12 Poisson Dağılımı

Nadir olaylar limiti; binomdan Poisson’a

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 11: The Poisson distribution (≈43 dk)
Okuma süresi: ≈25 dk

12.1 Bu Derste Ne Var?

Son temel kesikli dağılım — olasılıkla en çok kullanılan.

Poisson($\lambda$): PMF $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$, $E = \lambda$. “Nadir olaylar”.
Poisson paradigması: çok sayıda, küçük olasılıklı, (zayıf) bağımsız olay → sayıları $\approx$ Poisson.
Binom limiti: $n \to \infty$, $p \to 0$, $np = \lambda$ → Binom $\to$ Poisson.

Builder Notu — ML Köprüleri

Poisson = sayım modellemenin temel taşı: bag-of-words / topic model, olay akışları, tıklama sayıları, Poisson regresyon.
Var = ortalama = $\lambda$ (equidispersion); ihlal edilirse → negatif binom (Ders 10).
“$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$” kalıbı = nadir olay olasılıklarını (hash collision, near-duplicate, nadir hata) hızlı kestirmenin yolu.

12.2 Poisson Dağılımı: PMF ve Beklenti

$\lambda > 0$ tek parametreli (rate). Üst sınırı yok:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]

Geçerli mi? Toplam = $e^{-\lambda} \cdot \sum \lambda^k/k! = e^{-\lambda} \cdot e^\lambda = 1$ (Taylor serisi).

Beklenti:

\[ E(X) = \lambda \]

Builder Notu — Poisson Regresyon

Poisson, sayım verisinin varsayılan ilk modeli ve Poisson regresyonun temeli. Kritik özellik: varyansı da $\lambda$ (equidispersion). Gerçek veri çoğu zaman daha dağınıktır (varyans > ortalama); o zaman Poisson yetmez → negatif binom. “Ortalama = varyans mı?” = Poisson mu NB mi?

12.3 Poisson Paradigması ve Binom Limiti

Olaylar $A_1, \ldots, A_n$, $P(A_j) = p_j$. $n$ büyük, $p_j$ küçük, bağımsız ya da zayıf bağımlı → gerçekleşen sayı $\approx \text{Poisson}(\lambda)$, $\lambda = \sum_j p_j$ (doğrusallık).

Binom limiti (ispatla): $X \sim \text{Bin}(n, p)$, $np = \lambda$ sabit, $n \to \infty$:

\[ \binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \longrightarrow \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!} \]

Anahtar: $(1 + x/n)^n \to e^x$ (sürekli bileşik faiz).

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

lam = 2.0
ks = np.arange(0, 10)
poisson_pmf = np.array([math.exp(-lam) * lam**k / math.factorial(k) for k in ks])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 4.5))
ns = [10, 50, 1000]
renkler = ['#fed7aa', '#fb923c', '#A51C30']
w = 0.18
for i, (n, c) in enumerate(zip(ns, renkler)):
    p = lam / n
    bin_pmf = np.array([math.comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in ks])
    ax.bar(ks + (i - 1) * w, bin_pmf, w, color=c, label=f'Bin(n={n}, p={p:.4f})', edgecolor='#9a3412')

ax.bar(ks + 2*w, poisson_pmf, w, color='#1f2937', label=f'Poisson(λ={lam})',
       edgecolor='#000', hatch='///')
ax.set_xlabel('k', fontsize=12)
ax.set_ylabel('P(X = k)', fontsize=12)
ax.set_title(f'Binom → Poisson: n büyüdükçe (np = λ = {lam} sabit) yakınsama', fontsize=12)
ax.legend(loc='upper right', fontsize=10)
ax.set_xticks(ks)
ax.grid(True, axis='y', alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 12.1

Builder Notu — Hesaplanabilirlik Kazancı

“Küçük sayılar yasası” (Poisson limit teoremi) pratik kazanç sağlar: $n$ trilyon, $p$ minik olsa binom katsayıları rahat hesaplanmaz — Poisson($\lambda$) tek parametreyle anında verir.

12.4 Nadir Olay Olasılığı: $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$

Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul → $P(\text{en az bir}) \approx 1 - e^{-\lambda}$. Bağımlılık olsa bile $\lambda = \sum p_j$ formülü çalışır.

Örnek (üçlü doğum günü): $\lambda = \binom{n}{3}/365^2$. 100 kişide $\lambda \approx 1{,}214$ → $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-1{,}214} \approx 0{,}70$.

Builder Notu — Nadir Olay Refleksi

“Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul, $1 - e^{-\lambda}$” = hash collision, near-duplicate, nadir hata olasılıklarını saniyede kestirmenin standart yolu. Zayıf bağımlılık altında bile çalışır.

