17 Üstel (Exponential) Dağılım

Belleksizlik: sürekli zamanın Markov çekirdeği

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 16: Exponential Distribution (≈18 dk)
Okuma süresi: ≈20 dk

17.1 Bu Derste Ne Var?

Üçüncü önemli sürekli dağılım — Üstel(λ).

PDF/CDF + standardizasyon: $f = \lambda e^{-\lambda x}$, $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1).
Ortalama ve varyans: $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$.
Belleksizlik: $P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$ — Üstel bunu sağlayan tek sürekli dağılım.

Builder Notu — ML Köprüleri

λ + Poisson süreci → istek/paket varışları, kuyruk teorisi (M/M/1).
Belleksizlik → Markov özelliğinin sürekli-zaman çekirdeği; CTMC.
Survival $S(t) = e^{-\lambda t}$ → sağkalım analizi, Kaplan-Meier, churn tahmini, sabit hazard.
Üstel = sürekli geometrik (kesikli↔︎sürekli ikiz).
$E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$ → tail latency analizi.

17.2 Üstel Dağılım

\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad x > 0 \]

λ = oran (rate) parametresi.

Standardizasyon: $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1).

Beklenti ve varyans (Üstel(1) için parçalı integrasyonla):

\[ E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 5, 400)
lambdalar = [(0.5, '#A51C30'), (1.0, '#DD6B20'), (2.0, '#2C5282')]

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5))

ax = axes[0]
for lam, c in lambdalar:
    pdf = lam * np.exp(-lam * x)
    ax.plot(x, pdf, color=c, linewidth=2.5, label=f'λ={lam}, E=1/λ={1/lam:.1f}')
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12)
ax.set_title('Üstel(λ) PDF', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)

ax = axes[1]
for lam, c in lambdalar:
    S = np.exp(-lam * x)
    ax.plot(x, S, color=c, linewidth=2.5, label=f'S(t) = exp(-{lam}·t)')
ax.set_xlabel('t', fontsize=12)
ax.set_ylabel('S(t) = P(X > t)', fontsize=12)
ax.set_title('Survival function — sağkalım/churn temeli', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_yscale('log')

plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 17.1

17.3 Belleksizlik

\[ P(X \ge s + t \mid X \ge s) = P(X \ge t) \]

İspat (survival function):

\[ P(X \ge s+t \mid X \ge s) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X \ge t) \]

“no matter how long you’ve waited then it’s like you’re starting over from fresh.” — Blitzstein, 12:03

Üstel, belleksizliği sağlayan TEK sürekli dağılımdır (Ders 17’de ispat).

Builder Notu — Markov ve Sağkalım

Belleksizlik Markov özelliğinin sürekli-zaman çekirdeği: gelecek geçmişten bağımsız. Sürekli-zaman Markov zincirleri (CTMC), kuyruk ağları, “yaşlanmayan” arızalar Üstel bekleme sürelerine dayanır. Survival $S(t) = e^{-\lambda t}$ sağkalım analizinin (Kaplan-Meier, Cox) ve churn tahmininin temel nesnesidir; sabit hazard oranı λ tam da belleksizliğin sonucudur.

17.4 Koşullu Beklenti: $E(X \mid X > a)$

Belleksizlik gereği $X > a$ verildiğinde kalan süre $X - a$ taze bir Üstel(λ):

\[ E(X \mid X > a) = a + E(X - a \mid X > a) = a + \frac{1}{\lambda} \]

Builder Notu — Tail Latency

Kuyruk gecikmesi/tail latency: bir istek zaten uzun sürdüyse, belleksiz model kalan süreyi yine $1/\lambda$ olarak tahmin eder. Gerçek sistemlerde sapma → belleksizlik ihlali (ağır kuyruklu gecikme).

17.5 Bu Dersin Özeti

Üstel(λ): $f = \lambda e^{-\lambda x}$, $F = 1 - e^{-\lambda x}$.
Standardizasyon: $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1).
Moments: $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$.
Belleksizlik: $P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$; TEK sürekli dağılım.
Koşullu E: $E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$.

Tek bir cümle

Üstel(λ), Poisson sürecinin sürekli bekleme süresi ve sürekli dünyanın belleksiz dağılımıdır — $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$, $S(t) = e^{-\lambda t}$. Belleksizlik onu hem matematiksel olarak eşsiz (bu özelliği taşıyan tek sürekli) hem de modellemede güçlü kılar: Markov, sağkalım, kuyruk, tail latency.

17.6 Kontrol Soruları

Soru 1: X ~ Exp(2). (a) E, Var? (b) P(X > 1)? (c) Medyan?

