25 Gamma Dağılımı ve Poisson Süreci

Üstel’in genellemesi, n. olaya kadar süre

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 24: Gamma distribution and Poisson process (≈49 dk)
Okuma süresi: ≈34 dk

25.1 Bu Derste Ne Var?

Gamma fonksiyonu: $\Gamma(n) = (n-1)!$, $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.
Gamma($a, \lambda$): Üstel’in genellemesi.
Poisson süreci: iid Üstel toplamı = Gamma.
Momentler: $E = a/\lambda$, Var $= a/\lambda^2$.

“continuous time analog of negative binomial.” — Blitzstein, 31:31

Builder Notu — ML Köprüleri

iid Üstel toplamı = Gamma → Erlang (kuyruk teorisi M/Er/1, n-aşamalı servis).
Gamma = conjugate prior Poisson $\lambda$ ve Normal precision (1/σ²) için.
Poisson süreci → olay varışları, nokta süreçleri.
$\chi^2$ = Gamma’nın özel hâli (Ders 30).
Stirling + log-Gamma → log-faktoriyel, softmax/Dirichlet sabitleri (lgamma).

25.2 Gamma Fonksiyonu

\[ \Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} dx, \quad a > 0 \]

Özellikler:

\[ \Gamma(n) = (n-1)!, \quad \Gamma(a+1) = a\Gamma(a), \quad \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \]

Stirling formülü:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \]

25.3 Gamma Dağılımı

\[ X \sim \text{Gamma}(a, \lambda): \quad f(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x}, \; x > 0 \]

Özel: Gamma(1, $\lambda$) = Üstel($\lambda$).

25.4 Poisson Süreci → Gamma

$N_t \sim$ Pois($\lambda t$). Inter-arrival iid Üstel($\lambda$). $n$. olaya kadar süre:

\[ T_n = \sum_{j=1}^n X_j, \quad X_j \sim \text{Exp}(\lambda) \;\Rightarrow\; T_n \sim \text{Gamma}(n, \lambda) \]

MGF ispatı: $M_{X_j}(t) = 1/(1-t)$ → $M_{T_n}(t) = (1-t)^{-n}$ = Gamma($n, 1$) MGF.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

x = np.linspace(0, 15, 400)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
for a, c in [(1, '#A51C30'), (2, '#DD6B20'), (4, '#1f2937'), (8, '#2C5282'), (16, '#6B46C1')]:
    ax.plot(x, gamma.pdf(x, a, scale=1), linewidth=2.2, color=c,
            label=f'Gamma({a}, 1): E={a}, Var={a}')
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12)
ax.set_title('Gamma(a, 1) — Üstel\'in genellemesi; a büyüdükçe Normal\'e yaklaşır',
             fontsize=12)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 25.1

Builder Notu — Erlang ve Kuyruk Teorisi

Erlang dağılımı (tam sayı $a$ için Gamma): n-aşamalı servisin toplam süresi. M/Er/1 kuyrukları, telefon trafiği, güvenilirlik analizi. Aşamalara bölmek varyansı $\frac{1}{n}$ kadar küçültür → daha öngörülebilir servis.

25.5 Momentler

\[ E(X^c) = \frac{\Gamma(a + c)}{\Gamma(a)} \]

$c = 1$: $E(X) = a$ (Gamma(a,1)). $c = 2$: $E(X^2) = a(a+1)$, Var $= a$.

Genel Gamma($a, \lambda$):

\[ E(X) = \frac{a}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{a}{\lambda^2} \]

25.6 Bu Dersin Özeti

$\Gamma(a)$: $(n-1)!$, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, Stirling.
Gamma($a, \lambda$): Üstel genelleme.
Poisson süreci: $T_n \sim$ Gamma($n, \lambda$).
MGF: $(1-t/\lambda)^{-a}$.
Momentler: $a/\lambda$, $a/\lambda^2$.

Tek bir cümle

Gamma($a, \lambda$) Üstel’in genellemesi ve Poisson sürecinde n. olaya kadar süre. $\Gamma(a)$ faktöriyeli reel sayılara taşır, momentleri kapalı form ($\Gamma(a+c)/\Gamma(a)$). Erlang, $\chi^2$, Bayesçi conjugate prior’ların temeli.

