10 Alanın Eğimle İlişkisi Nedir?

Sürekli ortalama, integral/genişlik ve FTC’nin ikinci yüzü

Bölüm bilgisi

Grant’ın videosu: YouTube — Chapter 9: What does area have to do with slope? (≈12 dk)
Kaynak: 3Blue1Brown — Essence of Calculus
Okuma süresi: ≈20 dk

10.1 Bu Derste Ne Var?

İntegralin sıkça karşımıza çıktığı bir problem türü: sürekli bir değişkenin ortalaması. Hem kendi başına faydalı, hem de integral ile türevin neden birbirinin tersi olduğuna — alanın neden eğimle ilişkili olduğuna — yepyeni bir bakış verir. Örneğimiz: $\sin(x)$’in $[0, \pi]$ aralığındaki (yarım periyot) ortalama yüksekliği.

Üç ana fikir:

Sürekli ortalama: sonsuz değeri toplayıp $\infty$’a bölemezsin; çözüm integraldir. Ortalama = alan / genişlik = $(1/(b-a))\int_a^b f$.
Çözüm: $\sin$’in antitürevi $-\cos$; $\int_0^\pi \sin = 2$; ortalama = $2/\pi \approx 0{,}64$.
Yeni bakış: ortalama değer = antitürevin uç noktaları arasındaki eğim (rise/run); “ortalama eğim = toplam eğim”. FTC’ye ikinci bir perspektif.

flowchart LR
    A["Sonlu örnek ortalaması<br/>(Σ f(xᵢ) / N)"] --> B["dx → 0: integral<br/>(1/(b-a)) ∫ₐᵇ f"]
    B --> C["= (F(b) − F(a)) / (b − a)<br/>= antitürevin eğimi"]
    C --> D["f = F' teğet eğimlerinin<br/>ortalaması = uç nokta eğimi"]
    D --> E["🌉 Beklenen değer<br/>(Monte Carlo)"]
    style C fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px
    style E fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 10.1: FTC’nin ikinci yüzü: $f$’in ortalaması = antitürev $F$’in uç noktaları arası eğim.

“the average height of this graph is this area divided by its width.” — Grant, 5:14

Builder Notu — ML Köprüleri

Sürekli ortalama = integral / genişlik → beklenen değer: bir aralıkta düzgün (uniform) dağılımda ortalama = $(1/(b-a))\int f$; genel dağılımda $E[X] = \int x \cdot p(x)dx$.
“Sonlu ortalamayı sonsuz continuum’a genelle = integral” sezgisi → olasılıkta beklenti, Monte Carlo; sürekli dağılımların tüm teorisi bu adımla kurulur.
Ortalama eğim = uç nokta eğimi → ortalama değer teoremi; gradyanların bir yörünge boyunca ortalaması; telescoping.
İşaretli alan / genişlik → bir sinyalin ortalaması (DC bileşeni), bir kaybın bir epoch boyunca ortalaması.

10.2 Sürekli Bir Değişkenin Ortalaması

$\sin(x)$’in 0 ile $\pi$ arasındaki grafiğine bak (periyodunun yarısı). Bu aralıkta grafiğin ortalama yüksekliği nedir? Boş bir soru değil: dünyadaki bir sürü döngüsel olgu sinüs dalgalarıyla modellenir — örneğin güneşin gökte kaldığı saat sayısı, yılın gününe göre bir sinüs deseni izler.

Tuhaf bir soru: ortalama denince genelde sonlu sayıda değer düşünürüz — hepsini topla, adetlerine böl. Ama $[0, \pi]$ arasında $\sin(x)$’in sonsuz tane değeri var.

Builder Notu — Beklenen Değer

Bu “bir niceliğin ortalaması” sorusu, ML’de her yerdedir ama genelde beklenen değer adıyla. Bir kaybın veri dağılımı üzerindeki ortalaması $E[L]$, bir politikanın ortalama ödülü, bir aktivasyonun beklenen değeri — hepsi “sonsuz/çok sayıda değeri ortalama” sorusudur.

10.3 Sonsuz Değeri Ortalamak: Önce Sonlu Örnek

Aralık boyunca eşit aralıklı sonlu sayıda nokta örnekle. Sonlu örnek olduğu için ortalamayı alışıldık yolla bulabilirsin: her noktadaki yükseklikleri toplayıp örnek sayısına böl.

Builder Notu — Büyük Sayılar Yasası

“Önce sonlu örnekle yaklaştır, sonra örnek sayısını artır” — bu, Monte Carlo yönteminin tam tanımıdır. Bir beklentiyi hesaplayamadığında, dağılımdan $N$ örnek al, ortalamalarını al; $N \to \infty$ iken bu, gerçek beklentiye yaklaşır (Büyük Sayılar Yasası).