Cevap: (a) $E = 1/2$, Var $= 1/4$. (b) $e^{-2} \approx 0{,}135$. (c) $(\ln 2)/2 \approx 0{,}347$ — medyan < ortalama (sağa çarpık).

Soru 2: P(X > E(X)) = ? λ’ya bağlı mı?

Cevap: $P(X > 1/\lambda) = e^{-1} \approx \mathbf{0{,}368}$. λ’dan bağımsız! Sağa çarpık göstergesi.

Soru 3: Ampul Üstel, ortalama 1000 saat. 500 saat çalıştı, kalan beklenen?

Cevap: 1000 saat (belleksizlik). Ampul “hiç eskimemiş” gibi. (Gerçek ampuller eskir — idealize model.)

Soru 4: (Builder) Sunucu Exp, ort 100ms. İstek 200ms sürdü. Toplam E? Tail latency için?

Cevap: $E(X \mid X > 200) = 200 + 100 = \mathbf{300}$ ms. Belleksizlik → kalan hep $1/\lambda$. Gerçek sapma → ağır kuyruk.

17.7 Egzersizler

Egzersiz 1. $X \sim$ Exp(0.5). (a) $E, \text{Var}, \text{SD}$? (b) $P(X > 3)$, $P(1 < X < 2)$? (c) Medyan?

Egzersiz 2. $E(X^n)$ standardizasyonla. (Üstel(1)’de $E(Y^n) = n!$.)

Egzersiz 3. Survival ile belleksizliği göster.

Egzersiz 4. (Python — Üstel doğrulama)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
lam = 0.5
X = rng.exponential(scale=1/lam, size=1_000_000)

print(f"E(X) ≈ {X.mean():.3f}   teorik 1/λ = {1/lam}")
print(f"Var(X) ≈ {X.var():.3f}  teorik 1/λ² = {1/lam**2}")
print(f"P(X>3) ≈ {(X>3).mean():.4f}  teorik e^(-1.5) = {np.exp(-1.5):.4f}")

# Belleksizlik: P(X>5|X>3) ≈ P(X>2)
cond = (X[X>3] > 5).mean()
print(f"P(X>5|X>3) ≈ {cond:.4f}  P(X>2) = {np.exp(-lam*2):.4f}")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) MGF: $M(t) = E(e^{tX})$. Üstel için $M(t) = \lambda/(\lambda - t)$ ($t < \lambda$).

17.8 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 17: Moment Üreten Fonksiyonlar (MGF) — momentleri tek fonksiyonda paketle.

Ders 17 öncesi yapılacak

Egzersiz 5 (Üstel MGF) çöz.
$e^{tX} = \sum (tX)^k/k!$ Taylor serisini hatırla.

17.9 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Üstel PDF/CDF	$\lambda e^{-\lambda x}$, $1 - e^{-\lambda x}$	2m00
Oran λ	Birim zamanda olay hızı	1m31
Standardizasyon	$Y = \lambda X \sim$ Üstel(1)	4m54
E / Var	$1/\lambda$, $1/\lambda^2$	10m49
Survival	$S(t) = e^{-\lambda t}$	14m33
Belleksizlik	$P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$; TEK sürekli	11m17
Koşullu E	$E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$	17m43

17.10 ML Bağlantıları Özeti

6 köprü

Oran λ / Poisson süreci → bekleme süreleri, kuyruk teorisi.
Belleksizlik → Markov özelliği, CTMC.
Survival → sağkalım analizi, Kaplan-Meier, churn.
Üstel = sürekli geometrik → kesikli↔︎sürekli.
Koşullu E → tail latency, SLA.
Üstel + Gamma eşleniği → Bayesçi oran tahmini (Ders 24).

Tek bir şey alıp gideceksen

Üstel(λ) sürekli dünyanın belleksiz dağılımıdır — $S(t) = e^{-\lambda t}$, $E = 1/\lambda$. Belleksizlik onu eşsiz (tek sürekli) ve modellemede güçlü kılar: Markov, sağkalım, kuyruk, tail latency.

