20 Birleşik, Koşullu ve Marjinal Dağılımlar

2D LOTUS, joint = koşullu × marjinal, Poisson splitting

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 19: Joint, Conditional, and Marginal Distributions (≈50 dk)
Okuma süresi: ≈35 dk

20.1 Bu Derste Ne Var?

Üçlü: joint → marjinal (integral) → koşullu (joint/marjinal). Joint = koşullu × marjinal.
2D LOTUS: $E(g(X,Y)) = \iint g \cdot f \, dx\,dy$.
Bağımsız ⇒ ilişkisiz: $X \perp Y \Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$.
İki uniform uzaklık = $1/3$; Poisson splitting (tavuk-yumurta).

Builder Notu — ML Köprüleri

Koşullu $f(y \mid x)$ → denetimli öğrenme, koşullu üretim (cVAE, cDiffusion).
Joint = $\prod$ koşullu → autoregressive faktörizasyon (GPT, PixelCNN).
2D LOTUS → çok değişkenli Monte Carlo.
Bağımsız ⇒ ilişkisiz (tersi değil) → PCA vs ICA.
Poisson splitting (thinning) → yük dengeleme, A/B trafik ayırma, nokta süreçleri.

20.2 Joint → Marjinal → Koşullu

Joint PDF: $f(x, y) = \partial^2 F / \partial x \partial y$. Olasılık = çift integral.

Marjinal: $f_X(x) = \int f(x, y) dy$.

Koşullu:

\[ f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} \]

Sürekli çarpım kuralı (Bayes):

\[ f(x, y) = f_{Y \mid X}(y \mid x)\, f_X(x) = f_{X \mid Y}(x \mid y)\, f_Y(y) \]

“think of it as the PDF where we get to pretend that we know what X is.” — Blitzstein, 9:05

Builder Notu — Autoregressive ve cGAN

“joint = $\prod$ koşullu” ayrışımı modern üretici modellemenin omurgası: $p(x_1, \ldots, x_d) = \prod p(x_i \mid x_{<i})$ — GPT, PixelCNN. Koşullu yoğunluk $f(y \mid x)$ tüm denetimli öğrenmenin ve koşullu üretimin hedefi.

20.3 Sürekli Bağımsızlık

\[ X \perp Y \iff f(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) \quad \forall x, y \]

Eşdeğer: koşullu = marjinal (X’i öğrenmek Y hakkında bilgi vermez).

20.4 Disk Örneği: Marjinal ve Koşullu

Birim disk uniform, $f = 1/\pi$.

Marjinal:

\[ f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} dy = \frac{2}{\pi}\sqrt{1 - x^2} \]

Uniform değil — yarım daire eğrisi.

Koşullu:

\[ f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{1/\pi}{(2/\pi)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \]

$y$ yok → sabit → $Y \mid X = x \sim$ Uniform$(-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2})$. Aralık $x$’e bağlı → bağımlı.

Builder Notu — Heteroskedastik

“Koşullu uniform ama parametresi $x$’e bağlı” = heteroskedastik modellerin temel sezgisi — girdiye bağlı yayılım.

20.5 2D LOTUS ve Bağımsız ⇒ İlişkisiz

\[ E(g(X, Y)) = \iint g(x, y)\, f(x, y)\, dx\, dy \]

Bağımsız ⇒ E(XY) = E(X)E(Y): $g(x,y) = xy$, $f = f_X f_Y$, integral ayrılır.

“independent implies uncorrelated” — Blitzstein, 25:07

Uyarı: Tersi DOĞRU DEĞİL. İlişkisiz olup bağımlı olmak mümkün.

Builder Notu — PCA vs ICA

PCA / whitening değişkenleri ilişkisiz yapar, ama bağımsız yapmaz. ICA bağımsızlığı hedefler. Korelasyon yalnızca doğrusal ilişkiyi yakalar.

