ = f'(a) (eğim, gradient)"] F --> T2["c₂ = f''(a)/2! (eğrilik, Hessian)"] F --> Tn["cₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! (yüksek mertebe)"] T0 --> P["P(x) = Σ cₙ·(x−a)ⁿ"] T1 --> P T2 --> P Tn --> P P --> O["ML\: Newton's method, trust region, GELU yaklaşımı"] style T1 fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2 style T2 fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style O fill:#fce4ec,stroke:#c2185b ``` > *"they translate derivative information at a single point to approximation information around that point."* — Grant, 21:33 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Birinci-derece Taylor** → gradient / **lineerleştirme**: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$; gradient descent adımı tam bu yerel lineer modeldir. - **İkinci-derece Taylor** → **Hessian, Newton's method**: $f(x) \approx \ldots + \tfrac{1}{2} f''(a)(x-a)^2$; trust region, doğal gradyan ve ikinci-derece optimizer'lar bu kuadratik modeli kullanır. - **$e^x$ serisi** → softmax/exp hesabı; **GELU**'nun tanh/erf ile yaklaşımı, sigmoid açılımları. - **"Tek noktadaki türev bilgisi → civardaki davranış"** → yerel / surrogate modeller, RL ve kontrolde sistemi bir nokta civarında lineerleştirme. - **Yakınsama yarıçapı** → bir yaklaşımın geçerli kaldığı bölge; sayısal serilerin ve aktivasyon yaklaşımlarının sınırı. ::: ## Neden Taylor? Polinomla Yaklaşmak {#sec-neden-taylor} Grant'ın bu fikri ilk kavradığı an bir fizik dersinde olmuş: bir sarkacın potansiyel enerjisi $1 - \cos(\theta)$ ile orantılıydı ve bu cosine ifadesi problemi hantal yapıyordu. Ama $\cos(\theta)$'yı $1 - \theta^2/2$ ile yaklaştırınca her şey yerine oturdu. Motivasyon, polinomların diğer fonksiyonlardan çok daha **uysal** olması: kolay hesaplanır, kolay türevlenir, kolay integrallenir. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Yerel Polinom"} ML'de bir fonksiyonu yerel olarak basit bir modelle değiştirmek her yerdedir. Gradient descent, kaybı bir noktada **birinci-derece** (lineer) Taylor ile değiştirir ve o yönde adım atar. Newton's method ve trust-region yöntemleri **ikinci-derece** (kuadratik) Taylor kullanır. ::: ## $\cos(x)$'i Parabolle Yaklaştırmak {#sec-cos-parabol} $\cos(x)$'i $x = 0$ civarında bir **kuadratikle** yaklaştıralım: $$ P(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 $$ Üç koşulu sırayla dayatıyoruz: - **Değer eşleşsin:** $\cos(0) = 1$. $P(0) = c_0$, dolayısıyla $c_0 = 1$. - **Eğim eşleşsin:** $\cos' = -\sin$, $x = 0$'da 0. $P'(x) = c_1 + 2c_2 x$, $x = 0$'da $c_1$. Dolayısıyla $c_1 = 0$. - **Eğrilik eşleşsin:** $\cos'' = -\cos$, $x = 0$'da $-1$. $P''(x) = 2c_2$. Dolayısıyla $c_2 = -1/2$. $$ \cos(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 $$ ```{python} #| label: fig-cos-taylor #| fig-cap: "$\\cos(x)$'in Taylor polinomları: dereceden derece daha iyi yaklaşım. $x = 0$ civarında 4. derece çok küçük hatayla uyar." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5.5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from math import factorial x = np.linspace(-3, 3, 200) y = np.cos(x) p2 = 1 - x**2/2 p4 = 1 - x**2/2 + x**4/24 p6 = 1 - x**2/2 + x**4/24 - x**6/720 fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5.5)) ax.plot(x, y, color='#1e3a8a', linewidth=3, label='$\\cos(x)$', zorder=5) ax.plot(x, p2, '--', color='#fb923c', linewidth=2, label='derece 2: $1 - x^2/2$') ax.plot(x, p4, '--', color='#dc2626', linewidth=2, label='derece 4: $\\ldots + x^4/24$') ax.plot(x, p6, '--', color='#7c2d12', linewidth=2, label='derece 6: $\\ldots - x^6/720$') ax.axhline(0, color='#94a3b8', linewidth=0.6) ax.axvline(0, color='#94a3b8', linewidth=0.6) ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title('$\\cos(x)$ — Taylor polinomları ($x = 0$ civarında)', fontsize=12) ax.legend(fontsize=11, loc='lower center') ax.grid(alpha=0.3) ax.set_ylim(-1.5, 1.5) plt.tight_layout() plt.show() ``` $\cos(0{,}1)$'i bu polinomla tahmin edersen $0{,}995$ çıkar — ve $\cos(0{,}1)$'in gerçek değeri de $0{,}995$. Üç serbestlik derecesi sırasıyla **değeri**, **eğimi** ve **eğriliği** $\cos$ ile eşleştirdi. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Newton's Method"} Bu "değer + eğim + eğrilik eşleştirme" tam olarak ikinci-derece optimizasyonun yaptığıdır. Newton's method, kaybı bir noktada bu üç bilgiyle ($f$, $f'$, $f''$) kuadratik bir parabolle değiştirir ve doğrudan o parabolün minimumuna atlar. ::: ## Daha Çok Terim: Faktöriyeller {#sec-faktoriyel} Daha çok serbestlik için terim ekle. $c_3 x^3$ eklersen: bir kübiğin üçüncü türevi $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot c_3 = 6c_3$'tür. $\cos$'un üçüncü türevi $\sin x$, $x = 0$'da 0. Eşleşmesi için $c_3 = 0$. $c_4 x^4$ eklersen iyileşme olur. $\cos$'un dördüncü türevi yine $\cos$'tur, $x = 0$'da 1. Polinomun dördüncü türevi $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot c_4 = 24c_4$: $$ c_4 = \frac{\cos^{(4)}(0)}{4!} = \frac{1}{24} $$ **Faktöriyeller doğal olarak çıkar:** $x^n$'in $n$ ardışık türevini alınca kuvvet kuralı kademeli iner ve geriye $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!$ kalır. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — exp Serisi"} $x^n$'in türevlerinden çıkan $n!$ faktörü, neden Taylor katsayılarında ve dolayısıyla $\exp$/softmax serilerinde her yerde faktöriyel gördüğünü açıklar. Bir framework $e^x$'i hesaplarken bu $1/n!$ katsayıları kullanır; faktöriyel hızlı büyüdüğü için seri hızlı yakınsar. ::: ## Genel Taylor Formülü ve $e^x$ {#sec-genel} Genel olarak, herhangi bir $f$ için $x^n$ teriminin katsayısı: $$ f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n $$ $0$ yerine başka bir $a$ noktası civarında: $$ f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n $$ En şık örnek $e^x$'tir: $e^x$'in türevi kendisi olduğundan tüm türevler $e^x$, $x = 0$'da hepsi 1. Dolayısıyla tüm katsayılar $1/n!$: $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$ ```{python} #| label: fig-ex-taylor #| fig-cap: "$e^x$ Taylor serisi: birkaç terimle bile $[-2, 2]$ aralığında çok iyi; her yerde yakınsar." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 x = np.linspace(-2.5, 2.5, 200) y = np.exp(x) p1 = 1 + x p2 = 1 + x + x**2/2 p4 = 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 p8 = sum(x**n / factorial(n) for n in range(9)) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.plot(x, y, color='#1e3a8a', linewidth=3, label='$e^x$', zorder=5) ax.plot(x, p1, '--', color='#fbbf24', linewidth=2, label='derece 1 (lineer)') ax.plot(x, p2, '--', color='#fb923c', linewidth=2, label='derece 2') ax.plot(x, p4, '--', color='#dc2626', linewidth=2, label='derece 4') ax.plot(x, p8, '--', color='#7c2d12', linewidth=2, label='derece 8') ax.axhline(0, color='#94a3b8', linewidth=0.6) ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title('$e^x$ Taylor: $\\sum x^n/n!