25.7 Kontrol Soruları

Soru 1: Γ(5)? Γ(7/2)?

Cevap: $4! = 24$; $\Gamma(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)\sqrt{\pi} = (15/8)\sqrt{\pi} \approx 3{,}32$.

Soru 2: λ=2/saat. T₃?

Cevap: Gamma(3, 2). $E = 1{,}5$ saat, Var $= 0{,}75$.

Soru 3: E(1/X), X ~ Gamma(a, 1)?

Cevap: $\Gamma(a-1)/\Gamma(a) = 1/(a-1)$. $a > 1$ gerekli.

Soru 4: (Builder) 3 aşamalı servis, Exp(1) her aşama. Toplam?

Cevap: Gamma(3, 1) = Erlang(3). $E = 3$ sn, Var $= 3$. Variance/mean² = $1/3$ < 1 (Üstel). Aşamalara bölmek daha öngörülebilir servis.

25.8 Egzersizler

Egzersiz 1. $\Gamma(6), \Gamma(9/2)$. $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$ parçalı integrasyonla.

Egzersiz 2. Web $\lambda = 10/$dk. (a) 5. isteğe süre. (b) İlk 2 dakikadaki sayı. (c) Inter-arrival.

Egzersiz 3. $E(X^c)$ genel Gamma($a, \lambda$).

Egzersiz 4. (Python — Gamma)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N = 500_000

# 4 bağımsız Exp(2) toplamı ~ Gamma(4, 2)?
lam, n = 2.0, 4
T = rng.exponential(scale=1/lam, size=(n, N)).sum(axis=0)
print(f"T mean ≈ {T.mean():.3f}  teorik n/λ = {n/lam}")
print(f"T var ≈ {T.var():.3f}   teorik n/λ² = {n/lam**2}")

# Gamma(a, 1) ortalama=a, varyans=a
a = 3.5
G = rng.gamma(a, 1.0, N)
print(f"Gamma({a},1): mean={G.mean():.3f}, var={G.var():.3f} (teori {a})")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) $\max(U_1, \ldots, U_n)$ CDF = $x^n$, PDF $= nx^{n-1}$ → Beta($n, 1$). $\min \sim$ Beta($1, n$).

25.9 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 25: Sıra İstatistikleri ve Koşullu Beklenti — min, max, medyan; Beta bağlantısı.

Ders 25 öncesi yapılacak

Egzersiz 5 (min/max Beta) çöz.
Beta’yı + CDF→PDF hatırla.

25.10 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Γ(a)	$\int x^{a-1} e^{-x} dx$; $\Gamma(n) = (n-1)!$	8m44
Γ(1/2)	$\sqrt{\pi}$	14m41
Stirling	$n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$	5m27
Gamma($a, \lambda$)	Üstel genelleme	20m08
Poisson süreci	$T_n \sim$ Gamma($n, \lambda$)	30m50
Gamma MGF	$(1-t/\lambda)^{-a}$	35m35
Momentler	$\Gamma(a+c)/\Gamma(a)$; $E = a/\lambda$, Var $= a/\lambda^2$	45m32

25.11 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Üstel toplamı = Gamma → Erlang, kuyruk teorisi.
Gamma conjugate prior → Poisson $\lambda$, Normal precision.
Poisson süreci → olay varışları.
Stirling / lgamma → softmax/Dirichlet, entropi.
Gamma toplanabilirliği → pseudocount toplama.
$\chi^2$ = yarım-tam parametre Gamma (Ders 30).
2-parametre esnekliği → overdispersion modelleme.

Tek bir şey alıp gideceksen

Gamma = Üstel genellemesi = Poisson sürecinde n. olaya süre. Erlang, $\chi^2$, Bayesçi conjugate prior’ların temeli.

