15 Konum, Ölçek ve LOTUS

X = μ + σZ, varyans kuralları, Poisson(λ) ve Binom(npq) varyansı

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 14: Location, Scale, and LOTUS (≈49 dk)
Okuma süresi: ≈34 dk

15.1 Bu Derste Ne Var?

Konum-ölçek: $X = \mu + \sigma Z$ ile her Normal standart Normal’e indirgenir.
Varyansın özellikleri: Var$(X + c)$ = Var$(X)$; Var$(cX) = c^2$Var$(X)$; doğrusal değil.
Bağımsız Normal toplamı = Normal (kapanış).
LOTUS ile varyans: Poisson($\lambda$) → Var $= \lambda$; Binom($n,p$) → Var $= npq$.

Builder Notu — ML Köprüleri

Standardizasyon → batch / layer normalization; feature scaling; z-skoru boyutsuz.
Var$(cX) = c^2$Var$(X)$ → gradyan/gürültü ölçeklemesi; Var$(\bar{X}) = \sigma^2/n$.
Bağımsız Normal kapanışı → diffusion ileri süreci tek hamlede; Kalman, GP.
LOTUS ispatı = Monte Carlo garantisi.

15.2 Konum-Ölçek: X = μ + σZ

\[ X = \mu + \sigma Z, \quad Z \sim N(0, 1), \;\sigma > 0 \;\Rightarrow\; X \sim N(\mu, \sigma^2) \]

$\mu$ konum (kaydırma).
$\sigma$ ölçek (genişlik).

Standardizasyon: $Z = (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)$. Boyutsuz (birimler sadeleşir).

Builder Notu — Batch Norm

Batch / layer normalization tam olarak standardizasyon: aktivasyonları $(x - \mu)/\sigma$ ile normalize, sonra öğrenilen $\gamma, \beta$ ile yeniden ölçekle. VAE reparameterization: $x = \mu + \sigma \epsilon$, $\epsilon \sim N(0,1)$.

15.3 Varyansın Özellikleri

\[ \text{Var}(X + c) = \text{Var}(X), \qquad \text{Var}(cX) = c^2 \text{Var}(X) \]

Kareyi unutma — c negatifse karesiz negatif varyans çıkar! Varyans $\ge 0$ her zaman; = 0 ⇔ X sabit.

Doğrusal değil:

\[ \text{Var}(X + Y) \ne \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (\text{genelde}) \]

Eşitlik bağımsızsa. X kendisiyle bağımsız değil:

\[ \text{Var}(X + X) = \text{Var}(2X) = 4\,\text{Var}(X) \]

“x is not IID with itself.” — Blitzstein, 11:46

Builder Notu — Negatif Varyans Yok

“Negatif varyans = bir yerde hata” sanity check. Kovaryans matrislerinin pozitif yarı-tanımlı olması gerektiğinin habercisidir. Minibatch ortalamasının Var$(\bar{X}) = \sigma^2/n$ — gradyan gürültüsünün $n$ ile küçülmesinin temeli.

15.4 Genel Normal PDF (Zincir Kuralı)

\[ F(x) = P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) \]

Türev (zincir kuralı):

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)} \]

Ezberleme — standardizasyon + zincir kuralıyla iki satırda türet.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

x = np.linspace(-6, 8, 500)
params = [(0, 1, '#A51C30'), (2, 1, '#DD6B20'), (0, 2, '#2C5282'), (1, 0.5, '#6B46C1')]

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))

# Sol: farklı PDF'ler
ax = axes[0]
for mu, sigma, c in params:
    pdf = norm.pdf(x, mu, sigma)
    ax.plot(x, pdf, color=c, linewidth=2.2, label=f'N(μ={mu}, σ²={sigma**2})')
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12)
ax.set_title('Genel Normal — μ kaydırır, σ genişletir', fontsize=12)
ax.legend(loc='upper right', fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim(-6, 8)

# Sağ: standardizasyon hepsi N(0,1) olur
ax = axes[1]
z = np.linspace(-4, 4, 400)
for mu, sigma, c in params:
    # Birkaç sample alıp standardize et
    pass
ax.plot(z, norm.pdf(z), color='#1f2937', linewidth=2.5, label='N(0,1)')
ax.fill_between(z, 0, norm.pdf(z), alpha=0.3, color='#A51C30')
ax.set_xlabel('Z = (X − μ)/σ', fontsize=12)
ax.set_ylabel('φ(z)', fontsize=12)
ax.set_title('Standardizasyon: tüm Normal\'ler N(0,1)\'e iner (boyutsuz)', fontsize=12)
ax.legend(loc='upper right', fontsize=11)
ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 15.1

15.5 Bağımsız Normal Toplamı = Normal

$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ bağımsız:

\[ X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) \]

Fark için de varyanslar TOPLANIR (çünkü $-X_2$’nin varyansı hâlâ $\sigma_2^2$):

\[ X_1 - X_2 \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) \]

Builder Notu — Diffusion Kapanışı

Normal’in kapanışı ML’de muazzam: Gaussian + Gaussian = Gaussian. Diffusion ileri süreci her adımda bağımsız Gaussian gürültü ekler; varyanslar biriktiğinden herhangi bir gürültü seviyesine tek hamlede atlanabilir. Kalman filtreleri, Gaussian process’ler hep bu kapanışa dayanır.

15.6 68-95-99,7 Kuralı

\[ P(|X - \mu| < \sigma) \approx 68\%, \quad P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 95\%, \quad P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 99{,}7\% \]

Builder Notu — Outlier ve Sigma Dili

Aykırı değer tespiti ve güven aralıkları: 3σ dışı şüpheli (%0,3). Fizik keşiflerinde “5σ” dili, süreç kontrolü, anomali tespiti. Yalnızca Normal için; ağır kuyrukta yanıltır.

