19 MGF’lere Devam ve Joint Dağılımlar

Üstel/Normal/Poisson MGF; joint, marjinal, bağımsızlık

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 18: MGFs Continued; Joint Distributions (≈50 dk)
Okuma süresi: ≈34 dk

19.1 Bu Derste Ne Var?

Üstel MGF + tüm momentleri: $1/(1-t)$ geometrik seri → $E(X^n) = n!/\lambda^n$.
Normal momentleri (Taylor): $E(Z^{2n}) = (2n)!/(2^n n!)$.
Poisson MGF: $e^{\lambda(e^t - 1)}$; bağımsız toplam Poisson.
Joint dağılımlar: PMF/PDF, marjinal, bağımsızlık = çarpım.
Kare (bağımsız) vs disk (bağımlı) — destek kısıtı.

Builder Notu — ML Köprüleri

Normal çift momentleri = Wick/Isserlis teoremi — fizik, GP, derin öğrenme analizi.
Poisson toplam kapanışı → sayım birleştirme; Poisson regresyon log-link.
Joint + faktörizasyon → tüm üretici modeller; bağımsızlık = çarpım PGM/naive Bayes temeli.
Marjinalleştirme → inference, marginal likelihood, EM.
Destek geometrisi → manifold/kısıtlı dağılımlar, normalizing flows.

19.2 Üstel MGF ve Tüm Momentler

$X \sim$ Exp(1), LOTUS:

\[ M(t) = \int_0^\infty e^{tx} e^{-x} dx = \frac{1}{1-t}, \quad t < 1 \]

Geometrik seri olarak:

\[ \frac{1}{1-t} = \sum_n t^n = \sum_n n! \frac{t^n}{n!} \;\Rightarrow\; E(X^n) = n! \]

Genel Exp(λ): $E(Y^n) = n!/\lambda^n$.

19.3 Normal’in Tüm Momentleri

$M(t) = e^{t^2/2}$ Taylor:

\[ e^{t^2/2} = \sum_n \frac{(t^2/2)^n}{n!} = \sum_n \frac{t^{2n}}{2^n n!} \]

\[ E(Z^{2n}) = \frac{(2n)!}{2^n n!}, \qquad E(Z^{2n+1}) = 0 \]

Örüntü: $1, 3, 15, 105$ = $1, 1 \cdot 3, 1 \cdot 3 \cdot 5, 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ (çift faktöriyel).

Builder Notu — Wick / Isserlis

$(2n-1)!!$ = $2n$ kişiyi ikili eşlemelere ayırma sayısı! Isserlis / Wick teoremi: Gaussian’ın yüksek momentleri çift-eşleme + kovaryans çarpımıyla hesaplanır. Gaussian integraller, diyagramatik açılımlar.

19.4 Poisson MGF ve Toplamı

\[ M(t) = e^{-\lambda} \sum_k \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda(e^t - 1)} \]

Bağımsız toplam:

\[ M_{X+Y}(t) = e^{(\lambda + \mu)(e^t - 1)} \;\Rightarrow\; X + Y \sim \text{Pois}(\lambda + \mu) \]

X = Y tuzağı: $X + X = 2X$ Poisson değil (yalnız çift değerler; Var $= 4\lambda \ne 2\lambda$).

19.5 Joint Dağılımlar

2×2 PMF tablosu: 4 sayı $\ge 0$, toplam 1.

\[ F(x, y) = P(X \le x, Y \le y) \quad \text{(joint CDF)} \]

\[ P((X, Y) \in B) = \iint_B f(x, y)\, dx\, dy \]

Bağımsızlık:

\[ P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) \quad \forall x, y \]

Marjinalleştirme: $f_Y(y) = \int f(x, y) dx$. Joint → marjinal olur, marjinal → joint olmaz.

Builder Notu — Marjinalleştirme = Inference

Marjinalleştirme olasılıksal çıkarımın motorudur: latent değişkenleri Σ/∫ ile atmak marginal likelihood / evidence verir. EM, variational inference, Bayesçi model karşılaştırması hep buna dayanır. “Aynı marjinalli farklı joint” = copula’ların var olma nedeni.

19.6 Kare (Bağımsız) vs Disk (Bağımlı)

Kare $[0,1]^2$: $f = 1$. Marjinaller $f_X = f_Y = 1$ → bağımsız Uniform.

