9 İntegrasyon ve Temel Teorem

Hızdan mesafeye, antitürev ve FTC

Bölüm bilgisi

Grant’ın videosu: YouTube — Chapter 8: Integration and the fundamental theorem of calculus (≈20 dk)
Kaynak: 3Blue1Brown — Essence of Calculus
Okuma süresi: ≈26 dk

9.1 Bu Derste Ne Var?

Ders 1’de integrali (eğri altı alan) sezmiş, Ders 2-7’de türevi derinlemesine işlemiştik. Bu ders çemberi kapatıyor: integral, türevin tersidir. Tek bir örneğe odaklanıyoruz — hızdan mesafeyi bulmak (Ders 2’deki hareketli arabanın dualü). Grant’ın hedefi, integralin türevin tersi olduğunun neredeyse bariz hissettirilmesi.

Üç ana fikir:

İntegral = türevin tersi. Hız $v(t)$’den mesafe $s(t)$’yi bulmak = antitürev (türevi $v$ olan fonksiyonu bulmak).
İntegral = eğri altı alan = küçük dilimlerin ($v \cdot dt$) toplamının limiti. Notasyon: $\int_0^8 v(t)\,dt$.
Calculus’un Temel Teoremi (FTC): alan fonksiyonunun türevi, grafiğin kendisidir ($ds/dt = v$); ve $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$.

flowchart TB
    F["Grafik: f(t)<br/>(anlık değer / hız)"] -->|"alan biriktir"| A["A(x) = ∫ₐˣ f dt<br/>(koşan integral)"]
    A -->|"türev al"| F
    A -->|"antitürev F<br/>(F' = f)"| FTC["∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a)<br/>(yalnızca uç noktalar!)"]
    FTC -.->|"ML\: cumsum / value function"| ML["birikim ↔ anlık<br/>(prefix sum, RL value, CDF↔PDF)"]
    style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px
    style FTC fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:3px

Şekil 9.1: FTC üçgeni: alan fonksiyonu (sürekli birikim) ↔︎ grafiğin kendisi (anlık değer) ↔︎ antitürev (uç noktalarla hesap).

“Too often in math, we dive into showing that a certain fact is true … before stepping back and making sure it feels reasonable, and preferably obvious.” — Grant (Grothendieck’ten esinle), 0:18

Builder Notu — ML Köprüleri

İntegral = küçük niceliklerin toplamı → beklenen değer $E[f(X)] = \int f(x)p(x)dx$, Monte Carlo entegrasyon, ELBO.
Antitürev / FTC → kümülatif ödül (RL’de value function) ↔︎ anlık ödül; cumsum ↔︎ diff; CDF ↔︎ PDF ilişkisi.
“Sadece iki uç nokta” (FTC) → telescoping toplamlar, verimli kümülatif hesap; bir aralığın toplamını prefix-sum farkıyla almak.
İşaretli alan → işaretli ölçüler, net akış, KL diverjansındaki pozitif/negatif terimler.

9.2 Tersine Problem: Hızdan Mesafe

Bir arabada oturduğunu, pencereden dışarıyı göremediğini, yalnızca hız göstergesini gördüğünü hayal et. Araba bir noktada hareket eder, hızlanır, sonra yavaşlayıp durur — toplam 8 saniye. Soru: yalnızca hız göstergesine bakarak, bu sürede ne kadar yol gittiğini bulabilir misin?

Diyelim hızı $v(t) = t(8-t)$ ile modelledin (m/s). Ders 2’de tersini yapıyorduk: $s(t)$’yi biliyorduk, türevini alarak $v(t)$’yi buluyorduk. Şimdi elimizde yalnızca $v(t)$ var; dolayısıyla mesafeyi bulmak, “türevi $t(8-t)$ olan fonksiyon hangisidir?” diye sormaya iner. Buna bir fonksiyonun antitürevini bulmak denir.

Builder Notu — Kümülatif Nicelikler

“Türevi bilinen fonksiyonu geri bul” = antitürev, ML’de kümülatif niceliklerin temelidir. Bir ödül akışından toplam (return) hesaplamak, anlık değerlerden birikimli değere geçmektir — ayrık dünyada cumsum, sürekli dünyada integral. RL’deki value function (gelecekteki ödüllerin birikimi), anlık ödülün antitürevi gibidir.

9.3 Değişen Hızı Dilimlemek: $\int$ Notasyonu

Zaman eksenini 0 ile 8 saniye arasında, her biri küçük bir $dt$ genişliğinde birçok aralığa böl. Her aralıkta hızı sabitmiş gibi yaklaştır; mesafe $\approx v(t) \cdot dt$.

\[ \int_0^8 v(t)\, dt = \lim_{dt \to 0} \sum_{t} v(t)\, dt \]

Bu notasyon: bilindik $\sum$ yerine uzatılmış bir “S” kullanırız, çünkü bu ifade belirli bir $dt$ için belirli bir toplam değil; $dt \to 0$ iken o toplamın yaklaştığı değerdir. Ve yaklaştığı şey, eğri ile yatay eksen arasındaki alandır.