20.6 İki Uniform Uzaklık: Max/Min Triki

$X, Y \sim$ Uniform(0,1) bağımsız. $E|X - Y| = ?$

Triki: $M = \max, L = \min$. $|X - Y| = M - L$, $X + Y = M + L$:

\[ E(M - L) = \tfrac{1}{3}, \quad E(M + L) = 1 \;\Rightarrow\; E(M) = \tfrac{2}{3}, \;E(L) = \tfrac{1}{3} \]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)
N = 1_000_000
X = rng.uniform(0, 1, N)
Y = rng.uniform(0, 1, N)

uzakliklar = np.abs(X - Y)
maxler = np.maximum(X, Y)
minler = np.minimum(X, Y)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5))
ax.hist(uzakliklar, bins=80, density=True, color='#A51C30', alpha=0.7,
        label=f'|X-Y| dağılımı (sim mean = {uzakliklar.mean():.4f})', edgecolor='#6B0E1B')
ax.axvline(1/3, color='#15803d', linestyle='--', linewidth=2.5,
           label='Teorik E|X-Y| = 1/3 ≈ 0.333')
ax.set_xlabel('|X - Y|', fontsize=12)
ax.set_ylabel('yoğunluk', fontsize=12)
ax.set_title(f'E|X-Y| = 1/3; E(max) = {maxler.mean():.3f} (teori 2/3); E(min) = {minler.mean():.3f} (teori 1/3)',
             fontsize=11)
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 20.1

20.7 Poisson Splitting (Tavuk-Yumurta)

$N \sim$ Pois(λ) yumurta, her biri bağımsız $p$ olasılıkla çıkıyor. $X$ = çıkan, $Y$ = çıkmayan, $X + Y = N$.

\[ P(X=i, Y=j) = \binom{i+j}{i} p^i q^j \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^{i+j}}{(i+j)!} \]

Sadeleştir:

\[ = \frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^i}{i!} \cdot \frac{e^{-\lambda q}(\lambda q)^j}{j!} \]

Joint çarpanlara ayrıldı!

\[ X \perp Y, \quad X \sim \text{Pois}(\lambda p), \quad Y \sim \text{Pois}(\lambda q) \]

Yalnızca Poisson’a özgü.

“this is actually a very special property of the Poisson.” — Blitzstein, 49:45

Builder Notu — Thinning ve A/B Trafik

Poisson thinning/splitting = bir Poisson akışını bağımsız alt-akışlara bölmek. Nokta süreçleri, ağ trafiği modellemesi, yük dengeleme (istekleri bağımsız kuyruklara), A/B test trafik ayırma. Bağımsızlık, alt-akışları ayrı analiz etmeyi kolaylaştırır — kovaryans düzeltmesi yok.

20.8 Bu Dersin Özeti

Üçlü: joint → marjinal (∫) → koşullu (joint/marjinal); $f = f_{Y \mid X} \cdot f_X$.
2D LOTUS: $E(g) = \iint g \cdot f$.
Bağımsız ⇒ ilişkisiz: $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Disk: marjinal yarım daire, koşullu uniform → bağımlı.
İki uniform: $E|X-Y| = 1/3$, max/min triki.
Poisson splitting: $X \perp Y$, ikisi Poisson.

Tek bir cümle

Joint, marjinal ve koşullu dağılımlar bir üçlüdür — joint = koşullu × marjinal. 2D LOTUS beklentileri dağılım bulmadan verir; bağımsız ⇒ ilişkisiz ama tersi değil; Poisson splitting alt-akışları bağımsız yapar.

20.9 Kontrol Soruları

Soru 1: f(x,y) = x+y (0..1)². (a) Marjinal? (b) Koşullu? (c) Bağımsız mı?

Cevap: (a) $f_X(x) = x + 1/2$. (b) $f_{Y \mid X} = (x+y)/(x+1/2)$. (c) $f_X f_Y \ne f$ → bağımsız değil.

Soru 2: f(x,y) = 4xy (0..1)². Bağımsız mı?

Cevap: $f_X = 2x, f_Y = 2y$, çarpım $4xy = f$ → bağımsız (Beta(2,1) marjinalleri).

Soru 3: X, Y ~ Unif(0,1) bağımsız. (a) E(XY)? (b) E(max)?

Cevap: (a) $(1/2)(1/2) = 1/4$. (b) $2/3$.