10.4 Ortalama = Alan / Genişlik

Ortalama ifadesini (yüksekliklerin toplamı bölü örnek sayısı) $dx$ cinsinden yeniden yazalım. Örnekler arası boşluk $dx$ ise ve aralık 0’dan $\pi$’ye uzanıyorsa, örnek sayısı $\approx \pi/dx$:

\[ \text{ortalama} \approx \frac{\sum \sin(x)}{\pi / dx} = \frac{1}{\pi}\sum \sin(x)\,dx \;\to\; \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)\,dx \]

$dx$’i paya dağıtınca topladığın terimler $\sin(x) \cdot dx$ oldu — yani pay tam bir integral ifadesidir. Daha çok nokta için bu ortalama, gerçek integralin aralık uzunluğuna ($\pi$) bölümüne yaklaşır. Başka deyişle: ortalama yükseklik = alan / genişlik.

Builder Notu — Beklenti Tanımı

Bu birebir beklenen değerin tanımıdır. Sonlu durumda $E[X] = \sum (\text{değer} \times \text{olasılık})$; $[a,b]$’de düzgün dağılımda her noktanın ağırlığı $dx/(b-a)$’dır, dolayısıyla $E[X] = (1/(b-a))\int_a^b x\,dx$.

10.5 Çözüm: $-\cos$ Antitürevi ve $2/\pi$

İntegrali hesaplamak için $\sin(x)$’in antitürevini bulmalıyız: türevi $\sin$ olan fonksiyon. $-\cos x$’in türevi $+\sin x$’tir.

\[ \int_0^\pi \sin(x)\,dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]

$\sin$ grafiğinin $[0, \pi]$ altındaki alan tam olarak 2 — şık bir sonuç. O hâlde ortalama yükseklik:

\[ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}64 \]

Builder Notu — Epoch Ortalama Kaybı

Bu $2/\pi \approx 0{,}64$ sonucu, sinyal işlemede yarım-dalga doğrultulmuş bir sinüsün ortalama değeri olarak karşına çıkar. ML’de bir aktivasyon veya kayıp sinyalinin bir aralıktaki ortalaması, tam bu “integral / genişlik” hesabıdır — örneğin bir epoch boyunca ortalama kayıp.

10.6 Yeni Bakış: Ortalama Eğim = Uç Noktalar Arası Eğim

Ortalama değer $2/\pi$’ye, antitürev ($-\cos x$)’in girdi aralığındaki değişiminin, aralık uzunluğuna bölümüyle ulaştık:

\[ \frac{2}{\pi} = \frac{(-\cos\pi) - (-\cos 0)}{\pi - 0} \]

Bu kesri başka türlü oku: $-\cos$ grafiğinin $\pi$ üzerindeki noktası ile 0 üzerindeki noktası arasındaki rise/run eğimi. Peki bu eğim neden $\sin(x)$’in ortalama değerini temsil etsin? Çünkü tanım gereği $\sin(x)$, $-\cos$ grafiğinin türevidir — yani her noktadaki teğet eğimidir.

“the average slope of a graph over all of its points in a certain range should equal the total slope between the start and end points.” — Grant, 8:13

Genel olarak, $f(x)$’in $[a, b]$’deki ortalama değeri:

\[ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{F(b) - F(a)}{b - a} \]

Builder Notu — Telescoping

“$f$’nin ortalama değeri = $F$’nin uç noktaları arası eğimi” ifadesi, ortalama değer teoreminin integral hâlidir ve telescoping’in sürekli karşılığıdır. ML’de bir gradyanın bir yörünge boyunca ortalaması, yalnızca başlangıç ve bitiş parametrelerinin farkına bağlıdır (ara yol önemsiz) — tıpkı $F(b) - F(a)$’nın aradaki tüm noktaları görmezden gelmesi gibi.

10.7 İkinci Sezgi: Sonlu → Sonsuz Genelleme = İntegral

Ders 8’de integralleri akla getiren bir his tarif etmiştim: “problem küçük şeyleri toplayarak yaklaştırılabiliyorsa, integral düşün.” Burada ikinci bir his ekliyoruz: bir fikri sonlu bir bağlamda anlıyorsan ve o fikir birden çok değeri toplamayı içeriyorsa (bir sayı kümesinin ortalamasını almak gibi), ve bunu sonsuz, sürekli bir değer aralığına genellemek istiyorsan — onu bir integral cinsinden ifade etmeyi dene.

“if you want to generalize that idea to apply to an infinite continuous range of values, try seeing if you can phrase things in terms of an integral.” — Grant, 11:58

Builder Notu — Olasılık Teorisi

Bu “sonlu fikri sürekliye taşı = integral” sezgisi, olasılık teorisinin kurucu adımıdır. Kesikli bir dağılımın beklentisi $\sum x \cdot p(x)$; sürekliye geçince $\int x \cdot p(x)dx$ olur. Varyans, entropi, KL diverjansı — hepsi önce sonlu toplamla tanımlanır, sonra integralle sürekliye genellenir.