Disk $x^2 + y^2 \le 1$: $f = 1/\pi$ sabit. Ama X, Y BAĞIMLI! Destek dikdörtgen değil:

\[ x^2 + y^2 \le 1 \;\Rightarrow\; -\sqrt{1-x^2} \le Y \le \sqrt{1-x^2} \]

X’i bilmek Y’nin aralığını kısıtlıyor.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)
N = 5000

# Kare uniform
xs = rng.uniform(0, 1, N); ys = rng.uniform(0, 1, N)

# Disk uniform (rejection)
xd = rng.uniform(-1, 1, 3*N); yd = rng.uniform(-1, 1, 3*N)
inside = xd**2 + yd**2 <= 1
xd, yd = xd[inside][:N], yd[inside][:N]

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))

ax = axes[0]
ax.scatter(xs, ys, s=3, alpha=0.4, color='#A51C30')
ax.set_xlim(0, 1); ax.set_ylim(0, 1); ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Kare [0,1]² uniform — X ⊥ Y (bağımsız)', fontsize=11)
ax.set_xlabel('X'); ax.set_ylabel('Y')

ax = axes[1]
ax.scatter(xd, yd, s=3, alpha=0.4, color='#2C5282')
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
ax.plot(np.cos(theta), np.sin(theta), color='#1f2937', linewidth=2)
ax.set_xlim(-1.1, 1.1); ax.set_ylim(-1.1, 1.1); ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Disk uniform — yoğunluk sabit ama X, Y BAĞIMLI', fontsize=11)
ax.set_xlabel('X'); ax.set_ylabel('Y')

plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 19.1

Builder Notu — Manifold ve Kısıt

“Sabit yoğunluk ≠ bağımsız” — bağımsızlık hem yoğunluk faktörizasyonu hem destek = product set (dikdörtgen) ister. Manifold üzerindeki dağılımlar (normalizing flows, kısıtlı latent uzaylar) bileşenleri kaçınılmaz olarak bağlar.

19.7 Bu Dersin Özeti

Üstel MGF → $E(X^n) = n!/\lambda^n$.
Normal momentleri → $(2n)!/(2^n n!) = (2n-1)!!$ (Wick).
Poisson MGF → $e^{\lambda(e^t-1)}$; bağımsız toplam Poisson.
Joint: bağımsız = çarpım (tüm $x, y$).
Marjinal: Σ/∫ ile diğerini at.
Kare vs disk: destek kritik.

Tek bir cümle

MGF momentleri integral yerine örüntü tanımayla verir ve bağımsız toplamları çarpıma çevirir (Poisson toplamı yine Poisson); joint dağılımlar birden fazla değişkeni birlikte taşır — bağımsızlık = faktörizasyon + dikdörtgen destek.

19.8 Kontrol Soruları

Soru 1: Pois(λ) MGF e^(λ(et-1)). Türevlerle E, Var?

Cevap: $M'(0) = \lambda$, $M''(0) = \lambda + \lambda^2$ → Var $= \lambda$.

Soru 2: E(Z⁸)?

Cevap: $8!/(2^4 \cdot 4!) = 40320/384 = \mathbf{105} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Soru 3: 2×2 PMF P=[[.1,.4],[.3,.2]]. Marjinaller? Bağımsız mı?

Cevap: $P(X=0)=0{,}5, P(X=1)=0{,}5$; $P(Y=0)=0{,}4, P(Y=1)=0{,}6$. $P(X=0,Y=0) = 0{,}1 \ne 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2$ → bağımlı.

Soru 4: (Builder) Disk yoğunluğu sabit. Neden bağımsız değil?

Cevap: Yoğunluk faktörize gibi (sabit), ama destek $x^2 + y^2 \le 1$ dikdörtgen değil. $\mathbb{1}(x^2+y^2 \le 1)$ x ve y’nin fonksiyonu olarak ayrılamaz. Bağımsızlık iki şey ister.

19.9 Egzersizler

Egzersiz 1. Bin($n, p$) MGF’ten $E(X), \text{Var}(X) = npq$.

Egzersiz 2. $E(Z^{10})$ + çift faktöriyel doğrula.

Egzersiz 3. 2×2 bağımlı joint kur, koşullu $P(Y \mid X=0)$.

Egzersiz 4. (Python — toplam + disk)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N = 500_000

# Pois(2)+Pois(3) → Pois(5)
S = rng.poisson(2, N) + rng.poisson(3, N)
print(f"Pois+Pois: mean={S.mean():.3f}, var={S.var():.3f} (Pois(5): 5, 5)")

# Disk: korelasyon 0 ama bağımlı (kuyruk daralır)
x = rng.uniform(-1, 1, 3*N); y = rng.uniform(-1, 1, 3*N)
inside = x**2 + y**2 <= 1
x, y = x[inside], y[inside]
print(f"corr(X,Y) = {np.corrcoef(x, y)[0,1]:.4f} (≈ 0)")
print(f"std(Y | |X|<0.1) = {y[np.abs(x)<0.1].std():.3f}")
print(f"std(Y | |X|>0.9) = {y[np.abs(x)>0.9].std():.3f}  (çok daha küçük → bağımlı!)")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) Diskte $Y \mid X = x \sim$ Uniform$(-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2})$.