Soru 4: (Builder) N ~ Pois(100), p=0.02 dönüşüm. X dağılımı? Y’den bağımsız mı?

Cevap: Pois(2), $X \perp Y \sim \text{Pois}(98)$. A/B trafik ayırmanın temeli.

20.10 Egzersizler

Egzersiz 1. $f = c(x + y^2)$ (0..1)². (a) $c$? (b) Marjinaller? (c) Bağımsız mı?

Egzersiz 2. $f = 6e^{-2x-3y}$ ($x, y > 0$). Marjinaller? Bağımsız mı? Oranlar?

Egzersiz 3. $X, Y \sim$ Unif(0,1) bağımsız. $E(X+Y), E(XY), E((X-Y)^2)$?

Egzersiz 4. (Python — Uzaklık + Splitting)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N = 1_000_000

X = rng.uniform(0, 1, N); Y = rng.uniform(0, 1, N)
print(f"E|X-Y| ≈ {np.mean(np.abs(X-Y)):.4f}  teori 1/3")
print(f"E(max) ≈ {np.maximum(X,Y).mean():.4f}  E(min) ≈ {np.minimum(X,Y).mean():.4f}")

# Poisson splitting
n = rng.poisson(100, N)
x = rng.binomial(n, 0.02)
y = n - x
print(f"X ~ Pois? mean={x.mean():.3f}, var={x.var():.3f} (Pois(2): 2, 2)")
print(f"corr(X,Y) = {np.corrcoef(x, y)[0,1]:.4f}  (bağımsız → ≈ 0)")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) Multinomial: binomun $k$ kategoriye genellemesi. $X_i \sim$ Bin($n, p_i$) marjinal; $X_i, X_j$ negatif ilişkili.

20.11 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 20: Multinomial ve Cauchy — joint sayım, kategorik genelleme; oran dağılımı.

Ders 20 öncesi yapılacak

Egzersiz 5 (Multinomial sezgisi) çöz.
Binom + MGF’i hatırla.
2D LOTUS’u tekrar oku.

20.12 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Joint PDF	$\partial^2 F / \partial x \partial y$	2m45
Marjinal	$\int f(x,y) dy$	6m20
Koşullu	$f(x,y) / f_X(x)$	8m30
Joint = K × M	$f = f_{Y \mid X} f_X$	10m38
Bağımsızlık	$f = f_X f_Y$	11m48
Disk	Marjinal $\ne$ uniform; koşullu uniform	16m13
2D LOTUS	$\iint g \cdot f$	22m09
Bağımsız ⇒ ilişkisiz	$E(XY) = E(X)E(Y)$; tersi yanlış	24m48
İki uniform	$E\\|X-Y\\| = 1/3$	34m29
Poisson splitting	$X \perp Y$ Poisson	49m45

20.13 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Koşullu $f(y \mid x)$ → denetimli, koşullu üretim.
Joint = $\prod$ koşullu → autoregressive (GPT).
2D LOTUS → çok değişkenli Monte Carlo.
Bağımsız vs ilişkisiz → PCA vs ICA.
Heteroskedastik → girdiye bağlı yayılım.
Max/min → sıra istatistikleri (Ders 25).
Poisson splitting → thinning, A/B trafik.

Tek bir şey alıp gideceksen

Joint/marjinal/koşullu üçlüsü ayrılmaz — $f = f_{Y \mid X} f_X$. 2D LOTUS beklentileri dağılım bulmadan verir. Bağımsız ⇒ ilişkisiz ama tersi değil — korelasyon yalnız doğrusal yakalar.