“this expression is called an integral of v of t, since it brings all of its values together, it integrates them.” — Grant, 8:22

Builder Notu — Monte Carlo

$\int$ = “sürekli $\sum$” denklemi, ML’deki beklenen değerin tam tanımıdır: $E[f(X)] = \int f(x)p(x)dx$. Bunu hiçbir zaman analitik hesaplamayız; Monte Carlo ile tahmin ederiz: $N$ örnek al, $f$ değerlerinin ortalamasını al. Bu ortalama, tam da “$v(t) \cdot dt$’leri topla” mantığıdır; $N \to \infty$ iken gerçek integrale yakınsar.

9.4 Calculus’un Temel Teoremi: Alan Fonksiyonunun Türevi

Şimdi alanı bulmaya çalışmak yerine, sağ uç noktayı bir değişken $T$ olarak düşün. 0 ile $T$ arasındaki alan — yani $\int_0^T v(t)\,dt$ — $T$ saniye sonra kat edilen mesafedir; bu zaten bizim $s(T)$ mesafe fonksiyonumuz.

\[ s(T) = \int_0^T v(t)\, dt \]

Bu alan fonksiyonunun türevi nedir? Girdiyi $dt$ kadar dürtersen alan, ince bir dilim ($ds$) kadar artar. Bu dilimin yüksekliği o noktadaki grafik değeri $v(t)$, genişliği $dt$:

\[ ds \approx v(t)\, dt \qquad \frac{ds}{dt} = v(t) \]

Bu çok genel bir argümandır: bir grafiğin altındaki alanı veren herhangi bir fonksiyonun türevi, grafiğin kendisidir.

“the derivative of any function giving the area under a graph like this is equal to the function for the graph itself.” — Grant, 11:09

Builder Notu — CDF ↔︎ PDF

$s(T) = \int_0^T v$, üst sınırın değişken olduğu bir koşan integraldir — olasılıkta bunun adı CDF’tir: $F(x) = \int_{-\infty}^x p$. Ve $ds/dt = v(t)$, CDF’nin türevinin PDF olması ($F' = p$) ile birebir aynı ilişkidir. RL’de value function (kümülatif ödülün koşan integrali) ile anlık ödül arasındaki bağ da budur.

9.5 Antitürev ve Sınırları Değerlendirmek

$v(t) = t(8-t) = 8t - t^2$ ise, türevi buna eşit olan $s$ nedir? Parça parça: $8t$ için, $d(t^2) = 2t$ olduğundan $d(4t^2) = 8t$. $-t^2$ için, $d(t^3) = 3t^2$ olduğundan $d(-\tfrac{1}{3}t^3) = -t^2$. Birleştir:

\[ v(t) = 8t - t^2 \qquad s(t) = 4t^2 - \frac{1}{3}t^3 + C \]

Bir incelik: herhangi bir sabit $C$ eklemek türevi değiştirmez. Yani aslında sonsuz tane antitürev var, hepsi $4t^2 - \tfrac{1}{3}t^3 + C$ biçiminde.

8 saniyedeki toplam mesafe, ifadeyi $t = 8$’de değerlendirmektir:

\[ \int_0^8 (8t - t^2)\, dt = \left[\,4t^2 - \frac{1}{3}t^3\,\right]_0^8 = \frac{256}{3} \approx 85{,}33 \]

Genel kural, Calculus’un Temel Teoremi:

\[ \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x) \]

“to actually compute it using an antiderivative, you only look at two inputs … It almost feels like cheating.” — Grant, 15:56

Builder Notu — Prefix Sum

FTC’nin “çılgın” yanı şu: integral, alt ve üst sınır arasındaki tüm continuum’u hesaba katar; ama antitürevle hesaplarken yalnızca iki noktaya (sınırlara) bakarsın. Bu, ayrık dünyadaki prefix-sum / telescoping ile aynıdır: bir aralığın toplamını, birikimli dizinin iki ucundaki farkıyla $O(1)$’de alırsın.

9.6 İşaretli Alan

Ya hız bir noktada negatifse, yani araba geri giderse? Küçük bir zaman aralığındaki mesafe $ds$ yine $v(t) \cdot dt$’dir; sadece $v$ negatif olduğundan $ds$ de negatiftir.

Bir grafik yatay eksenin altına indiğinde, o bölge ile eksen arasındaki alan negatif sayılır. İntegraller alanı değil, grafik ile yatay eksen arasındaki işaretli alanı ölçer.