--- title: "Gamma Dağılımı ve Poisson Süreci" subtitle: "Üstel'in genellemesi, n. olaya kadar süre" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 24: Gamma distribution and Poisson process](https://www.youtube.com/watch?v=Qjeswpm0cWY) (≈49 dk) - **Okuma süresi:** ≈34 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Gamma fonksiyonu:** $\Gamma(n) = (n-1)!$, $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. 2. **Gamma($a, \lambda$):** Üstel'in genellemesi. 3. **Poisson süreci:** iid Üstel toplamı = Gamma. 4. **Momentler:** $E = a/\lambda$, Var $= a/\lambda^2$. > *"continuous time analog of negative binomial."* — Blitzstein, 31:31 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **iid Üstel toplamı = Gamma** → **Erlang** (kuyruk teorisi M/Er/1, n-aşamalı servis). - **Gamma = conjugate prior** Poisson $\lambda$ ve Normal precision (1/σ²) için. - **Poisson süreci** → olay varışları, nokta süreçleri. - **$\chi^2$ = Gamma'nın özel hâli** (Ders 30). - **Stirling + log-Gamma** → log-faktoriyel, softmax/Dirichlet sabitleri (`lgamma`). ::: ## Gamma Fonksiyonu {#sec-gamma-fonk} $$ \Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} dx, \quad a > 0 $$ **Özellikler:** $$ \Gamma(n) = (n-1)!, \quad \Gamma(a+1) = a\Gamma(a), \quad \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} $$ **Stirling formülü:** $$ n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$ ## Gamma Dağılımı {#sec-gamma-dist} $$ X \sim \text{Gamma}(a, \lambda): \quad f(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x}, \; x > 0 $$ Özel: **Gamma(1, $\lambda$) = Üstel($\lambda$)**. ## Poisson Süreci → Gamma {#sec-poisson-gamma} $N_t \sim$ Pois($\lambda t$). Inter-arrival iid Üstel($\lambda$). $n$. olaya kadar süre: $$ T_n = \sum_{j=1}^n X_j, \quad X_j \sim \text{Exp}(\lambda) \;\Rightarrow\; T_n \sim \text{Gamma}(n, \lambda) $$ **MGF ispatı:** $M_{X_j}(t) = 1/(1-t)$ → $M_{T_n}(t) = (1-t)^{-n}$ = Gamma($n, 1$) MGF. ```{python} #| label: fig-gamma-poisson #| fig-cap: "Gamma(a, λ=1) PDF. a=1 Üstel; a büyüdükçe tepe sağa kayar ve şekil simetrikleşir (CLT'ye doğru). n bağımsız Üstel toplamı Gamma'nın hikâyesidir." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import gamma x = np.linspace(0, 15, 400) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) for a, c in [(1, '#A51C30'), (2, '#DD6B20'), (4, '#1f2937'), (8, '#2C5282'), (16, '#6B46C1')]: ax.plot(x, gamma.pdf(x, a, scale=1), linewidth=2.2, color=c, label=f'Gamma({a}, 1): E={a}, Var={a}') ax.set_xlabel('x', fontsize=12) ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12) ax.set_title('Gamma(a, 1) — Üstel\'in genellemesi; a büyüdükçe Normal\'e yaklaşır', fontsize=12) ax.legend(fontsize=10) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-important title="Builder Notu — Erlang ve Kuyruk Teorisi"} **Erlang dağılımı** (tam sayı $a$ için Gamma): n-aşamalı servisin toplam süresi. **M/Er/1 kuyrukları**, **telefon trafiği**, **güvenilirlik analizi**. Aşamalara bölmek varyansı $\frac{1}{n}$ kadar küçültür → daha öngörülebilir servis. ::: ## Momentler {#sec-gamma-moment} $$ E(X^c) = \frac{\Gamma(a + c)}{\Gamma(a)} $$ $c = 1$: $E(X) = a$ (Gamma(a,1)). $c = 2$: $E(X^2) = a(a+1)$, Var $= a$. **Genel Gamma($a, \lambda$):** $$ E(X) = \frac{a}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{a}{\lambda^2} $$ ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **$\Gamma(a)$:** $(n-1)!$, $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$, Stirling. 2. **Gamma($a, \lambda$):** Üstel genelleme. 