19.10 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 19: Birleşik, Koşullu ve Marjinal Dağılımlar — koşullu PDF, sürekli Bayes.

Ders 19 öncesi yapılacak

Egzersizleri çöz.
“Bağımsız = çarpım” + “destek dikdörtgen olmalı” reflekslerini pekiştir.

19.11 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Üstel MGF	$1/(1-t)$; $E(X^n) = n!/\lambda^n$	0m59
Normal moment	$(2n)!/(2^n n!) = (2n-1)!!$	12m06
Poisson MGF	$e^{\lambda(e^t-1)}$	17m49
Pois toplam	$\text{Pois}(\lambda+\mu)$	20m50
Joint	$f(x,y)$; $\iint = P$	30m04
Bağımsızlık	$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$	30m43
Marjinal	$f_Y(y) = \int f(x,y) dx$	38m12
Kare vs disk	Destek kritik	46m21

19.12 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

MGF momentleri → integral yerine türev/Taylor.
Wick/Isserlis → Gaussian momentleri = çift-eşleme.
Poisson toplam → sayım birleştirme.
Joint → tüm üretici modeller.
Bağımsızlık = çarpım → PGM, naive Bayes.
Marjinalleştirme → inference, EM, evidence.
Destek geometrisi → manifold, normalizing flows.

Tek bir şey alıp gideceksen

MGF momentleri örüntü tanımayla verir, bağımsız toplamı çarpıma çevirir; joint dağılımlar’da bağımsızlık = faktörizasyon + dikdörtgen destek.