“integrals don’t measure area per se, they measure the signed area between the graph and the horizontal axis.” — Grant, 18:50

Builder Notu — Advantage ve KL

İşaretli alan, ML’de net katkı olan her yerde devrededir. KL diverjansı, beklenti farkları, politika gradyanındaki avantaj (advantage, pozitif/negatif) — hepsi pozitif ve negatif bölgelerin toplamıdır.

9.7 Bu Dersin Özeti

İntegral, türevin tersidir; hızdan mesafe bulmak = antitürev bulmak.
Sabit hızda mesafe = hız × süre = bir dikdörtgenin alanı.
Değişen hızı aralıklara böl, her birinde mesafe $\approx v(t) \cdot dt$, hepsini topla. $\int_0^8 v(t)dt$, $dt \to 0$ limiti.
FTC (birinci yarı): alan fonksiyonu $s(T) = \int_0^T v$’nin türevi, grafiğin kendisidir: $ds/dt = v(t)$.
Antitürev: türevi $v$ olan fonksiyon. Sonsuz tane vardır ($+C$).
FTC (ikinci yarı): $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Tüm continuum, yalnızca iki uç noktayla hesaplanır.
İşaretli alan: grafik eksenin altındayken alan negatif sayılır.

Tek bir cümle

İntegral, bir eğri altındaki (işaretli) alandır — sayısız $v(t) \cdot dt$ diliminin $dt \to 0$ limiti — ve Calculus’un Temel Teoremi onu türevin tersine bağlar: alan fonksiyonunun türevi grafiğin kendisidir, dolayısıyla $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.

9.8 Kontrol Soruları

Soru 1: $\int_0^3 2x,dx$ integralini antitürevle hesapla.

Cevap: $2x$’in antitürevi $x^2$ (çünkü $d(x^2)/dx = 2x$). FTC: $F(3) - F(0) = 3^2 - 0^2 = 9$. Geometrik kontrol: $2x$ doğrusu altında, taban 3, yükseklik 6 olan üçgen → $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$. ✓

Soru 2: d/dT [ $\int_0^T \sin(t),dt$ ] nedir?

Cevap: FTC’nin birinci yarısı: bir koşan integralin (üst sınıra göre) türevi, integrandın kendisidir. Yani $d/dT \int_0^T \sin(t)dt = \sin(T)$.

Soru 3: $\int_0^{2\pi} \sin(x),dx$ nedir? Sonuç neden sezgisel?

Cevap: $\sin$’in antitürevi $-\cos$. FTC: $[-\cos x]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0$. Sezgisel: $\sin(x)$ ilk yarıda pozitif, ikinci yarıda negatiftir; pozitif alan ile negatif alan eşit büyüklükte ve işaretli alan olarak birbirini tam götürür.

Soru 4: (Builder) Ayrık ödül dizisi r[1], r[2], … için kümülatif toplam G ile FTC’nin ilişkisi nedir?

Cevap: Prefix-sum $G[n] = \sum_{k \leq n} r[k]$, integralin (“birikim”) ayrık karşılığıdır; ardışık fark $r[n] = G[n] - G[n-1]$ ise türevin (“anlık değer”) karşılığıdır. FTC’nin ayrık akrabası: a’dan b’ye toplam = $G[b] - G[a]$. RL’de return bu $G$’dir; anlık ödül onun “türevidir”. cumsum ↔︎ diff, integral ↔︎ türev ile birebir eşleşir.

9.9 Egzersizler

Egzersiz 1. $\int_1^4 (2t + 1) dt$ integralini antitürevle hesapla.

Egzersiz 2. $d/dx [\int_0^x e^{-t^2} dt]$ nedir? (FTC birinci yarısını uygula. Not: $e^{-t^2}$’nin kapalı-form antitürevi yoktur — bu yüzden integral “erf” diye adlandırılır.)

Egzersiz 3. $\int_{-1}^1 x^3 dx$’i hesapla ve sonucun neden 0 olduğunu işaretli alanla açıkla.

Egzersiz 4. (Python — sayısal + sembolik) $v(t) = t(8-t)$ için sol-uç Riemann toplamını hesapla; $N$ büyüdükçe $256/3 \approx 85{,}33$’e yakınsadığını göster.

Egzersiz 5. (Sonraki dersin habercisi) Bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalama değeri nedir ve bu, integralle nasıl ilişkilidir? Ders 9, alan ile eğim arasındaki bağı farklı bir açıdan derinleştirecek.