--- title: "Birleşik, Koşullu ve Marjinal Dağılımlar" subtitle: "2D LOTUS, joint = koşullu × marjinal, Poisson splitting" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 19: Joint, Conditional, and Marginal Distributions](https://www.youtube.com/watch?v=J70dP_AECzQ) (≈50 dk) - **Okuma süresi:** ≈35 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Üçlü:** joint → marjinal (integral) → koşullu (joint/marjinal). **Joint = koşullu × marjinal**. 2. **2D LOTUS:** $E(g(X,Y)) = \iint g \cdot f \, dx\,dy$. 3. **Bağımsız ⇒ ilişkisiz:** $X \perp Y \Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$. 4. **İki uniform uzaklık** = $1/3$; **Poisson splitting** (tavuk-yumurta). ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Koşullu $f(y \mid x)$** → denetimli öğrenme, **koşullu üretim** (cVAE, cDiffusion). - **Joint = $\prod$ koşullu** → **autoregressive faktörizasyon** (GPT, PixelCNN). - **2D LOTUS** → çok değişkenli Monte Carlo. - **Bağımsız ⇒ ilişkisiz (tersi değil)** → **PCA vs ICA**. - **Poisson splitting (thinning)** → yük dengeleme, A/B trafik ayırma, nokta süreçleri. ::: ## Joint → Marjinal → Koşullu {#sec-uclu} **Joint PDF:** $f(x, y) = \partial^2 F / \partial x \partial y$. Olasılık = çift integral. **Marjinal:** $f_X(x) = \int f(x, y) dy$. **Koşullu:** $$ f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} $$ **Sürekli çarpım kuralı (Bayes):** $$ f(x, y) = f_{Y \mid X}(y \mid x)\, f_X(x) = f_{X \mid Y}(x \mid y)\, f_Y(y) $$ > *"think of it as the PDF where we get to pretend that we know what X is."* — Blitzstein, 9:05 ::: {.callout-important title="Builder Notu — Autoregressive ve cGAN"} "joint = $\prod$ koşullu" ayrışımı **modern üretici modellemenin omurgası**: $p(x_1, \ldots, x_d) = \prod p(x_i \mid x_{<i})$ — **GPT, PixelCNN**. Koşullu yoğunluk $f(y \mid x)$ tüm denetimli öğrenmenin ve koşullu üretimin hedefi. ::: ## Sürekli Bağımsızlık {#sec-bagimsizlik} $$ X \perp Y \iff f(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) \quad \forall x, y $$ Eşdeğer: koşullu = marjinal (X'i öğrenmek Y hakkında bilgi vermez). ## Disk Örneği: Marjinal ve Koşullu {#sec-disk} Birim disk uniform, $f = 1/\pi$. **Marjinal:** $$ f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} dy = \frac{2}{\pi}\sqrt{1 - x^2} $$ **Uniform değil** — yarım daire eğrisi. **Koşullu:** $$ f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{1/\pi}{(2/\pi)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} $$ $y$ yok → **sabit** → $Y \mid X = x \sim$ Uniform$(-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2})$. Aralık $x$'e bağlı → bağımlı. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Heteroskedastik"} "Koşullu uniform ama parametresi $x$'e bağlı" = **heteroskedastik** modellerin temel sezgisi — girdiye bağlı yayılım. ::: ## 2D LOTUS ve Bağımsız ⇒ İlişkisiz {#sec-2d-lotus} $$ E(g(X, Y)) = \iint g(x, y)\, f(x, y)\, dx\, dy $$ **Bağımsız ⇒ E(XY) = E(X)E(Y):** $g(x,y) = xy$, $f = f_X f_Y$, integral ayrılır. > *"independent implies uncorrelated"* — Blitzstein, 25:07 **Uyarı:** Tersi DOĞRU DEĞİL. **İlişkisiz olup bağımlı** olmak mümkün. ::: {.callout-important title="Builder Notu — PCA vs ICA"} **PCA / whitening** değişkenleri **ilişkisiz** yapar, ama **bağımsız** yapmaz. **ICA** bağımsızlığı hedefler. Korelasyon yalnızca doğrusal ilişkiyi yakalar. ::: ## İki Uniform Uzaklık: Max/Min Triki {#sec-uzaklik} $X, Y \sim$ Uniform(0,1) bağımsız. $E|X - Y| = ?