10.8 Bu Dersin Özeti

Sürekli bir değişkenin ortalaması: sonsuz değer var, hepsini toplayıp $\infty$’a bölemezsin — çözüm bir integraldir.
Önce sonlu örnekle yaklaş: yükseklikleri topla, örnek sayısına böl. Örnek sayısı $\approx \pi/dx$.
Yeniden yaz: ortalama $\approx (\sum \sin(x) \cdot dx)/\pi \to (1/\pi)\int_0^\pi \sin(x)dx$ = alan / genişlik.
Çözüm: $\sin$’in antitürevi $-\cos$; $\int_0^\pi \sin dx = 2$; ortalama = $2/\pi \approx 0{,}64$.
Yeni bakış: bu ortalama, antitürev $-\cos$’un uç noktaları arasındaki rise/run eğimidir.
$f = F'$ olduğundan, $f$’nin ortalama değeri = $F$’nin teğet eğimlerinin ortalaması = uç noktalar arası eğim.
İkinci sezgi: sonlu bir “toplama/ortalama” fikrini sürekli, sonsuz bir aralığa genellemek istersen, onu bir integral cinsinden ifade et.

Tek bir cümle

Sürekli bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalaması, integralinin (işaretli alan) genişliğe bölümüdür — ve bu, antitürevin uç noktaları arasındaki eğime eşittir; yani “ortalama değer = ortalama eğim = uç noktalar arası eğim”, alanın eğimle ilişkisine ikinci bir kanıttır.

10.9 Kontrol Soruları

Soru 1: f(x) = x²’nin [0, 3] aralığındaki ortalama değeri nedir?

Cevap: Ortalama = $(1/(3-0))\int_0^3 x^2 dx$. Antitürev $x^3/3$, dolayısıyla $\int_0^3 x^2 dx = [x^3/3]_0^3 = 27/3 = 9$. Ortalama = $9/3 = 3$. (Sezgi: $x^2$ eğrisi 0’dan 9’a çıkar; ortalama 3, yani maksimumun üçte biri.)

Soru 2: ‘Ortalama = alan / genişlik’ birimler açısından neden mantıklı?

Cevap: $\int f\,dx$’in birimi, ($f$’nin birimi) × ($x$’in birimi) = bir “alan” birimidir. Bunu genişliğe ($x$’in birimi) bölünce geriye yalnızca $f$’nin birimi kalır — yani bir yükseklik/değer birimi.

Soru 3: f’nin ortalama değeri neden antitürev F’nin uç noktaları arası eğimine eşittir?

Cevap: Ortalama = $(1/(b-a))\int_a^b f$. FTC ile $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, dolayısıyla ortalama = $(F(b) - F(a))/(b-a)$ — bu zaten $F$’nin iki uç nokta arasındaki rise/run eğimi. $f = F'$ olduğundan $f$, $F$’nin her noktadaki teğet eğimidir; bu eğimlerin ortalaması da uç noktalar arası toplam eğime eşittir.

Soru 4: (Builder) Uniform(a, b) dağılımının beklenen değeri, ‘ortalama = alan/genişlik’ ile nasıl çıkar?

Cevap: Düzgün dağılımda her nokta eşit ağırlıklı, yani $E[X] = x$’in $[a,b]$’deki ortalama değeri = $(1/(b-a))\int_a^b x\,dx$. $\int_a^b x\,dx = (b^2 - a^2)/2$, dolayısıyla $E[X] = (b^2 - a^2)/(2(b-a)) = (a+b)/2$ — aralığın orta noktası.

10.10 Egzersizler

Egzersiz 1. $\cos(x)$’in $[0, \pi/2]$ aralığındaki ortalama değerini bul.

Egzersiz 2. $f(x) = x$’in $[0, L]$ aralığındaki ortalama değerini integralle bul. Sonucun $L/2$ olduğunu göster.

Egzersiz 3. $\sin(x)$’in $[0, 2\pi]$ aralığındaki ortalama değerini hesapla ve sonucun neden 0 olduğunu işaretli alanla açıkla.

Egzersiz 4. (Python — sayısal + sembolik) $\sin$’in $[0, \pi]$ ortalamasını sonlu örnekle yaklaştır.

Egzersiz 5. (Sonraki dersin habercisi) Bu seride hep birinci türevi (eğim, hız) kullandık. Türevin türevi — ikinci türev — ne anlatır? Ders 10, yüksek mertebeden türevleri ele alacak.