9.10 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Grant’ta
İntegral = türevin tersi	Hızdan mesafe = antitürev bulmak	0m39
Mesafe = alan	Sabit hızda $v \cdot t$ = dikdörtgen alanı	3m05
Riemann toplamı	$v(t) \cdot dt$ ince dikdörtgenlerini topla	4m09
$\int$ notasyonu	$dt \to 0$ iken $\sum v(t)dt$ = eğri altı alan	6m36
FTC (birinci yarı)	$ds/dt = v$; alan fonksiyonunun türevi = grafik	11m09
Antitürev ($+C$)	Türevi $f$ olan fonksiyon; sonsuz tane	12m32
FTC (ikinci yarı)	$\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$	15m32
İşaretli alan	Eksenin altı negatif sayılır	18m50
$\int_0^8 t(8-t)dt = 256/3$	Toplam mesafe $\approx 85{,}33$ m	14m13

9.11 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

İntegral = küçük niceliklerin toplamı → beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$, Monte Carlo entegrasyon, ELBO.
FTC / antitürev → CDF ↔︎ PDF ($F' = p$), RL value function ↔︎ anlık ödül; birikim ile anlık değer arasındaki bağ.
“İki uç nokta yeter” → prefix-sum / telescoping; bir aralığın toplamını $O(1)$’de almak.
Riemann toplamı → Monte Carlo entegrasyon; $N \to \infty$ iken kestirim gerçeğe yakınsar.
İşaretli alan → KL diverjansı terimleri, advantage (pozitif/negatif), net akış.
Mesafe = alan (birim çarpımı) → beklenti = (değer × ağırlık) alanı olarak okunur.
cumsum ↔︎ diff → ayrık integral/türev; dizi modellerinde birikimli özellikler.

Tek bir şey alıp gideceksen

İntegral, bir eğri altındaki işaretli alandır — sayısız küçük dilimi ($v(t) \cdot dt$) toplamanın $dt \to 0$ limiti. Calculus’un Temel Teoremi onu türevin tersine bağlar: alan fonksiyonunun türevi grafiğin kendisidir, dolayısıyla bir integrali, antitürevinin yalnızca iki uç noktasındaki değerinden hesaplayabilirsin.