--- title: "Üstel (Exponential) Dağılım" subtitle: "Belleksizlik: sürekli zamanın Markov çekirdeği" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 16: Exponential Distribution](https://www.youtube.com/watch?v=bM6nFDjvEns) (≈18 dk) - **Okuma süresi:** ≈20 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Üçüncü önemli sürekli dağılım — **Üstel(λ)**. 1. **PDF/CDF + standardizasyon:** $f = \lambda e^{-\lambda x}$, $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1). 2. **Ortalama ve varyans:** $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$. 3. **Belleksizlik:** $P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$ — Üstel bunu sağlayan **tek** sürekli dağılım. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **λ + Poisson süreci** → istek/paket varışları, **kuyruk teorisi (M/M/1)**. - **Belleksizlik** → **Markov özelliğinin** sürekli-zaman çekirdeği; CTMC. - **Survival $S(t) = e^{-\lambda t}$** → **sağkalım analizi**, Kaplan-Meier, **churn tahmini**, sabit hazard. - **Üstel = sürekli geometrik** (kesikli↔sürekli ikiz). - $E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$ → **tail latency** analizi. ::: ## Üstel Dağılım {#sec-ustel} $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad x > 0 $$ λ = **oran (rate) parametresi**. **Standardizasyon:** $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1). **Beklenti ve varyans** (Üstel(1) için parçalı integrasyonla): $$ E(X) = \frac{1}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$ ```{python} #| label: fig-exp-pdf #| fig-cap: "Üstel(λ) PDF (sol) ve survival function S(t) = e^(-λt) (sağ). λ büyüdükçe olaylar sıklaşır, bekleme süresi kısalır (E = 1/λ). Survival = hala beklemekte olma olasılığı; sabit hazard λ." #| fig-width: 11 #| fig-height: 4.5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 5, 400) lambdalar = [(0.5, '#A51C30'), (1.0, '#DD6B20'), (2.0, '#2C5282')] fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5)) ax = axes[0] for lam, c in lambdalar: pdf = lam * np.exp(-lam * x) ax.plot(x, pdf, color=c, linewidth=2.5, label=f'λ={lam}, E=1/λ={1/lam:.1f}') ax.set_xlabel('x', fontsize=12) ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12) ax.set_title('Üstel(λ) PDF', fontsize=12) ax.legend(fontsize=11) ax.grid(True, alpha=0.3) ax = axes[1] for lam, c in lambdalar: S = np.exp(-lam * x) ax.plot(x, S, color=c, linewidth=2.5, label=f'S(t) = exp(-{lam}·t)') ax.set_xlabel('t', fontsize=12) ax.set_ylabel('S(t) = P(X > t)', fontsize=12) ax.set_title('Survival function — sağkalım/churn temeli', fontsize=12) ax.legend(fontsize=10) ax.grid(True, alpha=0.3) ax.set_yscale('log') plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Belleksizlik {#sec-belleksizlik} $$ P(X \ge s + t \mid X \ge s) = P(X \ge t) $$ **İspat (survival function):** $$ P(X \ge s+t \mid X \ge s) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X \ge t) $$ > *"no matter how long you've waited then it's like you're starting over from fresh."* — Blitzstein, 12:03 **Üstel, belleksizliği sağlayan TEK sürekli dağılımdır** (Ders 17'de ispat). ::: {.callout-important title="Builder Notu — Markov ve Sağkalım"} Belleksizlik **Markov özelliğinin** sürekli-zaman çekirdeği: gelecek geçmişten bağımsız. **Sürekli-zaman Markov zincirleri (CTMC)**, kuyruk ağları, "yaşlanmayan" arızalar Üstel bekleme sürelerine dayanır. **Survival $S(t) = e^{-\lambda t}$** sağkalım analizinin (**Kaplan-Meier, Cox**) ve **churn tahmininin** temel nesnesidir; sabit hazard oranı λ tam da belleksizliğin sonucudur. ::: ## Koşullu Beklenti: $E(X \mid X > a)$ {#sec-kosullu-beklenti} Belleksizlik gereği $X > a$ verildiğinde **kalan süre $X - a$ taze bir Üstel(λ)**: $$ E(X \mid X > a) = a + E(X - a \mid X > a) = a + \frac{1}{\lambda} $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Tail Latency"} **Kuyruk gecikmesi/tail latency**: bir istek zaten uzun sürdüyse, belleksiz model kalan süreyi yine $1/\lambda$ olarak tahmin eder. Gerçek sistemlerde sapma → belleksizlik ihlali (**ağır kuyruklu** gecikme). ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Üstel(λ):** $f = \lambda e^{-\lambda x}$, $F = 1 - e^{-\lambda x}$. 2. **Standardizasyon:** $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1). 