10.11 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Grant’ta
Sürekli ortalama	Sonsuz değer; toplayıp $\infty$’a bölemezsin → integral	1m43
Sonlu örnekle yaklaş	Yükseklikleri topla/say; örnek sayısı $\approx$ aralık/$dx$	2m17
Ortalama = alan / genişlik	$(1/(b-a)) \int_a^b f\,dx$	5m14
$\int_0^\pi \sin\,dx = 2$	$\sin$’in $[0,\pi]$ altındaki alan	6m37
Ortalama $\sin = 2/\pi$	$\approx 0{,}64$; alan/genişlik	6m50
Ortalama değer = uç nokta eğimi	$(F(b) - F(a))/(b - a)$	7m19
Ortalama eğim = toplam eğim	$f = F'$ teğetlerinin ortalaması	8m13
Sonlu → sonsuz = integral	İkinci “integral düşün” sezgisi	11m58

10.12 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Sürekli ortalama = integral / genişlik → beklenen değer $E[X] = \int x \cdot p(x)dx$; bir aralıkta ortalama kayıp.
Sonlu örnek → integral → Monte Carlo entegrasyon, Büyük Sayılar Yasası.
Ortalama = uç nokta eğimi → ortalama değer teoremi, telescoping; bir yörüngede net ilerleme yalnızca uçlara bağlı.
“Sonlu fikri sürekliye genelle = integral” → olasılık teorisi: beklenti, varyans, entropi, KL diverjansı.
İşaretli alan ortalaması → net/DC bileşen; pozitif ve negatif katkıların dengesi.
Uniform beklenti $(a+b)/2$ → düzgün dağılım, ağırlık başlatma aralıkları.
Epoch ortalama kaybı → “integral / genişlik” hesabının doğrudan pratik karşılığı.

Tek bir şey alıp gideceksen

Sürekli bir şeyin ortalaması = integral (işaretli alan) bölü genişlik. Ve bu, antitürevin uç noktaları arasındaki eğime eşittir — alanın eğimle ilişkisinin ikinci kanıtı. Sonlu bir “ortalama/toplam” fikrini sonsuz bir continuum’a taşımak istediğinde refleksin “integral” olsun; bu, olasılık ve beklenti teorisinin kapısıdır.

