16 Ara Sınav İncelemesi

Kupon toplayıcı, logit, simetri, Poisson→Üstel

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 15: Midterm Review (≈38 dk)
Okuma süresi: ≈30 dk
Not: Yeni teori yok — Ders 1-14’ün araçlarını 6 problemde canlandırıyor.

16.1 Bu Derste Ne Var?

Altı problem:

Kupon toplayıcı ($n H_n \approx n \ln n$).
Uniform’un evrenselliği — geometrik sezgi.
Lojistik dağılım — logit ile örnekleme.
Simetri + doğrusallık — $E(X/(X+Y+Z)) = 1/3$.
LOTUS tuzağı — örüntü, isim değil.
Story proof + Poisson → Üstel — sürekli bekleme.

Builder Notu — ML Köprüleri

Kupon toplayıcı ($n \ln n$) → keşif/kapsama, örneklem karmaşıklığı.
Logit / sigmoid → logistic regression, sınıflandırma başlığı.
Simetri (exchangeability) → i.i.d.’de eşit katkı (Shapley benzeri).
Poisson → Üstel → bekleme süreleri, kuyruk teorisi, Poisson süreci.

16.2 Kupon Toplayıcı

$n$ farklı kupon. Tam seti toplama süresi $T$. Parçala:

\[ T = T_1 + T_2 + \ldots + T_n \]

$T_j$ = $(j-1)$. yeni’den $j$. yeni’ye kadar. $T_j - 1 \sim \text{Geom}((n-j+1)/n)$, $E(T_j) = n/(n-j+1)$:

\[ E(T) = \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{n-j+1} = n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = n H_n \approx n \ln n \]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)

def collect(n):
    seen, t = set(), 0
    while len(seen) < n:
        seen.add(rng.integers(n))
        t += 1
    return t

ns = [5, 10, 20, 30, 50, 75, 100]
teorik = [n * sum(1/k for k in range(1, n+1)) for n in ns]
sim = [np.mean([collect(n) for _ in range(2000)]) for n in ns]
n_lnn = [n * np.log(n) for n in ns]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.plot(ns, teorik, 'o-', color='#A51C30', linewidth=2.5, markersize=10, label='$n H_n$ (teori)')
ax.plot(ns, sim, 's--', color='#DD6B20', linewidth=2, markersize=8, label='Simülasyon')
ax.plot(ns, n_lnn, '^:', color='#2C5282', linewidth=2, markersize=8, label='$n \\ln n$ (asimptotik)')
ax.set_xlabel('n (kupon sayısı)', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Beklenen toplama süresi', fontsize=12)
ax.set_title('Kupon toplayıcı: $n H_n \\approx n \\ln n$ büyümesi',
             fontsize=12)
ax.legend(loc='upper left', fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 16.1

Builder Notu — Keşif Maliyeti

Kupon toplayıcı ML/CS’de örneklem karmaşıklığının klasik modeli: tüm $n$ şeyi görmek herhangi birini görmekten logaritmik faktör kadar pahalı. RL keşfi, distinct-eleman tahmini, cache/streaming algoritmaları hep bu $n \ln n$ ölçeğinde.

16.3 Uniform’un Evrenselliği: Geometrik Sezgi

$P(F(X) \le c) = P(X \le x_c) = F(x_c) = c$. Çünkü $F$ artan, olay $F(X) \le c$ ile $X \le x_c$ aynı.

Bu, kalibrasyon eğrileri ve PIT testlerinin temeli.

16.4 Lojistik Dağılım ve Logit

CDF: $F(x) = e^x / (1 + e^x)$ = sigmoid. $F^{-1}$:

\[ u = \frac{e^x}{1+e^x} \;\Rightarrow\; x = \log\frac{u}{1-u} = \text{logit}(u) \]

$U \sim \text{Uniform}(0,1)$, $X = \log(U/(1-U)) \sim \text{Logistic}$.

Builder Notu — Logistic Regression

Lojistik CDF sigmoid’in ta kendisi; tersi logit. Logistic regression log-odds’u doğrusal modeller, sigmoid olasılığı verir. Tüm ikili sınıflandırma başlıkları bu dağılımdan gelir.