$', fontsize=12) ax.legend(fontsize=10, loc='upper left') ax.grid(alpha=0.3) ax.set_ylim(-0.5, 10) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Gradient ve Hessian"} ML'de en sık ilk iki/üç terimini kullanırsın: $f(a)$ (değer), $f'(a)(x-a)$ (gradient/lineer terim), $\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ (Hessian/kuadratik terim). Optimizasyon, kayıp manifoldunu bu kesilmiş Taylor ile modeller. ::: ## İkinci Terimin Geometrik Anlamı (FTC) {#sec-ikinci-ftc} Taylor'ın ikinci-derece terimini Calculus'un Temel Teoremi'yle de görebiliriz. Bir grafiğin altındaki **alanı** veren fonksiyonu düşün. Bu kez grafiği değil, **alan fonksiyonunu** yaklaştırıyoruz. FTC der ki: grafiğin kendisi, alan fonksiyonunun türevidir. Ama değişim $x - a$ küçük değilse, bir de şu **üçgeni** hesaba katmalısın. Tabanı $x - a$, yüksekliği grafiğin eğimi çarpı $x - a$. Grafik, alan fonksiyonunun türevi olduğundan, onun eğimi alan fonksiyonunun **ikinci türevidir**: $$ \frac{1}{2}(x-a) \cdot f''(a)(x-a) = \frac{1}{2}\,f''(a)\,(x-a)^2 $$ $$ A(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 $$ Bu tam olarak Taylor polinomudur — ama her terimin diyagramda işaret edebileceğin net bir anlamı var: değer, dikdörtgen, üçgen. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Trust Region"} Optimizasyonda $f(a)$ mevcut kayıp, $f'(a)$ gradyan (lineer iyileşme), $\tfrac{1}{2}f''(a)$ eğrilik düzeltmesi (Hessian terimi) — trust-region yöntemleri tam bu kuadratik modeli kurar ve ne kadar güvenebileceğini (adım yarıçapını) eğrilik terimine göre ayarlar. ::: ## Yakınsama: Taylor Polinomu vs Serisi {#sec-yakinsama-yaricap} Hiç durmayıp **sonsuz** terim eklesek? Matematikte sonsuz toplama **seri** denir. $e^x$'in Taylor serisine herhangi bir $x$ için seri $e^x$'e yakınsar — $x = 0$'daki türev bilgisinden kurulmuş olmasına rağmen, her girdide geçerli. $e^x$ kendi Taylor serisine **her yerde** eşittir ($\sin$ ve $\cos$ da öyle): $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \qquad (\text{her } x) $$ Ama her zaman böyle olmaz. $\ln(x)$'in $x = 1$ civarındaki Taylor serisi, yalnızca $x \in (0, 2)$ aralığında yakınsar. ```{python} #| label: fig-yakinsama-yaricap #| fig-cap: "Yakınsama yarıçapı: $\\ln(1+x)$ Taylor serisi $|x| < 1$ içinde yakınsar; $x = 1$ sınırda, $x > 1$'de ıraksar." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 import math x = np.linspace(-0.95, 1.5, 200) y = np.log(1 + x) def taylor_ln(x, N): return sum(((-1)**(n+1)) * x**n / n for n in range(1, N+1)) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.plot(x, y, color='#1e3a8a', linewidth=3, label='$\\ln(1+x)$', zorder=5) for N, color in [(3, '#fbbf24'), (10, '#fb923c'), (30, '#dc2626')]: ax.plot(x, taylor_ln(x, N), '--', linewidth=2, color=color, label=f'$N = {N}$ terim') ax.axvline(1, color='#dc2626', linestyle=':', linewidth=1.5) ax.axvline(-1, color='#dc2626', linestyle=':', linewidth=1.5) ax.axhline(0, color='#94a3b8', linewidth=0.6) ax.fill_betweenx([-3, 3], -1, 1, color='#dcfce7', alpha=0.3) ax.text(0, 2, 'yakınsama bölgesi\n$|x| < 1$', ha='center', color='#16a34a', fontsize=10) ax.text(1.2, -1, 'ıraksar', color='#dc2626', fontsize=10) ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12) ax.set_title('$\\ln(1+x)$: yakınsama yarıçapı = 1', fontsize=12) ax.legend(fontsize=10, loc='lower right') ax.grid(alpha=0.3) ax.set_ylim(-3, 3) plt.tight_layout() plt.show() ``` Yaklaştırdığın nokta ile serinin yakınsadığı en uzak nokta arasındaki mesafeye **yakınsama yarıçapı** denir. > *"we say that e to the x equals its own Taylor series at all inputs x, which is kind of a magical thing to have happen."