--- title: "İntegrasyon ve Temel Teorem" subtitle: "Hızdan mesafeye, antitürev ve FTC" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Grant'ın videosu:** [YouTube — Chapter 8: Integration and the fundamental theorem of calculus](https://www.youtube.com/watch?v=rfG8ce4nNh0&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=8) (≈20 dk) - **Kaynak:** [3Blue1Brown — Essence of Calculus](https://www.3blue1brown.com/topics/calculus) - **Okuma süresi:** ≈26 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-ftc-intro} [Ders 1](01-calculus-ozu.qmd)'de integrali (eğri altı alan) sezmiş, Ders 2-7'de türevi derinlemesine işlemiştik. Bu ders çemberi kapatıyor: **integral, türevin tersidir**. Tek bir örneğe odaklanıyoruz — hızdan mesafeyi bulmak ([Ders 2](02-turevin-paradoksu.qmd)'deki hareketli arabanın **dualü**). Grant'ın hedefi, integralin türevin tersi olduğunun neredeyse **bariz** hissettirilmesi. **Üç ana fikir:** 1. **İntegral = türevin tersi.** Hız $v(t)$'den mesafe $s(t)$'yi bulmak = **antitürev** (türevi $v$ olan fonksiyonu bulmak). 2. **İntegral = eğri altı alan = küçük dilimlerin ($v \cdot dt$) toplamının limiti.** Notasyon: $\int_0^8 v(t)\,dt$. 3. **Calculus'un Temel Teoremi (FTC):** alan fonksiyonunun türevi, grafiğin kendisidir ($ds/dt = v$); ve $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$. ```{mermaid} %%| label: fig-ftc-map %%| fig-cap: "FTC üçgeni: alan fonksiyonu (sürekli birikim) ↔ grafiğin kendisi (anlık değer) ↔ antitürev (uç noktalarla hesap)." flowchart TB F["Grafik: f(t) (anlık değer / hız)"] -->|"alan biriktir"| A["A(x) = ∫ₐˣ f dt (koşan integral)"] A -->|"türev al"| F A -->|"antitürev F (F' = f)"| FTC["∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a) (yalnızca uç noktalar!)"] FTC -.->|"ML\: cumsum / value function"| ML["birikim ↔ anlık (prefix sum, RL value, CDF↔PDF)"] style A fill:#e3f2fd,stroke:#1976d2,stroke-width:2px style FTC fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:3px ``` > *"Too often in math, we dive into showing that a certain fact is true ... before stepping back and making sure it feels reasonable, and preferably obvious."* — Grant (Grothendieck'ten esinle), 0:18 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **İntegral = küçük niceliklerin toplamı** → beklenen değer $E[f(X)] = \int f(x)p(x)dx$, **Monte Carlo** entegrasyon, ELBO. - **Antitürev / FTC** → kümülatif ödül (RL'de **value function**) ↔ anlık ödül; **cumsum ↔ diff**; **CDF ↔ PDF** ilişkisi. - **"Sadece iki uç nokta" (FTC)** → telescoping toplamlar, verimli kümülatif hesap; bir aralığın toplamını prefix-sum farkıyla almak. - **İşaretli alan** → işaretli ölçüler, net akış, KL diverjansındaki pozitif/negatif terimler. ::: ## Tersine Problem: Hızdan Mesafe {#sec-tersine} Bir arabada oturduğunu, pencereden dışarıyı göremediğini, yalnızca **hız göstergesini** gördüğünü hayal et. Araba bir noktada hareket eder, hızlanır, sonra yavaşlayıp durur — toplam 8 saniye. Soru: yalnızca hız göstergesine bakarak, bu sürede ne kadar yol gittiğini bulabilir misin? Diyelim hızı $v(t) = t(8-t)$ ile modelledin (m/s). [Ders 2](02-turevin-paradoksu.qmd)'de **tersini** yapıyorduk: $s(t)$'yi biliyorduk, türevini alarak $v(t)$'yi buluyorduk. Şimdi elimizde yalnızca $v(t)$ var; dolayısıyla mesafeyi bulmak, "türevi $t(8-t)$ olan fonksiyon hangisidir?" diye sormaya iner. Buna bir fonksiyonun **antitürevini** bulmak denir. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Kümülatif Nicelikler"} "Türevi bilinen fonksiyonu geri bul" = antitürev, ML'de **kümülatif** niceliklerin temelidir. Bir ödül akışından toplam (return) hesaplamak, anlık değerlerden birikimli değere geçmektir — ayrık dünyada `cumsum`, sürekli dünyada integral. RL'deki value function (gelecekteki ödüllerin birikimi), anlık ödülün antitürevi gibidir. ::: ## Değişen Hızı Dilimlemek: $\int$ Notasyonu {#sec-dilimle} Zaman eksenini 0 ile 8 saniye arasında, her biri küçük bir $dt$ genişliğinde birçok aralığa böl. Her aralıkta hızı **sabitmiş gibi** yaklaştır; mesafe $\approx v(t) \cdot dt$. ```{python} #| label: fig-riemann-yakinsama #| fig-cap: "Riemann toplamı: $v(t) = t(8-t)$ altındaki alan, $N$ arttıkça gerçek değer $256/3 \\approx 85{,}33$'e yakınsar." #| fig-width: 12 #| fig-height: 4 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt v = lambda t: t * (8 - t) t_full = np.linspace(0, 