3. **Poisson süreci:** $T_n \sim$ Gamma($n, \lambda$). 4. **MGF:** $(1-t/\lambda)^{-a}$. 5. **Momentler:** $a/\lambda$, $a/\lambda^2$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Gamma($a, \lambda$)** Üstel'in genellemesi ve Poisson sürecinde **n. olaya kadar süre**. $\Gamma(a)$ faktöriyeli reel sayılara taşır, momentleri kapalı form ($\Gamma(a+c)/\Gamma(a)$). **Erlang, $\chi^2$, Bayesçi conjugate prior**'ların temeli. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Γ(5)? Γ(7/2)?"} **Cevap:** $4! = 24$; $\Gamma(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)\sqrt{\pi} = (15/8)\sqrt{\pi} \approx 3{,}32$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: λ=2/saat. T₃?"} **Cevap:** Gamma(3, 2). $E = 1{,}5$ saat, Var $= 0{,}75$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: E(1/X), X ~ Gamma(a, 1)?"} **Cevap:** $\Gamma(a-1)/\Gamma(a) = 1/(a-1)$. $a > 1$ gerekli. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) 3 aşamalı servis, Exp(1) her aşama. Toplam?"} **Cevap:** **Gamma(3, 1) = Erlang(3)**. $E = 3$ sn, Var $= 3$. Variance/mean² = $1/3$ < 1 (Üstel). Aşamalara bölmek **daha öngörülebilir** servis. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $\Gamma(6), \Gamma(9/2)$. $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$ parçalı integrasyonla. **Egzersiz 2.** Web $\lambda = 10/$dk. (a) 5. isteğe süre. (b) İlk 2 dakikadaki sayı. (c) Inter-arrival. **Egzersiz 3.** $E(X^c)$ genel Gamma($a, \lambda$). **Egzersiz 4.** *(Python — Gamma)* ```{python} #| label: ex-gamma #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) N = 500_000 # 4 bağımsız Exp(2) toplamı ~ Gamma(4, 2)? lam, n = 2.0, 4 T = rng.exponential(scale=1/lam, size=(n, N)).sum(axis=0) print(f"T mean ≈ {T.mean():.3f} teorik n/λ = {n/lam}") print(f"T var ≈ {T.var():.3f} teorik n/λ² = {n/lam**2}") # Gamma(a, 1) ortalama=a, varyans=a a = 3.5 G = rng.gamma(a, 1.0, N) print(f"Gamma({a},1): mean={G.mean():.3f}, var={G.var():.3f} (teori {a})") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* $\max(U_1, \ldots, U_n)$ CDF = $x^n$, PDF $= nx^{n-1}$ → Beta($n, 1$). $\min \sim$ Beta($1, n$). ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 25: Sıra İstatistikleri ve Koşullu Beklenti** — min, max, medyan; Beta bağlantısı. ::: {.callout-warning title="Ders 25 öncesi yapılacak"} - Egzersiz 5 (min/max Beta) çöz. - Beta'yı + CDF→PDF hatırla. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Γ(a)** | $\int x^{a-1} e^{-x} dx$; $\Gamma(n) = (n-1)!$ | 8m44 | | **Γ(1/2)** | $\sqrt{\pi}$ | 14m41 | | **Stirling** | $n! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ | 5m27 | | **Gamma($a, \lambda$)** | Üstel genelleme | 20m08 | | **Poisson süreci** | $T_n \sim$ Gamma($n, \lambda$) | 30m50 | | **Gamma MGF** | $(1-t/\lambda)^{-a}$ | 35m35 | | **Momentler** | $\Gamma(a+c)/\Gamma(a)$; $E = a/\lambda$, Var $= a/\lambda^2$ | 45m32 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Üstel toplamı = Gamma** → **Erlang**, kuyruk teorisi. 2. **Gamma conjugate prior** → Poisson $\lambda$, Normal precision. 3. **Poisson süreci** → olay varışları. 4. **Stirling / lgamma** → softmax/Dirichlet, entropi. 5. **Gamma toplanabilirliği** → pseudocount toplama. 6. **$\chi^2$** = yarım-tam parametre Gamma (Ders 30). 7. **2-parametre esnekliği** → overdispersion modelleme. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Gamma** = Üstel genellemesi = Poisson sürecinde n. olaya süre. **Erlang, $\chi^2$, Bayesçi conjugate prior**'ların temeli. :::