--- title: "Alanın Eğimle İlişkisi Nedir?" subtitle: "Sürekli ortalama, integral/genişlik ve FTC'nin ikinci yüzü" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Grant'ın videosu:** [YouTube — Chapter 9: What does area have to do with slope?](https://www.youtube.com/watch?v=FnJqaIESC2s&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=9) (≈12 dk) - **Kaynak:** [3Blue1Brown — Essence of Calculus](https://www.3blue1brown.com/topics/calculus) - **Okuma süresi:** ≈20 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-alan-egim-intro} İntegralin sıkça karşımıza çıktığı bir problem türü: **sürekli bir değişkenin ortalaması**. Hem kendi başına faydalı, hem de integral ile türevin neden birbirinin tersi olduğuna — alanın neden eğimle ilişkili olduğuna — **yepyeni bir bakış** verir. Örneğimiz: $\sin(x)$'in $[0, \pi]$ aralığındaki (yarım periyot) **ortalama yüksekliği**. **Üç ana fikir:** 1. **Sürekli ortalama:** sonsuz değeri toplayıp $\infty$'a bölemezsin; çözüm integraldir. Ortalama = alan / genişlik = $(1/(b-a))\int_a^b f$. 2. **Çözüm:** $\sin$'in antitürevi $-\cos$; $\int_0^\pi \sin = 2$; ortalama = $2/\pi \approx 0{,}64$. 3. **Yeni bakış:** ortalama değer = antitürevin uç noktaları arasındaki **eğim** (rise/run); "ortalama eğim = toplam eğim". FTC'ye ikinci bir perspektif. ```{mermaid} %%| label: fig-alan-egim-map %%| fig-cap: "FTC'nin ikinci yüzü: $f$'in ortalaması = antitürev $F$'in uç noktaları arası eğim." flowchart LR A["Sonlu örnek ortalaması (Σ f(xᵢ) / N)"] --> B["dx → 0: integral (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f"] B --> C["= (F(b) − F(a)) / (b − a) = antitürevin eğimi"] C --> D["f = F' teğet eğimlerinin ortalaması = uç nokta eğimi"] D --> E["🌉 Beklenen değer (Monte Carlo)"] style C fill:#fff3e0,stroke:#f57c00,stroke-width:2px style E fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` > *"the average height of this graph is this area divided by its width."* — Grant, 5:14 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Sürekli ortalama = integral / genişlik** → **beklenen değer**: bir aralıkta düzgün (uniform) dağılımda ortalama = $(1/(b-a))\int f$; genel dağılımda $E[X] = \int x \cdot p(x)dx$. - **"Sonlu ortalamayı sonsuz continuum'a genelle = integral"** sezgisi → olasılıkta beklenti, **Monte Carlo**; sürekli dağılımların tüm teorisi bu adımla kurulur. - **Ortalama eğim = uç nokta eğimi** → ortalama değer teoremi; gradyanların bir yörünge boyunca ortalaması; telescoping. - **İşaretli alan / genişlik** → bir sinyalin ortalaması (DC bileşeni), bir kaybın bir epoch boyunca ortalaması. ::: ## Sürekli Bir Değişkenin Ortalaması {#sec-surekli-ortalama} $\sin(x)$'in 0 ile $\pi$ arasındaki grafiğine bak (periyodunun yarısı). Bu aralıkta grafiğin **ortalama yüksekliği** nedir? Boş bir soru değil: dünyadaki bir sürü döngüsel olgu sinüs dalgalarıyla modellenir — örneğin güneşin gökte kaldığı saat sayısı, yılın gününe göre bir sinüs deseni izler. Tuhaf bir soru: ortalama denince genelde **sonlu** sayıda değer düşünürüz — hepsini topla, adetlerine böl. Ama $[0, \pi]$ arasında $\sin(x)$'in **sonsuz** tane değeri var. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Beklenen Değer"} Bu "bir niceliğin ortalaması" sorusu, ML'de her yerdedir ama genelde **beklenen değer** adıyla. Bir kaybın veri dağılımı üzerindeki ortalaması $E[L]$, bir politikanın ortalama ödülü, bir aktivasyonun beklenen değeri — hepsi "sonsuz/çok sayıda değeri ortalama" sorusudur. ::: ## Sonsuz Değeri Ortalamak: Önce Sonlu Örnek {#sec-sonlu-ornek} Aralık boyunca eşit aralıklı **sonlu sayıda nokta** örnekle. Sonlu örnek olduğu için ortalamayı alışıldık yolla bulabilirsin: her noktadaki yükseklikleri toplayıp örnek sayısına böl. ```{python} #| label: fig-sonlu-ornek #| fig-cap: "Örnek ortalamasının integral ortalamasına yakınsaması: $N$ büyüdükçe $\\sin(x)$'in $[0, \\pi]$ örnek ortalaması $2/\\pi \\approx 0{,}637$'ye yaklaşır." #| fig-width: 11 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5)) # Sol: örnekleme yapan grafik ax = axes[0] x_full = np.linspace(0, np.pi, 200) y_full = np.sin(x_full) ax.plot(x_full, y_full, color='#1e3a8a', linewidth=2.5) ax.fill_between(x_full, 0, y_full, color='#60a5fa', alpha=0.25) N = 12 xs = np.linspace(0, np.pi, N, endpoint=False) + np.pi/(2*N) ys = np.sin(xs) ax.bar(xs, ys, width=0.05, color='#dc2626', alpha=0.8) ax.plot(xs, ys, 