$ **Triki:** $M = \max, L = \min$. $|X - Y| = M - L$, $X + Y = M + L$: $$ E(M - L) = \tfrac{1}{3}, \quad E(M + L) = 1 \;\Rightarrow\; E(M) = \tfrac{2}{3}, \;E(L) = \tfrac{1}{3} $$ ```{python} #| label: fig-uniform-uzaklik #| fig-cap: "İki bağımsız Uniform(0,1)'in beklenen uzaklığı = 1/3. Max ortalama 2/3, min ortalama 1/3 — \"ortalama düzende\" noktalar 1/3 ve 2/3'te oturur. Sıra istatistiklerinin en basit hali." #| fig-width: 9 #| fig-height: 4.5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt rng = np.random.default_rng(0) N = 1_000_000 X = rng.uniform(0, 1, N) Y = rng.uniform(0, 1, N) uzakliklar = np.abs(X - Y) maxler = np.maximum(X, Y) minler = np.minimum(X, Y) fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5)) ax.hist(uzakliklar, bins=80, density=True, color='#A51C30', alpha=0.7, label=f'|X-Y| dağılımı (sim mean = {uzakliklar.mean():.4f})', edgecolor='#6B0E1B') ax.axvline(1/3, color='#15803d', linestyle='--', linewidth=2.5, label='Teorik E|X-Y| = 1/3 ≈ 0.333') ax.set_xlabel('|X - Y|', fontsize=12) ax.set_ylabel('yoğunluk', fontsize=12) ax.set_title(f'E|X-Y| = 1/3; E(max) = {maxler.mean():.3f} (teori 2/3); E(min) = {minler.mean():.3f} (teori 1/3)', fontsize=11) ax.legend(fontsize=11) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Poisson Splitting (Tavuk-Yumurta) {#sec-splitting} $N \sim$ Pois(λ) yumurta, her biri bağımsız $p$ olasılıkla çıkıyor. $X$ = çıkan, $Y$ = çıkmayan, $X + Y = N$. $$ P(X=i, Y=j) = \binom{i+j}{i} p^i q^j \cdot \frac{e^{-\lambda}\lambda^{i+j}}{(i+j)!} $$ Sadeleştir: $$ = \frac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^i}{i!} \cdot \frac{e^{-\lambda q}(\lambda q)^j}{j!} $$ Joint **çarpanlara ayrıldı!** $$ X \perp Y, \quad X \sim \text{Pois}(\lambda p), \quad Y \sim \text{Pois}(\lambda q) $$ **Yalnızca Poisson'a özgü.** > *"this is actually a very special property of the Poisson."* — Blitzstein, 49:45 ::: {.callout-important title="Builder Notu — Thinning ve A/B Trafik"} **Poisson thinning/splitting** = bir Poisson akışını bağımsız alt-akışlara bölmek. Nokta süreçleri, ağ trafiği modellemesi, **yük dengeleme** (istekleri bağımsız kuyruklara), **A/B test trafik ayırma**. Bağımsızlık, alt-akışları ayrı analiz etmeyi kolaylaştırır — kovaryans düzeltmesi yok. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Üçlü:** joint → marjinal (∫) → koşullu (joint/marjinal); $f = f_{Y \mid X} \cdot f_X$. 2. **2D LOTUS:** $E(g) = \iint g \cdot f$. 3. **Bağımsız ⇒ ilişkisiz:** $E(XY) = E(X)E(Y)$. 4. **Disk:** marjinal yarım daire, koşullu uniform → bağımlı. 5. **İki uniform:** $E|X-Y| = 1/3$, max/min triki. 6. **Poisson splitting:** $X \perp Y$, ikisi Poisson. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Joint, marjinal ve koşullu dağılımlar bir **üçlüdür** — joint = koşullu × marjinal. **2D LOTUS** beklentileri dağılım bulmadan verir; **bağımsız ⇒ ilişkisiz ama tersi değil**; **Poisson splitting** alt-akışları bağımsız yapar. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: f(x,y) = x+y (0..1)². (a) Marjinal? (b) Koşullu? (c) Bağımsız mı?"