* — Grant, 19:18 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Güven Bölgesi"} Yakınsama yarıçapı, bir seri-temelli yaklaşımın **nerede güvenli** olduğunu söyler. Bir aktivasyonu (örneğin GELU'yu) Taylor/seri açılımıyla yaklaştırırken, yalnızca yakınsama bölgesinde geçerlidir. Aynı şekilde, bir modeli bir çalışma noktası civarında lineerleştirdiğinde (kontrol, RL, perturbation analizi), yaklaşım yalnızca o nokta yakınında güvenilirdir. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet-11} 1. Taylor serileri: polinom-olmayan bir fonksiyonu bir nokta civarında polinomla yaklaştırma sanatıdır. 2. $\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2$: değeri ($c_0=1$), eğimi ($c_1=0$) ve eğriliği ($c_2=-1/2$) $\cos$ ile eşleştirerek. 3. Daha çok terim = daha yüksek türevleri eşleştirme. $\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2 + (1/24)x^4$. 4. Faktöriyeller doğal çıkar: katsayı $= f^{(n)}(0)/n!$. 5. Genel formül: $f(x) \approx \sum f^{(n)}(a)/n! \cdot (x-a)^n$. $e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \ldots$ 6. İkinci terimin geometrik anlamı (FTC): alan = değer + dikdörtgen $f'(x-a)$ + üçgen $\tfrac{1}{2}f''(x-a)^2$. 7. Taylor serisi: bazen her yerde yakınsar ($e^x$, $\sin$, $\cos$), bazen yalnızca bir yakınsama yarıçapı içinde. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Taylor serisi, bir fonksiyonun tek bir noktadaki tüm türev bilgisini alıp o nokta civarında fonksiyonu yaklaştıran bir polinoma çevirir; $n$. terimin katsayısı $f^{(n)}(a)/n!$'dir ve yakınsama yarıçapı içinde, yeterince terimle polinom fonksiyonun kendisine eşit olur. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular-11} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: sin(x)'in x = 0 civarında 3. dereceye kadar Taylor polinomu nedir?"} **Cevap:** $\sin$'in türevleri: $\sin, \cos, -\sin, -\cos$; $x = 0$'daki değerleri $0, 1, 0, -1$. Katsayılar $f^{(n)}(0)/n!$: $c_0 = 0$, $c_1 = 1$, $c_2 = 0$, $c_3 = -1/6$. Yani $\sin(x) \approx x - x^3/6$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Katsayıyı neden f⁽ⁿ⁾(0)'a değil de f⁽ⁿ⁾(0)/n!'e eşitliyoruz?"} **Cevap:** $x^n$ teriminin $n$. türevini alınca kuvvet kuralı kademeli iner ve $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!$ çarpanı çıkar. $n!$'e bölmek bu fazlalığı tam götürür, böylece polinomun $n$. türevi tam olarak $f^{(n)}(0)$'a eşit olur. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: $e^x$ ≈ 1 + x + x²/2 yaklaşımıyla $e^{0{,}1}$'i tahmin et."} **Cevap:** $1 + 0{,}1 + (0{,}1)^2/2 = 1{,}105$. Gerçek değer $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$. Yalnızca üç terimle dört hane doğru. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Newton's method, kaybın 2. dereceye kadar Taylor'ını kullanır. Bu parabolün minimumu nerededir?"} **Cevap:** Yaklaşım $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$. Minimum için türevini sıfırla: $f'(a) + f''(a)(x-a) = 0 \to x = a - f'(a)/f''(a)$. Bu, **Newton adımıdır**. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler-11} **Egzersiz 1.** $\cos(x)$'in $x = 0$ civarında 4. dereceye kadar Taylor polinomunu yaz ve $\cos(0{,}5)$'i tahmin et. **Egzersiz 2.** $f(x) = 1/(1-x)$'in $x = 0$ civarındaki Taylor serisini bul. (İpucu: $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$) **Egzersiz 3.** $\ln(x)$'in $x = 1$ civarında 2. dereceye kadar Taylor polinomunu bul. **Egzersiz 4.** *(Python — sembolik)* SymPy'nin `series` fonksiyonuyla Taylor açılımları al. ```{python} import sympy as sp x_sym = sp.symbols("x") for f in [sp.cos(x_sym), sp.exp(x_sym), sp.sin(x_sym), sp.log(1 + x_sym)]: print(f, "->", sp.series(f, x_sym, 0, 6)) ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki dersin habercisi)* Türevi düşünmenin, bu seride gördüğümüzden farklı, daha derin bir görsel yolu var mı? Ders 12, türevin alternatif bir geometrik yorumunu sunacak. ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-11} | Kavram | Tanım | Grant'ta | |--------|-------|----------| | **Taylor polinomu** | Fonksiyonu bir nokta civarında polinomla yaklaştırma | 1m43 | | **$\cos(x) \approx 1 - \tfrac{1}{2}x^2$** | Değer + eğim + eğrilik eşleştirme | 8m02 | | **Katsayı $= f^{(n)}(0)/n!$** | Faktöriyel, kuvvet kuralı kademesini götürür | 8m32 | | **$e^x = \sum x^n/n!$** | Tüm türevler 1; her yerde yakınsar | 13m35 | | **Genel: $f^{(n)}(a)/n! \cdot (x-a)^n$** | $a$ noktası civarında Taylor | 13m02 | | **İkinci terim = üçgen** | $\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ (FTC, alan yorumu) | 16m18 | | **Taylor serisi** | Sonsuz terim; yakınsarsa fonksiyona eşit | 17m30 | | **Yakınsama yarıçapı** | Serinin yakınsadığı maksimum mesafe | 20m44 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-11} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Birinci-derece Taylor** → gradient / lineerleştirme; gradient descent adımı $f(a) + f'(a)(x-a)$. 2. **İkinci-derece Taylor** → Hessian, Newton's method, trust region, doğal gradyan; eğrilik düzeltmesi. 3. **$e^x$ serisi** → softmax/exp hesabı; GELU'nun tanh/erf yaklaşımı, üstel-aile dağılımları. 4. **$f^{(n)}/n!$ katsayıları** → faktöriyel paydalar, serinin hızlı yakınsaması. 5. **"Tek nokta türevi → civar davranış"** → yerel / surrogate modeller, perturbation analizi. 6. **Yakınsama yarıçapı** → bir yaklaşımın geçerli kaldığı güven bölgesi. 7. **Kesilmiş Taylor** → düşük dereceli modeller; ikinci-derece optimizasyonun matematiksel iskeleti. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Taylor serisi, bir fonksiyonun **tek** bir noktadaki türev bilgisini, o nokta **civarındaki** davranışına çevirir. Katsayılar $f^{(n)}(a)/n!$; ilk birkaç terim ML'de her gün kullandığın yaklaşımlardır — gradient (birinci derece) ve Hessian (ikinci derece). "Karmaşığı yerel bir polinomla değiştir", calculus'un en güçlü pratik hamlesidir. :::

12 Taylor Serileri

12.1 Bu Derste Ne Var?

12.2 Neden Taylor? Polinomla Yaklaşmak

12.3 \(\cos(x)\)’i Parabolle Yaklaştırmak

12.4 Daha Çok Terim: Faktöriyeller

12.5 Genel Taylor Formülü ve \(e^x\)

12.6 İkinci Terimin Geometrik Anlamı (FTC)

12.7 Yakınsama: Taylor Polinomu vs Serisi

12.8 Bu Dersin Özeti

12.9 Kontrol Soruları

12.10 Egzersizler

12.11 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

12.12 ML Bağlantıları Özeti