16.5 Simetri + Doğrusallık

$X, Y, Z$ iid pozitif:

\[ 3 E\left(\frac{X}{X+Y+Z}\right) = E\left(\frac{X+Y+Z}{X+Y+Z}\right) = 1 \;\Rightarrow\; E\left(\frac{X}{X+Y+Z}\right) = \frac{1}{3} \]

Hiç integral yok — sadece simetri + doğrusallık.

Builder Notu — Exchangeability

“Simetriyle topla, doğrusallıkla çöz” tekniği exchangeable değişkenlerde her yerde: dikkat ağırlıklarında, kaynak paylaşımda, Shapley değeri atıflarında hesabı kısaltır.

16.6 LOTUS Tuzağı: İki Yol, Bir Cevap

$U \sim$ Uniform(0,1), $X = U^2$, $Y = e^X$.

Yol 1 (X üzerinden): $f_X(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$, $E(Y) = \int_0^1 e^x f_X(x) dx$.

Yol 2 (U üzerinden, doğrudan): $Y = e^{U^2}$, $E(Y) = \int_0^1 e^{u^2} du$.

İkisi de doğru, aynı sayı. Önemli olan örüntü, isim değil.

Builder Notu — Monte Carlo Sadeleştirme

Yol 2 = Monte Carlo’nun doğal biçimi: $E[g(U)]$’yu en alttaki basit değişken üzerinden örnekle, ara dağılımları (X) bulmaya gerek yok. Reparameterization zincirini sadeleştirir.

16.7 Story Proof: n − X ~ Bin(n, q)

$X \sim \text{Bin}(n, p)$. $n - X$ ne?

Story: $X$ = başarı sayısı → $n - X$ = başarısızlık sayısı. Başarı/başarısızlık etiketlerini değiştir, başarısızlık olasılığı $q$:

\[ n - X \sim \text{Bin}(n, q), \quad q = 1 - p \]

Hiç hesap yok.

16.8 Poisson → Üstel: İlk Bekleme Süresi

$N_t \sim \text{Pois}(\lambda t)$ = $[0, t]$ aralığındaki olay sayısı. $T$ = ilk olayın zamanı.

\[ P(T > t) = P(N_t = 0) = e^{-\lambda t} \]

\[ F(t) = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t > 0 \]

İşte üstel (exponential) dağılım — Poisson sayımından (kesikli) sürekli bekleme süresi doğdu.

Builder Notu — Poisson Süreci

Poisson sürecinin kalbi: olay sayısı Poisson, aralarındaki bekleme Üstel. Olay-tabanlı simülasyon, kuyruk teorisi (istek varışları), sağkalım analizi, “memoryless” varsayımlı modeller.

16.9 Üç Nesneyi Karıştırma

Dağılım (plan) — “ev planı”.
Rastgele değişken — “rastgele ev”.
Sabit (E(X) gibi) — “belirli ev”.

Kodda: Normal(0,1) (dist nesnesi) ≠ dist.sample() (tensor) ≠ dist.mean (skaler).

16.10 Bu Dersin Özeti

Kupon toplayıcı: $E(T) = n H_n \approx n \ln n$; parçala + doğrusallık.
Universality sezgi: $P(F(X) \le c) = c$.
Lojistik: $F^{-1}(u) = \text{logit}(u) = \log(u/(1-u))$.
Simetri: iid → $E(X/(X+Y+Z)) = 1/3$.
LOTUS: $E(g(U))$ doğrudan U üzerinden.
Story proof: $n - X \sim \text{Bin}(n, q)$.
Poisson → Üstel: $T \sim \text{Exp}(\lambda)$.

Tek bir cümle

Zor bir problemi araçlarının tanıdığı parçalara böl — kupon toplayıcıyı geometriklere, simetrik oranı eşit terimlere, sürekli bekleme süresini Poisson sayım olayına. Ezber formül değil, yapıyı görmek kazandırır.

16.11 Kontrol Soruları

Soru 1: Zar atışı, 6 yüzün hepsini görmek?

Cevap: $E(T) = 6 H_6 = 6 \cdot 49/20 = \mathbf{14{,}7}$ atış.

Soru 2: F(x) = 1 - e^(-x²). U → X?

Cevap: $X = \sqrt{-\ln(1-U)}$.

Soru 3: X, Y, Z, W iid pozitif. (a) E(X/Σ)? (b) E((X+Y)/Σ)?

Cevap: (a) $\mathbf{1/4}$. (b) $\mathbf{1/2}$.