12.5 Bu Dersin Özeti

Poisson($\lambda$): $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$; üst sınırsız.
Beklenti = $\lambda$, varyans da $\lambda$ (equidispersion).
Poisson paradigması: $n$ büyük, $p_j$ küçük, zayıf bağımlı → Poisson($\sum p_j$).
Binom limiti: $n \to \infty$, $np = \lambda$ → Poisson($\lambda$).
$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$.

Tek bir cümle

Poisson($\lambda$) “çok sayıda nadir, (zayıf) bağımsız olayın sayısı” dağılımıdır (binomun limit hâli); ortalama ve varyans $\lambda$, $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ ile nadir olay olasılıklarını saniyede kestirirsin.

12.6 Kontrol Soruları

Soru 1: Saatte 3 çağrı (Poisson). Hiç çağrı yok olasılığı?

Cevap: $P(X = 0) = e^{-3} \approx \mathbf{0{,}0498}$.

Soru 2: 100 kişide en az bir ÜÇLÜ doğum günü eşleşmesi?

Cevap: $\lambda = \binom{100}{3}/365^2 \approx 1{,}214$. $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-1{,}214} \approx \mathbf{0{,}70}$.

Soru 3: (Builder) Hash: 1M anahtar, 10M kova. Belirli bir kova boş?

Cevap: $\lambda = 0{,}1$ → $P(0) = e^{-0{,}1} \approx \mathbf{0{,}905}$.

Soru 4: (Builder) Her istek 1/10000 nadir hata, günde 50k istek. En az bir hata?

Cevap: $\lambda = 5$ → $P(\ge 1) = 1 - e^{-5} \approx \mathbf{0{,}993}$.

12.7 Egzersizler

Egzersiz 1. Her 100 sayfada 2 hata. 50 sayfada hatasız olasılığı?

Egzersiz 2. 1000 kişi, belirli güne doğanların dağılımı + beklenti?

Egzersiz 3. 1000 oyun, $p = 1/500$. Poisson yaklaşımıyla $P(X = 0, 1, 2)$.

Egzersiz 4. (Python — Binom vs Poisson)

from scipy.stats import binom, poisson

n, p = 1000, 0.002
lam = n * p
for k in range(6):
    b = binom.pmf(k, n, p)
    po = poisson.pmf(k, lam)
    print(f"k={k}: binom={b:.5f}  poisson={po:.5f}  fark={abs(b-po):.6f}")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) Sürekli RV: bir aralıktaki her reel sayıyı alabilen değişken. $P(X = x)$ ne olur? Ders 12: PDF.

12.8 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 12: Kesikli vs Sürekli, Uniform — PDF, integral, ilk sürekli dağılım.

Ders 12 öncesi yapılacak

Egzersizleri çöz — özellikle 4.
“$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$” refleksini pekiştir.
Ana cümle: “Poisson, çok sayıda nadir olayın sayısıdır…”

12.9 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Poisson PMF	$e^{-\lambda}\lambda^k/k!$	7m08
Poisson E	$\lambda$ (varyans da)	12m04
Poisson kullanımı	Çok fırsat, nadir olay	12m34
Paradigma	$\approx$ Poisson($\sum p_j$), zayıf bağımlıda	18m43
Binom → Poisson	$n \to \infty, np = \lambda$	22m59
$(1+x/n)^n \to e^x$	Limit anahtarı	29m03
$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$	Nadir olay refleksi	42m01
Üçlü doğum günü	$\lambda = \binom{n}{3}/365^2$	33m46

12.10 ML Bağlantıları Özeti

6 köprü

Poisson → sayım modelleri, Poisson regresyon, topic model.
Var = ortalama = $\lambda$ → overdispersion testi; ihlal → NB.
Paradigma → nadir olay sayımı, zayıf bağımlılık toleransı.
Binom → Poisson → küçük sayılar yasası; büyük $n$’de hesaplanabilirlik.
$1 - e^{-\lambda}$ → hash collision, near-duplicate, nadir hata.
Sympathetic magic → model/örnek ≠ dağılım.

Tek bir şey alıp gideceksen

Poisson($\lambda$) “çok sayıda nadir olayın sayısı”dır. Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul, $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ ile nadir olay olasılıklarını saniyede kestir.