} **Cevap:** (a) $f_X(x) = x + 1/2$. (b) $f_{Y \mid X} = (x+y)/(x+1/2)$. (c) $f_X f_Y \ne f$ → **bağımsız değil**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: f(x,y) = 4xy (0..1)². Bağımsız mı?"} **Cevap:** $f_X = 2x, f_Y = 2y$, çarpım $4xy = f$ → **bağımsız** (Beta(2,1) marjinalleri). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: X, Y ~ Unif(0,1) bağımsız. (a) E(XY)? (b) E(max)?"} **Cevap:** (a) $(1/2)(1/2) = 1/4$. (b) $2/3$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) N ~ Pois(100), p=0.02 dönüşüm. X dağılımı? Y'den bağımsız mı?"} **Cevap:** **Pois(2)**, $X \perp Y \sim \text{Pois}(98)$. A/B trafik ayırmanın temeli. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $f = c(x + y^2)$ (0..1)². (a) $c$? (b) Marjinaller? (c) Bağımsız mı? **Egzersiz 2.** $f = 6e^{-2x-3y}$ ($x, y > 0$). Marjinaller? Bağımsız mı? Oranlar? **Egzersiz 3.** $X, Y \sim$ Unif(0,1) bağımsız. $E(X+Y), E(XY), E((X-Y)^2)$? **Egzersiz 4.** *(Python — Uzaklık + Splitting)* ```{python} #| label: ex-joint-splitting #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) N = 1_000_000 X = rng.uniform(0, 1, N); Y = rng.uniform(0, 1, N) print(f"E|X-Y| ≈ {np.mean(np.abs(X-Y)):.4f} teori 1/3") print(f"E(max) ≈ {np.maximum(X,Y).mean():.4f} E(min) ≈ {np.minimum(X,Y).mean():.4f}") # Poisson splitting n = rng.poisson(100, N) x = rng.binomial(n, 0.02) y = n - x print(f"X ~ Pois? mean={x.mean():.3f}, var={x.var():.3f} (Pois(2): 2, 2)") print(f"corr(X,Y) = {np.corrcoef(x, y)[0,1]:.4f} (bağımsız → ≈ 0)") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* **Multinomial**: binomun $k$ kategoriye genellemesi. $X_i \sim$ Bin($n, p_i$) marjinal; $X_i, X_j$ **negatif ilişkili**. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 20: Multinomial ve Cauchy** — joint sayım, kategorik genelleme; oran dağılımı. ::: {.callout-warning title="Ders 20 öncesi yapılacak"} - Egzersiz 5 (Multinomial sezgisi) çöz. - Binom + MGF'i hatırla. - 2D LOTUS'u tekrar oku. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Joint PDF** | $\partial^2 F / \partial x \partial y$ | 2m45 | | **Marjinal** | $\int f(x,y) dy$ | 6m20 | | **Koşullu** | $f(x,y) / f_X(x)$ | 8m30 | | **Joint = K × M** | $f = f_{Y \mid X} f_X$ | 10m38 | | **Bağımsızlık** | $f = f_X f_Y$ | 11m48 | | **Disk** | Marjinal $\ne$ uniform; koşullu uniform | 16m13 | | **2D LOTUS** | $\iint g \cdot f$ | 22m09 | | **Bağımsız ⇒ ilişkisiz** | $E(XY) = E(X)E(Y)$; tersi yanlış | 24m48 | | **İki uniform** | $E\|X-Y\| = 1/3$ | 34m29 | | **Poisson splitting** | $X \perp Y$ Poisson | 49m45 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Koşullu $f(y \mid x)$** → denetimli, koşullu üretim. 2. **Joint = $\prod$ koşullu** → **autoregressive** (GPT). 3. **2D LOTUS** → çok değişkenli Monte Carlo. 4. **Bağımsız vs ilişkisiz** → **PCA vs ICA**. 5. **Heteroskedastik** → girdiye bağlı yayılım. 6. **Max/min** → sıra istatistikleri (Ders 25). 7. **Poisson splitting** → thinning, A/B trafik. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Joint/marjinal/koşullu üçlüsü ayrılmaz — $f = f_{Y \mid X} f_X$. **2D LOTUS** beklentileri dağılım bulmadan verir. **Bağımsız ⇒ ilişkisiz ama tersi değil** — korelasyon yalnız doğrusal yakalar. :::