3. **Moments:** $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$. 4. **Belleksizlik:** $P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$; TEK sürekli dağılım. 5. **Koşullu E:** $E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Üstel(λ), Poisson sürecinin **sürekli bekleme süresi** ve sürekli dünyanın **belleksiz** dağılımıdır — $E = 1/\lambda$, Var $= 1/\lambda^2$, $S(t) = e^{-\lambda t}$. Belleksizlik onu hem matematiksel olarak eşsiz (bu özelliği taşıyan tek sürekli) hem de modellemede güçlü kılar: **Markov, sağkalım, kuyruk, tail latency**. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: X ~ Exp(2). (a) E, Var? (b) P(X > 1)? (c) Medyan?"} **Cevap:** (a) $E = 1/2$, Var $= 1/4$. (b) $e^{-2} \approx 0{,}135$. (c) $(\ln 2)/2 \approx 0{,}347$ — medyan < ortalama (sağa çarpık). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: P(X > E(X)) = ? λ'ya bağlı mı?"} **Cevap:** $P(X > 1/\lambda) = e^{-1} \approx \mathbf{0{,}368}$. **λ'dan bağımsız!** Sağa çarpık göstergesi. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Ampul Üstel, ortalama 1000 saat. 500 saat çalıştı, kalan beklenen?"} **Cevap:** **1000 saat** (belleksizlik). Ampul "hiç eskimemiş" gibi. (Gerçek ampuller eskir — idealize model.) ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Sunucu Exp, ort 100ms. İstek 200ms sürdü. Toplam E? Tail latency için?"} **Cevap:** $E(X \mid X > 200) = 200 + 100 = \mathbf{300}$ ms. Belleksizlik → kalan hep $1/\lambda$. Gerçek sapma → ağır kuyruk. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $X \sim$ Exp(0.5). (a) $E, \text{Var}, \text{SD}$? (b) $P(X > 3)$, $P(1 < X < 2)$? (c) Medyan? **Egzersiz 2.** $E(X^n)$ standardizasyonla. (Üstel(1)'de $E(Y^n) = n!$.) **Egzersiz 3.** Survival ile belleksizliği göster. **Egzersiz 4.** *(Python — Üstel doğrulama)* ```{python} #| label: ex-exp-dogrula #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) lam = 0.5 X = rng.exponential(scale=1/lam, size=1_000_000) print(f"E(X) ≈ {X.mean():.3f} teorik 1/λ = {1/lam}") print(f"Var(X) ≈ {X.var():.3f} teorik 1/λ² = {1/lam**2}") print(f"P(X>3) ≈ {(X>3).mean():.4f} teorik e^(-1.5) = {np.exp(-1.5):.4f}") # Belleksizlik: P(X>5|X>3) ≈ P(X>2) cond = (X[X>3] > 5).mean() print(f"P(X>5|X>3) ≈ {cond:.4f} P(X>2) = {np.exp(-lam*2):.4f}") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* **MGF:** $M(t) = E(e^{tX})$. Üstel için $M(t) = \lambda/(\lambda - t)$ ($t < \lambda$). ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 17: Moment Üreten Fonksiyonlar (MGF)** — momentleri tek fonksiyonda paketle. ::: {.callout-warning title="Ders 17 öncesi yapılacak"} - Egzersiz 5 (Üstel MGF) çöz. - $e^{tX} = \sum (tX)^k/k!$ Taylor serisini hatırla. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Üstel PDF/CDF** | $\lambda e^{-\lambda x}$, $1 - e^{-\lambda x}$ | 2m00 | | **Oran λ** | Birim zamanda olay hızı | 1m31 | | **Standardizasyon** | $Y = \lambda X \sim$ Üstel(1) | 4m54 | | **E / Var** | $1/\lambda$, $1/\lambda^2$ | 10m49 | | **Survival** | $S(t) = e^{-\lambda t}$ | 14m33 | | **Belleksizlik** | $P(X \ge s+t \mid X \ge s) = P(X \ge t)$; TEK sürekli | 11m17 | | **Koşullu E** | $E(X \mid X > a) = a + 1/\lambda$ | 17m43 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="6 köprü"} 1. **Oran λ / Poisson süreci** → bekleme süreleri, **kuyruk teorisi**. 2. **Belleksizlik** → **Markov özelliği**, CTMC. 3. **Survival** → sağkalım analizi, **Kaplan-Meier**, churn. 4. **Üstel = sürekli geometrik** → kesikli↔sürekli. 5. **Koşullu E** → **tail latency**, SLA. 6. **Üstel + Gamma eşleniği** → Bayesçi oran tahmini (Ders 24). ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Üstel(λ) sürekli dünyanın **belleksiz** dağılımıdır — $S(t) = e^{-\lambda t}$, $E = 1/\lambda$. Belleksizlik onu **eşsiz** (tek sürekli) ve **modellemede güçlü** kılar: Markov, sağkalım, kuyruk, tail latency. :::

17.1 Bu Derste Ne Var?

17.2 Üstel Dağılım

17.3 Belleksizlik

17.4 Koşullu Beklenti: \(E(X \mid X > a)\)

17.5 Bu Dersin Özeti

17.6 Kontrol Soruları

17.7 Egzersizler

17.8 Sonraki Ders İçin Hazırlık

17.9 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

17.10 ML Bağlantıları Özeti