--- title: "MGF'lere Devam ve Joint Dağılımlar" subtitle: "Üstel/Normal/Poisson MGF; joint, marjinal, bağımsızlık" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 18: MGFs Continued; Joint Distributions](https://www.youtube.com/watch?v=tVDdx6xUOcs) (≈50 dk) - **Okuma süresi:** ≈34 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Üstel MGF + tüm momentleri:** $1/(1-t)$ geometrik seri → $E(X^n) = n!/\lambda^n$. 2. **Normal momentleri (Taylor):** $E(Z^{2n}) = (2n)!/(2^n n!)$. 3. **Poisson MGF:** $e^{\lambda(e^t - 1)}$; bağımsız toplam Poisson. 4. **Joint dağılımlar:** PMF/PDF, marjinal, bağımsızlık = çarpım. 5. **Kare (bağımsız) vs disk (bağımlı)** — destek kısıtı. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Normal çift momentleri** = **Wick/Isserlis teoremi** — fizik, GP, derin öğrenme analizi. - **Poisson toplam kapanışı** → sayım birleştirme; Poisson regresyon log-link. - **Joint + faktörizasyon** → tüm üretici modeller; **bağımsızlık = çarpım** PGM/naive Bayes temeli. - **Marjinalleştirme** → **inference**, marginal likelihood, EM. - **Destek geometrisi** → manifold/kısıtlı dağılımlar, normalizing flows. ::: ## Üstel MGF ve Tüm Momentler {#sec-ustel-mgf} $X \sim$ Exp(1), LOTUS: $$ M(t) = \int_0^\infty e^{tx} e^{-x} dx = \frac{1}{1-t}, \quad t < 1 $$ Geometrik seri olarak: $$ \frac{1}{1-t} = \sum_n t^n = \sum_n n! \frac{t^n}{n!} \;\Rightarrow\; E(X^n) = n! $$ Genel Exp(λ): $E(Y^n) = n!/\lambda^n$. ## Normal'in Tüm Momentleri {#sec-normal-momentler} $M(t) = e^{t^2/2}$ Taylor: $$ e^{t^2/2} = \sum_n \frac{(t^2/2)^n}{n!} = \sum_n \frac{t^{2n}}{2^n n!} $$ $$ E(Z^{2n}) = \frac{(2n)!}{2^n n!}, \qquad E(Z^{2n+1}) = 0 $$ Örüntü: $1, 3, 15, 105$ = $1, 1 \cdot 3, 1 \cdot 3 \cdot 5, 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ (çift faktöriyel). ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Wick / Isserlis"} $(2n-1)!!$ = $2n$ kişiyi ikili eşlemelere ayırma sayısı! **Isserlis / Wick teoremi**: Gaussian'ın yüksek momentleri çift-eşleme + kovaryans çarpımıyla hesaplanır. Gaussian integraller, diyagramatik açılımlar. ::: ## Poisson MGF ve Toplamı {#sec-poisson-mgf} $$ M(t) = e^{-\lambda} \sum_k \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{\lambda(e^t - 1)} $$ **Bağımsız toplam:** $$ M_{X+Y}(t) = e^{(\lambda + \mu)(e^t - 1)} \;\Rightarrow\; X + Y \sim \text{Pois}(\lambda + \mu) $$ **X = Y tuzağı:** $X + X = 2X$ Poisson **değil** (yalnız çift değerler; Var $= 4\lambda \ne 2\lambda$). ## Joint Dağılımlar {#sec-joint} **2×2 PMF tablosu:** 4 sayı $\ge 0$, toplam 1. $$ F(x, y) = P(X \le x, Y \le y) \quad \text{(joint CDF)} $$ $$ P((X, Y) \in B) = \iint_B f(x, y)\, dx\, dy $$ **Bağımsızlık:** $$ P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y) \quad \forall x, y $$ **Marjinalleştirme:** $f_Y(y) = \int f(x, y) dx$. Joint → marjinal **olur**, marjinal → joint **olmaz**. ::: {.callout-important title="Builder Notu — Marjinalleştirme = Inference"} **Marjinalleştirme** olasılıksal çıkarımın motorudur: latent değişkenleri Σ/∫ ile atmak **marginal likelihood / evidence** verir. **EM**, **variational inference**, Bayesçi model karşılaştırması hep buna dayanır. "Aynı marjinalli farklı joint" = **copula**'ların var olma nedeni. ::: ## Kare (Bağımsız) vs Disk (Bağımlı) {#sec-kare-disk} **Kare $[0,1]^2$:** $f = 1$. Marjinaller $f_X = f_Y = 1$ → **bağımsız** Uniform. **Disk $x^2 + y^2 \le 1$:** $f = 1/\pi$ sabit. **Ama X, Y BAĞIMLI!** Destek dikdörtgen değil: $$ x^2 + y^2 \le 1 \;\Rightarrow\; -\sqrt{1-x^2} \le Y \le \sqrt{1-x^2} $$ X'i bilmek Y'nin aralığını **kısıtlıyor**. ```{python} #| label: fig-kare-disk #| fig-cap: "Kare vs disk uniform. Sol: kare — X ve Y bağımsız (her yatay/dikey kesit aynı dağılım). Sağ: disk — sabit yoğunluk 1/π, ama |X| büyüdükçe Y aralığı daralır = bağımlılık. Korelasyon 0 olabilir ama bağımsızlık değil." #| fig-width: 11 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt rng = np.random.default_rng(0) N = 5000 # Kare uniform xs = rng.uniform(0, 1, N); ys = rng.uniform(0, 1, N) # Disk uniform (rejection) xd = rng.uniform(-1, 1, 3*N); yd = rng.uniform(-1, 1, 3*N) inside = xd**2 + yd**2 <= 1 xd, yd = xd[inside][:N], yd[inside][:N] fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5)) ax = axes[0] ax.scatter(xs, ys, s=3, alpha=0.4, color='#A51C30') ax.set_xlim(0, 1); ax.set_ylim(0, 1); ax.set_aspect('equal') ax.set_title('Kare [0,1]² uniform — X ⊥ Y (bağımsız)', fontsize=11) ax.set_xlabel('X'); ax.set_ylabel('Y') ax = axes[1] ax.scatter(xd, yd, s=3, alpha=0.4, color='#2C5282') theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100) ax.plot(np.cos(theta), np.sin(theta), color='#1f2937', linewidth=2) ax.set_xlim(-1.1, 1.1); ax.set_ylim(-1.1, 1.1); ax.set_aspect('equal') ax.set_title('Disk uniform — yoğunluk sabit ama X, Y BAĞIMLI', fontsize=11) ax.set_xlabel('X'); ax.set_ylabel('Y') plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-important title="Builder Notu — Manifold ve Kısıt"} "**Sabit yoğunluk ≠ bağımsız**" — bağımsızlık hem yoğunluk faktörizasyonu hem **destek = product set (dikdörtgen)** ister. **Manifold üzerindeki** dağılımlar (normalizing flows, kısıtlı latent uzaylar) bileşenleri kaçınılmaz olarak bağlar. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Üstel MGF** → $E(X^n) = n!/\lambda^n$. 2. **Normal momentleri** → $(2n)!/(2^n n!) = (2n-1)!!$ (Wick). 3. **Poisson MGF** → $e^{\lambda(e^t-1)}$; bağımsız toplam Poisson. 4. **Joint:** bağımsız = çarpım (tüm $x, y$). 5. **Marjinal:** Σ/∫ ile diğerini at. 6. **Kare vs disk:** destek kritik. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **MGF** momentleri integral yerine **örüntü tanımayla** verir ve bağımsız toplamları çarpıma çevirir (Poisson toplamı yine Poisson); **joint dağılımlar** birden fazla değişkeni birlikte taşır — **bağımsızlık = faktörizasyon + dikdörtgen destek**. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Pois(λ) MGF e^(λ(e^t-1)). Türevlerle E, Var?"} **Cevap:** $M'(0) = \lambda$, $M''(0) = \lambda + \lambda^2$ → Var $= \lambda$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: E(Z⁸)?"} **Cevap:** $8!/(2^4 \cdot 4!) = 40320/384 = \mathbf{105} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: 2×2 PMF P=[[.1,.4],[.3,.2]]. Marjinaller? Bağımsız mı?"} **Cevap:** $P(X=0)=0{,}5, P(X=1)=0{,}5$; $P(Y=0)=0{,}4, P(Y=1)=0{,}6$. $P(X=0,Y=0) = 0{,}1 \ne 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2$ → **bağımlı**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Disk yoğunluğu sabit. Neden bağımsız değil?"} **Cevap:** Yoğunluk faktörize gibi (sabit), ama **destek** $x^2 + y^2 \le 1$ dikdörtgen değil. $\mathbb{1}(x^2+y^2 \le 1)$ x ve y'nin fonksiyonu olarak ayrılamaz. Bağımsızlık iki şey ister. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** Bin($n, p$) MGF'ten $E(X), \text{Var}(X) = npq$. **Egzersiz 2.** $E(Z^{10})$ + çift faktöriyel doğrula. **Egzersiz 3.** 2×2 bağımlı joint kur, koşullu $P(Y \mid X=0)$. **Egzersiz 4.** *(Python — toplam + disk)* ```{python} #| label: ex-joint #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) N = 500_000 # Pois(2)+Pois(3) → Pois(5) S = rng.poisson(2, N) + rng.poisson(3, N) print(f"Pois+Pois: mean={S.mean():.3f}, var={S.var():.3f} (Pois(5): 5, 5)") # Disk: korelasyon 0 ama bağımlı (kuyruk daralır) x = rng.uniform(-1, 1, 3*N); y = rng.uniform(-1, 1, 3*N) inside = x**2 + y**2 <= 1 x, y = x[inside], y[inside] print(f"corr(X,Y) = {np.corrcoef(x, y)[0,1]:.4f} (≈ 0)") print(f"std(Y | |X|<0.1) = {y[np.abs(x)<0.1].std():.3f}") print(f"std(Y | |X|>0.9) = {y[np.abs(x)>0.9].std():.3f} (çok daha küçük → bağımlı!)") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* Diskte $Y \mid X = x \sim$ Uniform$(-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2})$. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 19: Birleşik, Koşullu ve Marjinal Dağılımlar** — koşullu PDF, sürekli Bayes. ::: {.callout-warning title="Ders 19 öncesi yapılacak"} - Egzersizleri çöz. - "Bağımsız = çarpım" + "destek dikdörtgen olmalı" reflekslerini pekiştir. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Üstel MGF** | $1/(1-t)$; $E(X^n) = n!/\lambda^n$ | 0m59 | | **Normal moment** | $(2n)!/(2^n n!) = (2n-1)!!$ | 12m06 | | **Poisson MGF** | $e^{\lambda(e^t-1)}$ | 17m49 | | **Pois toplam** | $\text{Pois}(\lambda+\mu)$ | 20m50 | | **Joint** | $f(x,y)$; $\iint = P$ | 30m04 | | **Bağımsızlık** | $f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ | 30m43 | | **Marjinal** | $f_Y(y) = \int f(x,y) dx$ | 38m12 | | **Kare vs disk** | Destek kritik | 46m21 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **MGF momentleri** → integral yerine türev/Taylor. 2. **Wick/Isserlis** → Gaussian momentleri = çift-eşleme. 3. **Poisson toplam** → sayım birleştirme. 4. **Joint** → tüm üretici modeller. 5. **Bağımsızlık = çarpım** → PGM, naive Bayes. 6. **Marjinalleştirme** → inference, EM, evidence. 7. **Destek geometrisi** → manifold, normalizing flows. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **MGF** momentleri örüntü tanımayla verir, bağımsız toplamı çarpıma çevirir; **joint dağılımlar**'da bağımsızlık = **faktörizasyon + dikdörtgen destek**. :::