--- title: "Poisson Dağılımı" subtitle: "Nadir olaylar limiti; binomdan Poisson'a" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 11: The Poisson distribution](https://www.youtube.com/watch?v=TD1N4hxqMzY) (≈43 dk) - **Okuma süresi:** ≈25 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Son temel kesikli dağılım — olasılıkla en çok kullanılan. 1. **Poisson($\lambda$):** PMF $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$, $E = \lambda$. "Nadir olaylar". 2. **Poisson paradigması:** çok sayıda, küçük olasılıklı, (zayıf) bağımsız olay → sayıları $\approx$ Poisson. 3. **Binom limiti:** $n \to \infty$, $p \to 0$, $np = \lambda$ → Binom $\to$ Poisson. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Poisson** = sayım modellemenin temel taşı: **bag-of-words / topic model**, olay akışları, tıklama sayıları, **Poisson regresyon**. - **Var = ortalama = $\lambda$** (equidispersion); ihlal edilirse → **negatif binom** (Ders 10). - **"$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$"** kalıbı = nadir olay olasılıklarını (hash collision, near-duplicate, nadir hata) hızlı kestirmenin yolu. ::: ## Poisson Dağılımı: PMF ve Beklenti {#sec-poisson-pmf} $\lambda > 0$ tek parametreli (rate). Üst sınırı yok: $$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots $$ Geçerli mi? Toplam = $e^{-\lambda} \cdot \sum \lambda^k/k! = e^{-\lambda} \cdot e^\lambda = 1$ (Taylor serisi). **Beklenti:** $$ E(X) = \lambda $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Poisson Regresyon"} Poisson, **sayım verisinin** varsayılan ilk modeli ve **Poisson regresyonun** temeli. Kritik özellik: varyansı da $\lambda$ (equidispersion). Gerçek veri çoğu zaman daha **dağınıktır** (varyans > ortalama); o zaman Poisson yetmez → **negatif binom**. "Ortalama = varyans mı?" = Poisson mu NB mi? ::: ## Poisson Paradigması ve Binom Limiti {#sec-paradigma} Olaylar $A_1, \ldots, A_n$, $P(A_j) = p_j$. $n$ büyük, $p_j$ küçük, **bağımsız ya da zayıf bağımlı** → gerçekleşen sayı $\approx \text{Poisson}(\lambda)$, $\lambda = \sum_j p_j$ (doğrusallık). **Binom limiti** (ispatla): $X \sim \text{Bin}(n, p)$, $np = \lambda$ sabit, $n \to \infty$: $$ \binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \longrightarrow \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!} $$ Anahtar: $(1 + x/n)^n \to e^x$ (sürekli bileşik faiz). ```{python} #| label: fig-binom-poisson #| fig-cap: "Binom → Poisson yakınsaması. lambda=2 sabit, n=10/50/1000. n büyüdükçe binom PMF Poisson(2)'ye yaklaşır. Pratik kazanç: trilyon n'de bile Poisson tek parametreyle hesaplanır." #| fig-width: 11 #| fig-height: 4.5 import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt lam = 2.0 ks = np.arange(0, 10) poisson_pmf = np.array([math.exp(-lam) * lam**k / math.factorial(k) for k in ks]) fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 4.5)) ns = [10, 50, 1000] renkler = ['#fed7aa', '#fb923c', '#A51C30'] w = 0.18 for i, (n, c) in enumerate(zip(ns, renkler)): p = lam / n bin_pmf = np.array([math.comb(n, k) * p**k * (1-p)**(n-k) for k in ks]) ax.bar(ks + (i - 1) * w, bin_pmf, w, color=c, label=f'Bin(n={n}, p={p:.4f})', edgecolor='#9a3412') ax.bar(ks + 2*w, poisson_pmf, w, color='#1f2937', label=f'Poisson(λ={lam})', edgecolor='#000', hatch='///') ax.set_xlabel('k', fontsize=12) ax.set_ylabel('P(X = k)', fontsize=12) ax.set_title(f'Binom → Poisson: n büyüdükçe (np = λ = {lam} sabit) yakınsama', fontsize=12) ax.legend(loc='upper right', fontsize=10) ax.set_xticks(ks) ax.grid(True, axis='y', alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-important title="Builder Notu — Hesaplanabilirlik Kazancı"} "Küçük sayılar yasası" (Poisson limit teoremi) pratik kazanç sağlar: $n$ trilyon, $p$ minik olsa binom katsayıları rahat hesaplanmaz — Poisson($\lambda$) tek parametreyle anında verir. ::: ## Nadir Olay Olasılığı: $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ {#sec-en-az-bir} Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul → $P(\text{en az bir}) \approx 1 - e^{-\lambda}$. Bağımlılık olsa bile $\lambda = \sum p_j$ formülü çalışır. **Örnek (üçlü doğum günü):** $\lambda = \binom{n}{3}/365^2$. 100 kişide $\lambda \approx 1{,}214$ → $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-1{,}214} \approx 0{,}70$. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Nadir Olay Refleksi"} "Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul, $1 - e^{-\lambda}$" = **hash collision**, **near-duplicate**, **nadir hata** olasılıklarını saniyede kestirmenin standart yolu. Zayıf bağımlılık altında bile çalışır. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Poisson($\lambda$):** $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$; üst sınırsız. 2. **Beklenti = $\lambda$**, varyans da $\lambda$ (equidispersion). 3. **Poisson paradigması:** $n$ büyük, $p_j$ küçük, zayıf bağımlı → Poisson($\sum p_j$). 4. **Binom limiti:** $n \to \infty$, $np = \lambda$ → Poisson($\lambda$). 5. $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Poisson($\lambda$) "**çok sayıda nadir, (zayıf) bağımsız olayın sayısı**" dağılımıdır (binomun limit hâli); ortalama ve varyans $\lambda$, $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ ile nadir olay olasılıklarını saniyede kestirirsin. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Saatte 3 çağrı (Poisson). Hiç çağrı yok olasılığı?"} **Cevap:** $P(X = 0) = e^{-3} \approx \mathbf{0{,}0498}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: 100 kişide en az bir ÜÇLÜ doğum günü eşleşmesi?"} **Cevap:** $\lambda = \binom{100}{3}/365^2 \approx 1{,}214$. $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-1{,}214} \approx \mathbf{0{,}70}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: (Builder) Hash: 1M anahtar, 10M kova. Belirli bir kova boş?"} **Cevap:** $\lambda = 0{,}1$ → $P(0) = e^{-0{,}1} \approx \mathbf{0{,}905}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Her istek 1/10000 nadir hata, günde 50k istek. En az bir hata?"} **Cevap:** $\lambda = 5$ → $P(\ge 1) = 1 - e^{-5} \approx \mathbf{0{,}993}$. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** Her 100 sayfada 2 hata. 50 sayfada hatasız olasılığı? **Egzersiz 2.** 1000 kişi, belirli güne doğanların dağılımı + beklenti? **Egzersiz 3.** 1000 oyun, $p = 1/500$. Poisson yaklaşımıyla $P(X = 0, 1, 2)$. **Egzersiz 4.** *(Python — Binom vs Poisson)* ```{python} #| label: ex-binom-poisson #| code-fold: false from scipy.stats import binom, poisson n, p = 1000, 0.002 lam = n * p for k in range(6): b = binom.pmf(k, n, p) po = poisson.pmf(k, lam) print(f"k={k}: binom={b:.5f} poisson={po:.5f} fark={abs(b-po):.6f}") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* Sürekli RV: bir aralıktaki **her** reel sayıyı alabilen değişken. $P(X = x)$ ne olur? Ders 12: **PDF**. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 12: Kesikli vs Sürekli, Uniform** — PDF, integral, ilk sürekli dağılım. ::: {.callout-warning title="Ders 12 öncesi yapılacak"} - Egzersizleri çöz — özellikle 4. - "$P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$" refleksini pekiştir. - Ana cümle: *"Poisson, çok sayıda nadir olayın sayısıdır…"* ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Poisson PMF** | $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ | 7m08 | | **Poisson E** | $\lambda$ (varyans da) | 12m04 | | **Poisson kullanımı** | Çok fırsat, nadir olay | 12m34 | | **Paradigma** | $\approx$ Poisson($\sum p_j$), zayıf bağımlıda | 18m43 | | **Binom → Poisson** | $n \to \infty, np = \lambda$ | 22m59 | | $(1+x/n)^n \to e^x$ | Limit anahtarı | 29m03 | | $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ | Nadir olay refleksi | 42m01 | | **Üçlü doğum günü** | $\lambda = \binom{n}{3}/365^2$ | 33m46 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="6 köprü"} 1. **Poisson** → sayım modelleri, Poisson regresyon, topic model. 2. **Var = ortalama = $\lambda$** → overdispersion testi; ihlal → NB. 3. **Paradigma** → nadir olay sayımı, zayıf bağımlılık toleransı. 4. **Binom → Poisson** → küçük sayılar yasası; büyük $n$'de hesaplanabilirlik. 5. **$1 - e^{-\lambda}$** → hash collision, near-duplicate, nadir hata. 6. **Sympathetic magic** → model/örnek ≠ dağılım. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Poisson($\lambda$) "çok sayıda nadir olayın sayısı"dır. Beklenen sayıyı doğrusallıkla bul, $P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}$ ile nadir olay olasılıklarını saniyede kestir. :::

12.1 Bu Derste Ne Var?

12.2 Poisson Dağılımı: PMF ve Beklenti

12.3 Poisson Paradigması ve Binom Limiti

12.4 Nadir Olay Olasılığı: \(P(\ge 1) \approx 1 - e^{-\lambda}\)

12.5 Bu Dersin Özeti

12.6 Kontrol Soruları

12.7 Egzersizler

12.8 Sonraki Ders İçin Hazırlık

12.9 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

12.10 ML Bağlantıları Özeti