'o', color='#dc2626', markersize=6, zorder=5) ax.axhline(2/np.pi, color='#c2410c', linestyle='--', linewidth=2, label=f'ortalama = $2/\\pi \\approx 0{{,}}637$') ax.set_xlabel('$x$', fontsize=11); ax.set_ylabel('$\\sin(x)$', fontsize=11) ax.set_title(f'$N = {N}$ örnek, $\\sin(x)$ üzerinde', fontsize=11) ax.legend(fontsize=10, loc='upper right') ax.grid(alpha=0.3) # Sağ: yakınsama ax = axes[1] Ns = [2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 1024] ortalamalar = [] for N in Ns: xs = np.linspace(0, np.pi, N, endpoint=False) + np.pi/(2*N) ortalamalar.append(np.mean(np.sin(xs))) ax.semilogx(Ns, ortalamalar, 'o-', color='#1e3a8a', markersize=8, linewidth=1.5, markerfacecolor='#60a5fa') ax.axhline(2/np.pi, color='#dc2626', linestyle='--', linewidth=2, label='$2/\\pi$') ax.set_xlabel('$N$ (örnek sayısı)', fontsize=11) ax.set_ylabel('örnek ortalaması', fontsize=11) ax.set_title('Örnek ortalaması $\\to 2/\\pi$', fontsize=11) ax.legend(fontsize=11) ax.grid(True, which='both', alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Büyük Sayılar Yasası"} "Önce sonlu örnekle yaklaştır, sonra örnek sayısını artır" — bu, **Monte Carlo** yönteminin tam tanımıdır. Bir beklentiyi hesaplayamadığında, dağılımdan $N$ örnek al, ortalamalarını al; $N \to \infty$ iken bu, gerçek beklentiye yaklaşır (Büyük Sayılar Yasası). ::: ## Ortalama = Alan / Genişlik {#sec-alan-genislik} Ortalama ifadesini (yüksekliklerin toplamı bölü örnek sayısı) $dx$ cinsinden yeniden yazalım. Örnekler arası boşluk $dx$ ise ve aralık 0'dan $\pi$'ye uzanıyorsa, örnek sayısı $\approx \pi/dx$: $$ \text{ortalama} \approx \frac{\sum \sin(x)}{\pi / dx} = \frac{1}{\pi}\sum \sin(x)\,dx \;\to\; \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)\,dx $$ $dx$'i paya dağıtınca topladığın terimler $\sin(x) \cdot dx$ oldu — yani pay tam bir **integral ifadesidir**. Daha çok nokta için bu ortalama, gerçek integralin aralık uzunluğuna ($\pi$) bölümüne yaklaşır. Başka deyişle: **ortalama yükseklik = alan / genişlik**. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Beklenti Tanımı"} Bu birebir **beklenen değerin** tanımıdır. Sonlu durumda $E[X] = \sum (\text{değer} \times \text{olasılık})$; $[a,b]$'de düzgün dağılımda her noktanın ağırlığı $dx/(b-a)$'dır, dolayısıyla $E[X] = (1/(b-a))\int_a^b x\,dx$. ::: ## Çözüm: $-\cos$ Antitürevi ve $2/\pi$ {#sec-cozum-2pi} İntegrali hesaplamak için $\sin(x)$'in **antitürevini** bulmalıyız: türevi $\sin$ olan fonksiyon. $-\cos x$'in türevi $+\sin x$'tir. $$ \int_0^\pi \sin(x)\,dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 $$ $\sin$ grafiğinin $[0, \pi]$ altındaki alan tam olarak **2** — şık bir sonuç. O hâlde ortalama yükseklik: $$ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}64 $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Epoch Ortalama Kaybı"} Bu $2/\pi \approx 0{,}64$ sonucu, sinyal işlemede yarım-dalga doğrultulmuş bir sinüsün ortalama değeri olarak karşına çıkar. ML'de bir aktivasyon veya kayıp sinyalinin bir aralıktaki ortalaması, tam bu "integral / genişlik" hesabıdır — örneğin bir epoch boyunca ortalama kayıp. ::: ## Yeni Bakış: Ortalama Eğim = Uç Noktalar Arası Eğim {#sec-ortalama-egim} Ortalama değer $2/\pi$'ye, antitürev ($-\cos x$)'in girdi aralığındaki **değişiminin**, aralık uzunluğuna bölümüyle ulaştık: $$ \frac{2}{\pi} = \frac{(-\cos\pi) - (-\cos 0)}{\pi - 0} $$ ```{python} #| label: fig-ortalama-egim #| fig-cap: "$\\sin$'in $[0, \\pi]$ ortalaması ($2/\\pi$) = antitürev $-\\cos$'un iki uç nokta arası eğimi. $f$'nin teğet eğimlerinin ortalaması = $F$'in toplam eğimi." #| fig-width: 11 #| fig-height: 4.5 x = np.linspace(0, np.pi, 200) sin_x = np.sin(x) neg_cos_x = -np.cos(x) fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5)) ax = axes[0] ax.plot(x, sin_x, color='#1e3a8a', linewidth=2.5, label='$\\sin(x)$') ax.axhline(2/np.pi, color='#dc2626', linestyle='--', linewidth=2, label=f'ortalama = $2/\\pi$') ax.fill_between(x, 0, sin_x, color='#60a5fa', alpha=0.25) ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$\\sin(x)$', fontsize=11) ax.set_title('Grafik: $\\sin(x)$ ve ortalama', fontsize=11) ax.legend(fontsize=10) ax.grid(alpha=0.3) ax = axes[1] ax.plot(x, neg_cos_x, color='#7c2d12', linewidth=2.5, label='$-\\cos(x)$ (antitürev)') # Uç noktalar arası sekant ax.plot([0, np.pi], [neg_cos_x[0], neg_cos_x[-1]], 