8, 200) v_full = v(t_full) fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(12, 4), sharey=True) for ax, N in zip(axes, [4, 10, 30, 100]): dt = 8 / N ts = np.arange(N) * dt vs = v(ts) ax.bar(ts, vs, width=dt, align='edge', color='#fb923c', edgecolor='#7c2d12', linewidth=0.4, alpha=0.85) ax.plot(t_full, v_full, color='#1e3a8a', linewidth=2.5) yak = np.sum(vs * dt) gercek = 256/3 hata = 100 * (gercek - yak) / gercek ax.set_title(f'N = {N}\n$\\approx${yak:.2f} (hata %{hata:.1f})', fontsize=10) ax.set_xlabel('$t$', fontsize=11) if ax is axes[0]: ax.set_ylabel('$v(t)$', fontsize=11) ax.grid(alpha=0.3) ax.set_xlim(0, 8) ax.set_ylim(0, 18) fig.suptitle(f'Gerçek toplam mesafe: $\\int_0^8 t(8-t)\\,dt = 256/3 \\approx 85{{,}}33$ m', fontsize=12, y=1.03) plt.tight_layout() plt.show() ``` $$ \int_0^8 v(t)\, dt = \lim_{dt \to 0} \sum_{t} v(t)\, dt $$ Bu notasyon: bilindik $\sum$ yerine uzatılmış bir "S" kullanırız, çünkü bu ifade belirli bir $dt$ için belirli bir toplam **değil**; $dt \to 0$ iken o toplamın **yaklaştığı** değerdir. Ve yaklaştığı şey, eğri ile yatay eksen arasındaki **alandır**. > *"this expression is called an integral of v of t, since it brings all of its values together, it integrates them."* — Grant, 8:22 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Monte Carlo"} $\int$ = "sürekli $\sum$" denklemi, ML'deki beklenen değerin tam tanımıdır: $E[f(X)] = \int f(x)p(x)dx$. Bunu hiçbir zaman analitik hesaplamayız; **Monte Carlo** ile tahmin ederiz: $N$ örnek al, $f$ değerlerinin ortalamasını al. Bu ortalama, tam da "$v(t) \cdot dt$'leri topla" mantığıdır; $N \to \infty$ iken gerçek integrale yakınsar. ::: ## Calculus'un Temel Teoremi: Alan Fonksiyonunun Türevi {#sec-ftc-1} Şimdi alanı bulmaya çalışmak yerine, sağ uç noktayı bir **değişken** $T$ olarak düşün. 0 ile $T$ arasındaki alan — yani $\int_0^T v(t)\,dt$ — $T$ saniye sonra kat edilen mesafedir; bu zaten bizim $s(T)$ mesafe fonksiyonumuz. $$ s(T) = \int_0^T v(t)\, dt $$ Bu alan fonksiyonunun **türevi** nedir? Girdiyi $dt$ kadar dürtersen alan, ince bir dilim ($ds$) kadar artar. Bu dilimin yüksekliği o noktadaki grafik değeri $v(t)$, genişliği $dt$: ```{python} #| label: fig-ftc-dilim #| fig-cap: "FTC birinci yarı: alan fonksiyonu $s(T)$'yi $dt$ dürt, $ds \\approx v(T)\\cdot dt$ ince dilim. $ds/dt = v(T)$ — alan fonksiyonunun türevi = grafiğin yüksekliği." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.plot(t_full, v_full, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$v(t)$') T = 5.0 mask = t_full <= T ax.fill_between(t_full[mask], 0, v_full[mask], color='#cbd5e0', alpha=0.5, label='$s(T)$') dt = 0.4 strip_t = np.linspace(T, T + dt, 30) ax.fill_between(strip_t, 0, v(strip_t), color='#fb923c', alpha=0.85, label='$ds \\approx v(T)\\,dt$') ax.annotate('$T$', xy=(T, 0), xytext=(T, -2), fontsize=13, ha='center') ax.annotate('$T + dt$', xy=(T + dt, 0), xytext=(T + dt + 0.1, -2), fontsize=12, ha='left') ax.set_xlabel('$t$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$v(t)$', fontsize=12) ax.set_title(r'$\frac{ds}{dT} = v(T)$ — alan fonksiyonunun türevi = grafiğin yüksekliği', fontsize=12) ax.legend(fontsize=11, loc='upper right') ax.grid(alpha=0.3) ax.set_ylim(-3, 18); ax.set_xlim(0, 8) plt.tight_layout() plt.show() ``` $$ ds \approx v(t)\, dt \qquad \frac{ds}{dt} = v(t) $$ Bu çok genel bir argümandır: **bir grafiğin altındaki alanı veren herhangi bir fonksiyonun türevi, grafiğin kendisidir.** > *"the derivative of any function giving the area under a graph like this is equal to the function for the graph itself."* — Grant, 11:09 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — CDF ↔ PDF"} $s(T) = \int_0^T v$, üst sınırın değişken olduğu bir **koşan integraldir** — olasılıkta bunun adı CDF'tir: $F(x) = \int_{-\infty}^x p$. Ve $ds/dt = v(t)$, CDF'nin türevinin PDF olması ($F' = p$) ile birebir aynı ilişkidir. RL'de value function (kümülatif ödülün koşan integrali) ile anlık ödül arasındaki bağ da budur. ::: ## Antitürev ve Sınırları Değerlendirmek {#sec-antiturev} $v(t) = t(8-t) = 8t - t^2$ ise, türevi buna eşit olan $s$ nedir? Parça parça: $8t$ için, $d(t^2) = 2t$ olduğundan $d(4t^2) = 8t$. $-t^2$ için, $d(t^3) = 3t^2$ olduğundan $d(-\tfrac{1}{3}t^3) = -t^2$. Birleştir: $$ v(t) = 8t - t^2 \qquad s(t) = 4t^2 - \frac{1}{3}t^3 + C $$ Bir incelik: herhangi bir **sabit $C$** eklemek türevi değiştirmez. Yani aslında sonsuz tane antitürev var, hepsi $4t^2 - \tfrac{1}{3}t^3 + C$ biçiminde. 