Soru 4: (Builder) λ=3/saat Poisson. (a) İlk 30 dk hiç? (b) İlk e-postaya kadar E?

Cevap: (a) $e^{-1{,}5} \approx \mathbf{0{,}223}$. (b) $T \sim \text{Exp}(3)$, $E = 1/3$ saat $= \mathbf{20}$ dk.

16.12 Egzersizler

Egzersiz 1. Kupon varyantı — $n = 10$, $H_{10} \approx 2{,}93$.

Egzersiz 2. $F(x) = x^3$ (0..1). Inverse-transform formülü.

Egzersiz 3. $X_1, \ldots, X_n$ iid pozitif, $S = \sum X_i$. (a) $E(X_1/S)$? (b) $E((X_1+X_2)/S)$? (c) $E(X_1^2/S^2)$ neden doğrudan $1/n^2$ değil?

Egzersiz 4. (Python — Üç problem doğrulaması)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)

# (1) Kupon: n=10
def collect(n):
    seen, t = set(), 0
    while len(seen) < n:
        seen.add(rng.integers(n)); t += 1
    return t
n = 10
sim = np.mean([collect(n) for _ in range(5000)])
teori = n * sum(1/k for k in range(1, n+1))
print(f"Kupon n={n}: sim={sim:.2f}  teori={teori:.2f}")

# (2) Lojistik: F(0) = 0.5
U = rng.uniform(size=500_000)
X = np.log(U / (1 - U))
print(f"P(Logistic < 0) ≈ {np.mean(X < 0):.4f}  teori 0.5")

# (3) Simetri: E(X/sum) = 1/3 (3 iid Exp(1))
E = rng.exponential(size=(3, 500_000))
print(f"E(X/Σ) ≈ {np.mean(E[0] / E.sum(axis=0)):.4f}  teori {1/3:.4f}")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) $T \sim \text{Exp}(\lambda)$, $f = \lambda e^{-\lambda t}$. (a) $E(T) = 1/\lambda$. (b) $\text{Var}(T) = 1/\lambda^2$. (c) Belleksizlik: $P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)$.

16.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 16: Üstel Dağılım — belleksizlik, sürekli geometrik, Poisson süreci.

Ders 16 öncesi yapılacak

Egzersizleri çöz, özellikle 5 (Üstel özellikleri).
Geometrik belleksizliği (Ders 9) hatırla.
Poisson → Üstel köprüsünü tekrar oku.

16.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Problem	Sonuç / Teknik	Blitzstein’de
Kupon toplayıcı	$n H_n \approx n \ln n$; geometrik + doğrusallık	0m47
Parçala	$T = \sum T_j$; küçük parçalar	8m48
Universality sezgi	$P(F(X) \le c) = c$	11m53
Lojistik	$F = \sigma$, $F^{-1} = \text{logit}$	14m33
Simetri	$E(X/\Sigma) = 1/n$	18m29
LOTUS tuzak	Örüntü, isim değil	27m05
Story proof	$n - X \sim \text{Bin}(n, q)$	31m20
Poisson → Üstel	$P(T > t) = P(N_t = 0)$	37m01
Üç nesne	Plan/RD/sabit	37m44

16.15 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

$n \ln n$ → keşif, örneklem karmaşıklığı.
Logit / sigmoid → logistic regression.
Simetri → exchangeability, Shapley.
LOTUS doğrudan → Monte Carlo sadeleştirme.
Story proof → bijektif/simetrik akıl.
Poisson süreci → kuyruk, sağkalım, olay-tabanlı sim.
Plan/RD/sabit → olasılıksal programlama (Pyro/NumPyro).

Tek bir şey alıp gideceksen

Ezber formül değil, yapı görmek kazandırır — kupon toplayıcıyı geometriklere, simetrik oranı eşit terimlere, sürekli beklemeyi Poisson sayımına böl.