'o-', color='#dc2626', linewidth=2, markersize=10, label=f'eğim = {2/np.pi:.3f} = $2/\\pi$') ax.set_xlabel('$x$'); ax.set_ylabel('$-\\cos(x)$', fontsize=11) ax.set_title('Antitürev: uç noktalar arası eğim', fontsize=11) ax.legend(fontsize=10, loc='upper left') ax.grid(alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` Bu kesri başka türlü oku: $-\cos$ grafiğinin $\pi$ üzerindeki noktası ile 0 üzerindeki noktası arasındaki **rise/run eğimi**. Peki bu eğim neden $\sin(x)$'in ortalama değerini temsil etsin? Çünkü tanım gereği $\sin(x)$, $-\cos$ grafiğinin **türevidir** — yani her noktadaki teğet eğimidir. > *"the average slope of a graph over all of its points in a certain range should equal the total slope between the start and end points."* — Grant, 8:13 Genel olarak, $f(x)$'in $[a, b]$'deki ortalama değeri: $$ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \frac{F(b) - F(a)}{b - a} $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Telescoping"} "$f$'nin ortalama değeri = $F$'nin uç noktaları arası eğimi" ifadesi, **ortalama değer teoreminin** integral hâlidir ve telescoping'in sürekli karşılığıdır. ML'de bir gradyanın bir yörünge boyunca ortalaması, yalnızca başlangıç ve bitiş parametrelerinin farkına bağlıdır (ara yol önemsiz) — tıpkı $F(b) - F(a)$'nın aradaki tüm noktaları görmezden gelmesi gibi. ::: ## İkinci Sezgi: Sonlu → Sonsuz Genelleme = İntegral {#sec-sonlu-sonsuz} [Ders 8](08-integrasyon-ftc.qmd)'de integralleri akla getiren bir his tarif etmiştim: "problem küçük şeyleri toplayarak yaklaştırılabiliyorsa, integral düşün." Burada **ikinci bir his** ekliyoruz: bir fikri **sonlu** bir bağlamda anlıyorsan ve o fikir birden çok değeri toplamayı içeriyorsa (bir sayı kümesinin ortalamasını almak gibi), ve bunu **sonsuz, sürekli** bir değer aralığına genellemek istiyorsan — onu bir integral cinsinden ifade etmeyi dene. > *"if you want to generalize that idea to apply to an infinite continuous range of values, try seeing if you can phrase things in terms of an integral."* — Grant, 11:58 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Olasılık Teorisi"} Bu "sonlu fikri sürekliye taşı = integral" sezgisi, **olasılık teorisinin** kurucu adımıdır. Kesikli bir dağılımın beklentisi $\sum x \cdot p(x)$; sürekliye geçince $\int x \cdot p(x)dx$ olur. Varyans, entropi, KL diverjansı — hepsi önce sonlu toplamla tanımlanır, sonra integralle sürekliye genellenir. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet-9} 1. Sürekli bir değişkenin ortalaması: sonsuz değer var, hepsini toplayıp $\infty$'a bölemezsin — çözüm bir **integraldir**. 2. Önce sonlu örnekle yaklaş: yükseklikleri topla, örnek sayısına böl. Örnek sayısı $\approx \pi/dx$. 3. Yeniden yaz: ortalama $\approx (\sum \sin(x) \cdot dx)/\pi \to (1/\pi)\int_0^\pi \sin(x)dx$ = **alan / genişlik**. 4. Çözüm: $\sin$'in antitürevi $-\cos$; $\int_0^\pi \sin dx = 2$; ortalama = $2/\pi \approx 0{,}64$. 5. Yeni bakış: bu ortalama, antitürev $-\cos$'un uç noktaları arasındaki **rise/run eğimidir**. 6. $f = F'$ olduğundan, $f$'nin ortalama değeri = $F$'nin teğet eğimlerinin ortalaması = uç noktalar arası eğim. 7. İkinci sezgi: sonlu bir "toplama/ortalama" fikrini sürekli, sonsuz bir aralığa genellemek istersen, onu bir integral cinsinden ifade et. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Sürekli bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalaması, integralinin (işaretli alan) genişliğe bölümüdür — ve bu, antitürevin uç noktaları arasındaki eğime eşittir; yani "ortalama değer = ortalama eğim = uç noktalar arası eğim", alanın eğimle ilişkisine ikinci bir kanıttır. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular-9} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: f(x) = x²'nin [0, 3] aralığındaki ortalama değeri nedir?"} **Cevap:** Ortalama = $(1/(3-0))\int_0^3 x^2 dx$. Antitürev $x^3/3$, dolayısıyla $\int_0^3 x^2 dx = [x^3/3]_0^3 = 27/3 = 9$. Ortalama = $9/3 = 3$. (Sezgi: $x^2$ eğrisi 0'dan 9'a çıkar; ortalama 3, yani maksimumun üçte biri.) ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: 'Ortalama = alan / genişlik' birimler açısından neden mantıklı?"} **Cevap:** $\int f\,dx$'in birimi, ($f$'nin birimi) × ($x$'in birimi) = bir "alan" birimidir. Bunu genişliğe ($x$'in birimi) bölünce geriye yalnızca $f$'nin birimi kalır — yani bir **yükseklik/değer** birimi. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: f'nin ortalama değeri neden antitürev F'nin uç noktaları arası eğimine eşittir?"} **Cevap:** Ortalama = $(1/(b-a))\int_a^b f$. FTC ile $\int_a^b f = F(b) - F(a)$, dolayısıyla ortalama = $(F(b) - F(a))/(b-a)$ — bu zaten $F$'nin iki uç nokta arasındaki rise/run eğimi. $f = F'$ olduğundan $f$, $F$'nin her noktadaki teğet eğimidir; bu eğimlerin ortalaması da uç noktalar arası toplam eğime eşittir. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Uniform(a, b) dağılımının beklenen değeri, 'ortalama = alan/genişlik' ile nasıl çıkar?"} **Cevap:** Düzgün dağılımda her nokta eşit ağırlıklı, yani $E[X] = x$'in $[a,b]$'deki ortalama değeri = $(1/(b-a))\int_a^b x\,dx$. $\int_a^b x\,dx = (b^2 - a^2)/2$, dolayısıyla $E[X] = (b^2 - a^2)/(2(b-a)) = (a+b)/2$ — aralığın orta noktası. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler-9} **Egzersiz 1.** $\cos(x)$'in $[0, \pi/2]$ aralığındaki ortalama değerini bul. **Egzersiz 2.** $f(x) = x$'in $[0, L]$ aralığındaki ortalama değerini integralle bul. Sonucun $L/2$ olduğunu göster. **Egzersiz 3.** $\sin(x)$'in $[0, 2\pi]$ aralığındaki ortalama değerini hesapla ve sonucun neden 0 olduğunu **işaretli alanla** açıkla. **Egzersiz 4.** *(Python — sayısal + sembolik)* $\sin$'in $[0, \pi]$ ortalamasını sonlu örnekle yaklaştır. ```{python} import numpy as np import sympy as sp def ortalama_ornek(N): xs = np.linspace(0, np.pi, N, endpoint=False) return np.mean(np.sin(xs)) for N in [4, 16, 64, 256, 1024]: print(f"N={N:5d} ornek_ortalama={ortalama_ornek(N):.5f}") print("2/pi =", 2/np.pi) x_sym = sp.symbols("x") print("kesin (integral/genislik):", sp.integrate(sp.sin(x_sym), (x_sym, 0, sp.pi)) / sp.pi) ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki dersin habercisi)* Bu seride hep **birinci** türevi (eğim, hız) kullandık. Türevin türevi — **ikinci türev** — ne anlatır? Ders 10, yüksek mertebeden türevleri ele alacak. ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-9} | Kavram | Tanım | Grant'ta | |--------|-------|----------| | **Sürekli ortalama** | Sonsuz değer; toplayıp $\infty$'a bölemezsin → integral | 1m43 | | **Sonlu örnekle yaklaş** | Yükseklikleri topla/say; örnek sayısı $\approx$ aralık/$dx$ | 2m17 | | **Ortalama = alan / genişlik** | $(1/(b-a)) \int_a^b f\,dx$ | 5m14 | | **$\int_0^\pi \sin\,dx = 2$** | $\sin$'in $[0,\pi]$ altındaki alan | 6m37 | | **Ortalama $\sin = 2/\pi$** | $\approx 0{,}64$; alan/genişlik | 6m50 | | **Ortalama değer = uç nokta eğimi** | $(F(b) - F(a))/(b - a)$ | 7m19 | | **Ortalama eğim = toplam eğim** | $f = F'$ teğetlerinin ortalaması | 8m13 | | **Sonlu → sonsuz = integral** | İkinci "integral düşün" sezgisi | 11m58 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-9} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Sürekli ortalama = integral / genişlik** → beklenen değer $E[X] = \int x \cdot p(x)dx$; bir aralıkta ortalama kayıp. 2. **Sonlu örnek → integral** → Monte Carlo entegrasyon, Büyük Sayılar Yasası. 3. **Ortalama = uç nokta eğimi** → ortalama değer teoremi, telescoping; bir yörüngede net ilerleme yalnızca uçlara bağlı. 4. **"Sonlu fikri sürekliye genelle = integral"** → olasılık teorisi: beklenti, varyans, entropi, KL diverjansı. 5. **İşaretli alan ortalaması** → net/DC bileşen; pozitif ve negatif katkıların dengesi. 6. **Uniform beklenti $(a+b)/2$** → düzgün dağılım, ağırlık başlatma aralıkları. 7. **Epoch ortalama kaybı** → "integral / genişlik" hesabının doğrudan pratik karşılığı. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Sürekli bir şeyin ortalaması = integral (işaretli alan) bölü genişlik. Ve bu, antitürevin uç noktaları arasındaki eğime eşittir — alanın eğimle ilişkisinin ikinci kanıtı. Sonlu bir "ortalama/toplam" fikrini sonsuz bir continuum'a taşımak istediğinde refleksin "integral" olsun; bu, olasılık ve beklenti teorisinin kapısıdır. :::

10.1 Bu Derste Ne Var?

10.2 Sürekli Bir Değişkenin Ortalaması

10.3 Sonsuz Değeri Ortalamak: Önce Sonlu Örnek

10.4 Ortalama = Alan / Genişlik

10.5 Çözüm: \(-\cos\) Antitürevi ve \(2/\pi\)

10.6 Yeni Bakış: Ortalama Eğim = Uç Noktalar Arası Eğim

10.7 İkinci Sezgi: Sonlu → Sonsuz Genelleme = İntegral

10.8 Bu Dersin Özeti

10.9 Kontrol Soruları

10.10 Egzersizler

10.11 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

10.12 ML Bağlantıları Özeti