8 saniyedeki toplam mesafe, ifadeyi $t = 8$'de değerlendirmektir: $$ \int_0^8 (8t - t^2)\, dt = \left[\,4t^2 - \frac{1}{3}t^3\,\right]_0^8 = \frac{256}{3} \approx 85{,}33 $$ Genel kural, **Calculus'un Temel Teoremi**: $$ \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x) $$ > *"to actually compute it using an antiderivative, you only look at two inputs ... It almost feels like cheating."* — Grant, 15:56 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Prefix Sum"} FTC'nin "çılgın" yanı şu: integral, alt ve üst sınır arasındaki **tüm continuum'u** hesaba katar; ama antitürevle hesaplarken yalnızca **iki** noktaya (sınırlara) bakarsın. Bu, ayrık dünyadaki **prefix-sum / telescoping** ile aynıdır: bir aralığın toplamını, birikimli dizinin iki ucundaki farkıyla $O(1)$'de alırsın. ::: ## İşaretli Alan {#sec-isaretli} Ya hız bir noktada negatifse, yani araba geri giderse? Küçük bir zaman aralığındaki mesafe $ds$ yine $v(t) \cdot dt$'dir; sadece $v$ negatif olduğundan $ds$ de negatiftir. ```{python} #| label: fig-isaretli-alan #| fig-cap: "İşaretli alan: $\\sin(x)$ $[0, 2\\pi]$'de — pozitif yarı (mavi) ile negatif yarı (kırmızı) birbirini götürür, net integral 0." #| fig-width: 10 #| fig-height: 4.5 x = np.linspace(0, 2*np.pi, 200) y = np.sin(x) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4.5)) ax.plot(x, y, color='#1e3a8a', linewidth=2.2) pos_mask = y >= 0 neg_mask = y < 0 ax.fill_between(x, 0, y, where=pos_mask, color='#60a5fa', alpha=0.6, label='pozitif alan') ax.fill_between(x, 0, y, where=neg_mask, color='#dc2626', alpha=0.6, label='negatif alan') ax.axhline(0, color='#0f172a', linewidth=0.7) ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12); ax.set_ylabel('$\\sin(x)$', fontsize=12) ax.set_title(r'$\int_0^{2\pi} \sin(x)\,dx = 0$ — pozitif ve negatif alan eşit', fontsize=12) ax.legend(fontsize=11, loc='upper right') ax.grid(alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` Bir grafik yatay eksenin altına indiğinde, o bölge ile eksen arasındaki alan **negatif** sayılır. İntegraller alanı değil, grafik ile yatay eksen arasındaki **işaretli alanı** ölçer. > *"integrals don't measure area per se, they measure the signed area between the graph and the horizontal axis."* — Grant, 18:50 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Advantage ve KL"} İşaretli alan, ML'de **net katkı** olan her yerde devrededir. KL diverjansı, beklenti farkları, politika gradyanındaki avantaj (advantage, pozitif/negatif) — hepsi pozitif ve negatif bölgelerin toplamıdır. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet-8} 1. İntegral, türevin tersidir; hızdan mesafe bulmak = antitürev bulmak. 2. Sabit hızda mesafe = hız × süre = bir dikdörtgenin alanı. 3. Değişen hızı aralıklara böl, her birinde mesafe $\approx v(t) \cdot dt$, hepsini topla. $\int_0^8 v(t)dt$, $dt \to 0$ limiti. 4. FTC (birinci yarı): alan fonksiyonu $s(T) = \int_0^T v$'nin türevi, grafiğin kendisidir: $ds/dt = v(t)$. 5. Antitürev: türevi $v$ olan fonksiyon. Sonsuz tane vardır ($+C$). 6. FTC (ikinci yarı): $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Tüm continuum, yalnızca iki uç noktayla hesaplanır. 7. İşaretli alan: grafik eksenin altındayken alan negatif sayılır. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} İntegral, bir eğri altındaki (işaretli) alandır — sayısız $v(t) \cdot dt$ diliminin $dt \to 0$ limiti — ve Calculus'un Temel Teoremi onu türevin tersine bağlar: alan fonksiyonunun türevi grafiğin kendisidir, dolayısıyla $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular-8} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: $\int_0^3 2x\,dx$ integralini antitürevle hesapla."} **Cevap:** $2x$'in antitürevi $x^2$ (çünkü $d(x^2)/dx = 2x$). FTC: $F(3) - F(0) = 3^2 - 0^2 = 9$. Geometrik kontrol: $2x$ doğrusu altında, taban 3, yükseklik 6 olan üçgen → $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$. ✓ ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: d/dT [ $\int_0^T \sin(t)\,dt$ ] nedir?"} **Cevap:** FTC'nin birinci yarısı: bir koşan integralin (üst sınıra göre) türevi, integrandın kendisidir. Yani $d/dT \int_0^T \sin(t)dt = \sin(T)$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: $\int_0^{2\pi} \sin(x)\,dx$ nedir? Sonuç neden sezgisel?"