--- title: "Ara Sınav İncelemesi" subtitle: "Kupon toplayıcı, logit, simetri, Poisson→Üstel" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 15: Midterm Review](https://www.youtube.com/watch?v=yFRZf81sB5k) (≈38 dk) - **Okuma süresi:** ≈30 dk - **Not:** Yeni teori yok — Ders 1-14'ün araçlarını 6 problemde canlandırıyor. ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Altı problem: 1. **Kupon toplayıcı** ($n H_n \approx n \ln n$). 2. **Uniform'un evrenselliği** — geometrik sezgi. 3. **Lojistik dağılım** — logit ile örnekleme. 4. **Simetri + doğrusallık** — $E(X/(X+Y+Z)) = 1/3$. 5. **LOTUS tuzağı** — örüntü, isim değil. 6. **Story proof + Poisson → Üstel** — sürekli bekleme. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Kupon toplayıcı ($n \ln n$)** → keşif/kapsama, örneklem karmaşıklığı. - **Logit / sigmoid** → **logistic regression**, sınıflandırma başlığı. - **Simetri (exchangeability)** → i.i.d.'de eşit katkı (Shapley benzeri). - **Poisson → Üstel** → bekleme süreleri, kuyruk teorisi, **Poisson süreci**. ::: ## Kupon Toplayıcı {#sec-kupon} $n$ farklı kupon. Tam seti toplama süresi $T$. Parçala: $$ T = T_1 + T_2 + \ldots + T_n $$ $T_j$ = $(j-1)$. yeni'den $j$. yeni'ye kadar. $T_j - 1 \sim \text{Geom}((n-j+1)/n)$, $E(T_j) = n/(n-j+1)$: $$ E(T) = \sum_{j=1}^{n} \frac{n}{n-j+1} = n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = n H_n \approx n \ln n $$ ```{python} #| label: fig-kupon #| fig-cap: "Kupon toplayıcı: n H_n teori vs simülasyon. n=10 → ~29.3, n=50 → ~225, n=100 → ~519. n ln n büyümesi: tüm türleri görmek herhangi birini görmekten çok daha pahalı." #| fig-width: 10 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt rng = np.random.default_rng(0) def collect(n): seen, t = set(), 0 while len(seen) < n: seen.add(rng.integers(n)) t += 1 return t ns = [5, 10, 20, 30, 50, 75, 100] teorik = [n * sum(1/k for k in range(1, n+1)) for n in ns] sim = [np.mean([collect(n) for _ in range(2000)]) for n in ns] n_lnn = [n * np.log(n) for n in ns] fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.plot(ns, teorik, 'o-', color='#A51C30', linewidth=2.5, markersize=10, label='$n H_n$ (teori)') ax.plot(ns, sim, 's--', color='#DD6B20', linewidth=2, markersize=8, label='Simülasyon') ax.plot(ns, n_lnn, '^:', color='#2C5282', linewidth=2, markersize=8, label='$n \\ln n$ (asimptotik)') ax.set_xlabel('n (kupon sayısı)', fontsize=12) ax.set_ylabel('Beklenen toplama süresi', fontsize=12) ax.set_title('Kupon toplayıcı: $n H_n \\approx n \\ln n$ büyümesi', fontsize=12) ax.legend(loc='upper left', fontsize=11) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Keşif Maliyeti"} Kupon toplayıcı **ML/CS'de örneklem karmaşıklığının** klasik modeli: tüm $n$ şeyi görmek herhangi birini görmekten **logaritmik faktör** kadar pahalı. RL keşfi, distinct-eleman tahmini, cache/streaming algoritmaları hep bu $n \ln n$ ölçeğinde. ::: ## Uniform'un Evrenselliği: Geometrik Sezgi {#sec-uniform-sezgi} $P(F(X) \le c) = P(X \le x_c) = F(x_c) = c$. Çünkü $F$ artan, olay $F(X) \le c$ ile $X \le x_c$ aynı. Bu, **kalibrasyon eğrileri** ve PIT testlerinin temeli. ## Lojistik Dağılım ve Logit {#sec-lojistik} CDF: $F(x) = e^x / (1 + e^x)$ = **sigmoid**. $F^{-1}$: $$ u = \frac{e^x}{1+e^x} \;\Rightarrow\; x = \log\frac{u}{1-u} = \text{logit}(u) $$ $U \sim \text{Uniform}(0,1)$, $X = \log(U/(1-U)) \sim \text{Logistic}$. ::: {.callout-important title="Builder Notu — Logistic Regression"} Lojistik CDF **sigmoid**'in ta kendisi; tersi **logit**. **Logistic regression** log-odds'u doğrusal modeller, sigmoid olasılığı verir. Tüm ikili sınıflandırma başlıkları bu dağılımdan gelir. ::: ## Simetri + Doğrusallık {#sec-simetri} $X, Y, Z$ iid pozitif: $$ 3 E\left(\frac{X}{X+Y+Z}\right) = E\left(\frac{X+Y+Z}{X+Y+Z}\right) = 1 \;\Rightarrow\; E\left(\frac{X}{X+Y+Z}\right) = \frac{1}{3} $$ Hiç integral yok — sadece simetri + doğrusallık. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Exchangeability"} "**Simetriyle topla, doğrusallıkla çöz**" tekniği **exchangeable** değişkenlerde her yerde: dikkat ağırlıklarında, kaynak paylaşımda, **Shapley değeri** atıflarında hesabı kısaltır. ::: ## LOTUS Tuzağı: İki Yol, Bir Cevap {#sec-lotus-tuzak} $U \sim$ Uniform(0,1), $X = U^2$, $Y = e^X$. **Yol 1 (X üzerinden):** $f_X(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$, $E(Y) = \int_0^1 e^x f_X(x) dx$. **Yol 2 (U üzerinden, doğrudan):** $Y = e^{U^2}$, $E(Y) = \int_0^1 e^{u^2} du$. İkisi de doğru, aynı sayı. **Önemli olan örüntü, isim değil.** ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Monte Carlo Sadeleştirme"} Yol 2 = Monte Carlo'nun doğal biçimi: $E[g(U)]$'yu **en alttaki basit değişken** üzerinden örnekle, ara dağılımları (X) bulmaya gerek yok. Reparameterization zincirini sadeleştirir. ::: ## Story Proof: n − X ~ Bin(n, q) {#sec-story-bin} $X \sim \text{Bin}(n, p)$. $n - X$ ne? **Story:** $X$ = başarı sayısı → $n - X$ = başarısızlık sayısı. Başarı/başarısızlık etiketlerini değiştir, başarısızlık olasılığı $q$: $$ n - X \sim \text{Bin}(n, q), \quad q = 1 - p $$ Hiç hesap yok. ## Poisson → Üstel: İlk Bekleme Süresi {#sec-poisson-exp} $N_t \sim \text{Pois}(\lambda t)$ = $[0, t]$ aralığındaki olay sayısı. $T$ = ilk olayın zamanı. $$ P(T > t) = P(N_t = 0) = e^{-\lambda t} $$ $$ F(t) = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t > 0 $$ İşte **üstel (exponential) dağılım** — Poisson sayımından (kesikli) sürekli bekleme süresi doğdu. ::: {.callout-important title="Builder Notu — Poisson Süreci"} **Poisson sürecinin** kalbi: olay **sayısı** Poisson, **aralarındaki bekleme** Üstel. Olay-tabanlı simülasyon, **kuyruk teorisi** (istek varışları), **sağkalım analizi**, "memoryless" varsayımlı modeller. ::: ## Üç Nesneyi Karıştırma {#sec-uc-nesne} - **Dağılım** (plan) — "ev planı". - **Rastgele değişken** — "rastgele ev". - **Sabit** (E(X) gibi) — "belirli ev". Kodda: `Normal(0,1)` (dist nesnesi) ≠ `dist.sample()` (tensor) ≠ `dist.mean` (skaler). ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Kupon toplayıcı:** $E(T) = n H_n \approx n \ln n$; parçala + doğrusallık. 2. **Universality sezgi:** $P(F(X) \le c) = c$. 3. **Lojistik:** $F^{-1}(u) = \text{logit}(u) = \log(u/(1-u))$. 4. **Simetri:** iid → $E(X/(X+Y+Z)) = 1/3$. 5. **LOTUS:** $E(g(U))$ doğrudan U üzerinden. 6. **Story proof:** $n - X \sim \text{Bin}(n, q)$. 7. **Poisson → Üstel:** $T \sim \text{Exp}(\lambda)$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Zor bir problemi araçlarının tanıdığı parçalara böl — kupon toplayıcıyı geometriklere, simetrik oranı eşit terimlere, sürekli bekleme süresini Poisson sayım olayına. **Ezber formül değil, yapıyı görmek** kazandırır. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Zar atışı, 6 yüzün hepsini görmek?"} **Cevap:** $E(T) = 6 H_6 = 6 \cdot 49/20 = \mathbf{14{,}7}$ atış. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: F(x) = 1 - e^(-x²). U → X?"} **Cevap:** $X = \sqrt{-\ln(1-U)}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: X, Y, Z, W iid pozitif. (a) E(X/Σ)? (b) E((X+Y)/Σ)?"} **Cevap:** (a) $\mathbf{1/4}$. (b) $\mathbf{1/2}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) λ=3/saat Poisson. (a) İlk 30 dk hiç? (b) İlk e-postaya kadar E?"} **Cevap:** (a) $e^{-1{,}5} \approx \mathbf{0{,}223}$. (b) $T \sim \text{Exp}(3)$, $E = 1/3$ saat $= \mathbf{20}$ dk. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** Kupon varyantı — $n = 10$, $H_{10} \approx 2{,}93$. **Egzersiz 2.** $F(x) = x^3$ (0..1). Inverse-transform formülü. **Egzersiz 3.** $X_1, \ldots, X_n$ iid pozitif, $S = \sum X_i$. (a) $E(X_1/S)$? (b) $E((X_1+X_2)/S)$? (c) $E(X_1^2/S^2)$ neden doğrudan $1/n^2$ değil? **Egzersiz 4.** *(Python — Üç problem doğrulaması)* ```{python} #| label: ex-inceleme #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) # (1) Kupon: n=10 def collect(n): seen, t = set(), 0 while len(seen) < n: seen.add(rng.integers(n)); t += 1 return t n = 10 sim = np.mean([collect(n) for _ in range(5000)]) teori = n * sum(1/k for k in range(1, n+1)) print(f"Kupon n={n}: sim={sim:.2f} teori={teori:.2f}") # (2) Lojistik: F(0) = 0.5 U = rng.uniform(size=500_000) X = np.log(U / (1 - U)) print(f"P(Logistic < 0) ≈ {np.mean(X < 0):.4f} teori 0.5") # (3) Simetri: E(X/sum) = 1/3 (3 iid Exp(1)) E = rng.exponential(size=(3, 500_000)) print(f"E(X/Σ) ≈ {np.mean(E[0] / E.sum(axis=0)):.4f} teori {1/3:.4f}") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* $T \sim \text{Exp}(\lambda)$, $f = \lambda e^{-\lambda t}$. (a) $E(T) = 1/\lambda$. (b) $\text{Var}(T) = 1/\lambda^2$. (c) **Belleksizlik**: $P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)$. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 16: Üstel Dağılım** — belleksizlik, sürekli geometrik, Poisson süreci. ::: {.callout-warning title="Ders 16 öncesi yapılacak"} - Egzersizleri çöz, özellikle 5 (Üstel özellikleri). - Geometrik belleksizliği (Ders 9) hatırla. - Poisson → Üstel köprüsünü tekrar oku. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Problem | Sonuç / Teknik | Blitzstein'de | |---------|----------------|---------------| | **Kupon toplayıcı** | $n H_n \approx n \ln n$; geometrik + doğrusallık | 0m47 | | **Parçala** | $T = \sum T_j$; küçük parçalar | 8m48 | | **Universality sezgi** | $P(F(X) \le c) = c$ | 11m53 | | **Lojistik** | $F = \sigma$, $F^{-1} = \text{logit}$ | 14m33 | | **Simetri** | $E(X/\Sigma) = 1/n$ | 18m29 | | **LOTUS tuzak** | Örüntü, isim değil | 27m05 | | **Story proof** | $n - X \sim \text{Bin}(n, q)$ | 31m20 | | **Poisson → Üstel** | $P(T > t) = P(N_t = 0)$ | 37m01 | | **Üç nesne** | Plan/RD/sabit | 37m44 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **$n \ln n$** → keşif, örneklem karmaşıklığı. 2. **Logit / sigmoid** → **logistic regression**. 3. **Simetri** → **exchangeability**, Shapley. 4. **LOTUS doğrudan** → Monte Carlo sadeleştirme. 5. **Story proof** → bijektif/simetrik akıl. 6. **Poisson süreci** → kuyruk, sağkalım, olay-tabanlı sim. 7. **Plan/RD/sabit** → olasılıksal programlama (Pyro/NumPyro). ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Ezber formül değil, yapı görmek** kazandırır — kupon toplayıcıyı geometriklere, simetrik oranı eşit terimlere, sürekli beklemeyi Poisson sayımına böl. :::