} **Cevap:** $\sin$'in antitürevi $-\cos$. FTC: $[-\cos x]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0$. Sezgisel: $\sin(x)$ ilk yarıda pozitif, ikinci yarıda negatiftir; pozitif alan ile negatif alan eşit büyüklükte ve **işaretli alan** olarak birbirini tam götürür. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Ayrık ödül dizisi r[1], r[2], … için kümülatif toplam G ile FTC'nin ilişkisi nedir?"} **Cevap:** Prefix-sum $G[n] = \sum_{k \leq n} r[k]$, integralin ("birikim") ayrık karşılığıdır; ardışık fark $r[n] = G[n] - G[n-1]$ ise türevin ("anlık değer") karşılığıdır. FTC'nin ayrık akrabası: a'dan b'ye toplam = $G[b] - G[a]$. RL'de return bu $G$'dir; anlık ödül onun "türevidir". cumsum ↔ diff, integral ↔ türev ile birebir eşleşir. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler-8} **Egzersiz 1.** $\int_1^4 (2t + 1) dt$ integralini antitürevle hesapla. **Egzersiz 2.** $d/dx [\int_0^x e^{-t^2} dt]$ nedir? (FTC birinci yarısını uygula. Not: $e^{-t^2}$'nin kapalı-form antitürevi yoktur — bu yüzden integral "erf" diye adlandırılır.) **Egzersiz 3.** $\int_{-1}^1 x^3 dx$'i hesapla ve sonucun neden 0 olduğunu işaretli alanla açıkla. **Egzersiz 4.** *(Python — sayısal + sembolik)* $v(t) = t(8-t)$ için sol-uç Riemann toplamını hesapla; $N$ büyüdükçe $256/3 \approx 85{,}33$'e yakınsadığını göster. ```{python} import numpy as np import sympy as sp v = lambda t: t * (8 - t) def riemann_sol(N): dt = 8 / N ts = np.arange(N) * dt return np.sum(v(ts) * dt) for N in [8, 32, 128, 1024, 8192]: print(f"N={N:5d} yaklasik={riemann_sol(N):.4f}") t_sym = sp.symbols("t") print("kesin (SymPy):", sp.integrate(t_sym * (8 - t_sym), (t_sym, 0, 8)), "= 256/3 ≈", 256/3) ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki dersin habercisi)* Bir fonksiyonun bir aralıktaki **ortalama değeri** nedir ve bu, integralle nasıl ilişkilidir? Ders 9, alan ile eğim arasındaki bağı farklı bir açıdan derinleştirecek. ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-8} | Kavram | Tanım | Grant'ta | |--------|-------|----------| | **İntegral = türevin tersi** | Hızdan mesafe = antitürev bulmak | 0m39 | | **Mesafe = alan** | Sabit hızda $v \cdot t$ = dikdörtgen alanı | 3m05 | | **Riemann toplamı** | $v(t) \cdot dt$ ince dikdörtgenlerini topla | 4m09 | | **$\int$ notasyonu** | $dt \to 0$ iken $\sum v(t)dt$ = eğri altı alan | 6m36 | | **FTC (birinci yarı)** | $ds/dt = v$; alan fonksiyonunun türevi = grafik | 11m09 | | **Antitürev ($+C$)** | Türevi $f$ olan fonksiyon; sonsuz tane | 12m32 | | **FTC (ikinci yarı)** | $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$ | 15m32 | | **İşaretli alan** | Eksenin altı negatif sayılır | 18m50 | | **$\int_0^8 t(8-t)dt = 256/3$** | Toplam mesafe $\approx 85{,}33$ m | 14m13 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-8} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **İntegral = küçük niceliklerin toplamı** → beklenen değer $E[f(X)] = \int f \cdot p\,dx$, Monte Carlo entegrasyon, ELBO. 2. **FTC / antitürev** → CDF ↔ PDF ($F' = p$), RL value function ↔ anlık ödül; birikim ile anlık değer arasındaki bağ. 3. **"İki uç nokta yeter"** → prefix-sum / telescoping; bir aralığın toplamını $O(1)$'de almak. 4. **Riemann toplamı** → Monte Carlo entegrasyon; $N \to \infty$ iken kestirim gerçeğe yakınsar. 5. **İşaretli alan** → KL diverjansı terimleri, advantage (pozitif/negatif), net akış. 6. **Mesafe = alan (birim çarpımı)** → beklenti = (değer × ağırlık) alanı olarak okunur. 7. **cumsum ↔ diff** → ayrık integral/türev; dizi modellerinde birikimli özellikler. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} İntegral, bir eğri altındaki işaretli alandır — sayısız küçük dilimi ($v(t) \cdot dt$) toplamanın $dt \to 0$ limiti. Calculus'un Temel Teoremi onu türevin tersine bağlar: alan fonksiyonunun türevi grafiğin kendisidir, dolayısıyla bir integrali, antitürevinin yalnızca iki uç noktasındaki değerinden hesaplayabilirsin. :::

9.1 Bu Derste Ne Var?

9.2 Tersine Problem: Hızdan Mesafe

9.3 Değişen Hızı Dilimlemek: \(\int\) Notasyonu

9.4 Calculus’un Temel Teoremi: Alan Fonksiyonunun Türevi

9.5 Antitürev ve Sınırları Değerlendirmek

9.6 İşaretli Alan

9.7 Bu Dersin Özeti

9.8 Kontrol Soruları

9.9 Egzersizler

9.10 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

9.11 ML Bağlantıları Özeti