15.7 LOTUS ile Varyans: Poisson ve Binom

Poisson($\lambda$) varyansı. Faktöriyel moment $E(X(X-1))$ ile temiz yol:

\[ E(X(X-1)) = \sum k(k-1) \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\lambda^2 \sum_{j \ge 0} \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^2 \]

$E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$ → $\text{Var}(X) = \lambda$.

Poisson: ortalama = varyans = $\lambda$.

Binom($n, p$) varyansı (göstergeler): $X = I_1 + \ldots + I_n$.

\[ E(X^2) = n E(I_1^2) + n(n-1) E(I_1 I_2) = np + n(n-1)p^2 \]

$E(I_1^2) = p$ (gösterge!), $E(I_1 I_2) = p^2$ (bağımsız). Çıkarınca:

\[ \text{Var}(X) = np - np^2 = np(1-p) = npq \]

Builder Notu — Overdispersion ve A/B Test

Poisson: ortalama = varyans sayım modellerinin temel varsayımı. Varyans > ortalama (overdispersion) → negatif binom. A/B testlerinde dönüşüm oranı belirsizliği $\sqrt{npq}$.

15.8 LOTUS İspatı (Kesikli)

\[ \sum_x g(x) P(X = x) = \sum_s g(X(s)) P(s) \]

Sağdan başla, $X(s) = x$ olan tüm $s$’leri grupla:

\[ \sum_s g(X(s)) P(s) = \sum_x \sum_{s: X(s) = x} g(x) P(s) = \sum_x g(x) P(X = x) \]

Gruplu = grupsuz.

Builder Notu — Monte Carlo Garantisi

LOTUS ispatı Monte Carlo’nun teorik garantisi: $E[g(X)]$’i, X’ten örnekleyip $g$’yi ortalayarak kestirmek geçerlidir. $E[\text{loss}]$, $E[\text{ödül}]$, policy gradient hep bu eşitliğe dayanır — $g(X)$’in dağılımını bilmeden.

15.9 Bu Dersin Özeti

Konum-ölçek: $X = \mu + \sigma Z$, standardizasyon $Z = (X-\mu)/\sigma$.
Varyans: $\text{Var}(cX) = c^2 \text{Var}(X)$; $\ge 0$; doğrusal değil; $\text{Var}(X+X) = 4\text{Var}(X)$.
Genel Normal: $E = \mu$, Var $= \sigma^2$; PDF zincir kuralıyla.
Kapanış: bağımsız Normal toplamı Normal (varyanslar toplanır, farkta bile).
68-95-99,7 kuralı.
Poisson: Var $= \lambda$. Binom: Var $= npq$.
LOTUS ispatı: gruplu = grupsuz toplam.

Tek bir cümle

Her Normal tek bir standart Normal’in kaydırılıp ölçeklenmiş hâlidir ($X = \mu + \sigma Z$); varyans sabitle kareyle ölçeklenir, doğrusal değildir (yalnız bağımsızlıkta toplanır); ve LOTUS (gruplu = grupsuz toplam) hem Poisson’un ($\lambda$) hem Binom’un ($npq$) varyansını verir hem de modern Monte Carlo’nun teorik temelidir.

15.10 Kontrol Soruları

Soru 1: X ~ N(5, 4). (a) Var(3X−1)? (b) Standardize. (c) P(1 < X < 9)?

Cevap: (a) $9 \cdot 4 = \mathbf{36}$. (b) $Z = (X-5)/2$. (c) $1 = \mu - 2\sigma$, $9 = \mu + 2\sigma$ → $\mathbf{\approx 95\%}$.

Soru 2: X, Y bağımsız. Var(X-Y)? Var(X-X) neden 0?

Cevap: $\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$. $X - X = 0$, sabit → $\text{Var} = 0$. X kendisiyle bağımsız değil!

Soru 3: X ~ Pois(λ). E(X(X-1))?

Cevap: Faktöriyel moment → $\lambda^2$. $E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$, $\text{Var}(X) = \lambda$.

Soru 4: (Builder) Diffusion: x ~ N(μ, σ²), ε ~ N(0, τ²) bağımsız. x + ε?

Cevap: $N(\mu, \sigma^2 + \tau^2)$. Kapanış sayesinde t adım sonraki dağılım kapalı formda, tek hamlede atlanabilir.

15.11 Egzersizler

Egzersiz 1. $X \sim N(-2, 9)$. (a) PDF aç. (b) Standardize. (c) $P(-5 < X < 1)$? (d) $\text{Var}(2X-7)$?

Egzersiz 2. $\text{Var}(X)=4, \text{Var}(Y)=9$ bağımsız. (a) $\text{Var}(2X+3Y)$? (b) $\text{Var}(X-Y)$? (c) $\text{Var}(7)$?

Egzersiz 3. $X \sim$ Geom($p$). Türev numarasıyla $E(X^2)$, sonra Var$(X) = q/p^2$.

Egzersiz 4. (Python — Var doğrulama)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N = 500_000

lam = 4.0
print(f"Var(Pois({lam})) sim: {rng.poisson(lam, N).var():.3f}  teorik: {lam}")

n, p = 20, 0.3
print(f"Var(Bin({n},{p})) sim: {rng.binomial(n, p, N).var():.3f}  teorik npq: {n*p*(1-p)}")

# 68-95-99.7
Z = rng.standard_normal(N)
for k in (1, 2, 3):
    print(f"P(|Z|<{k}) ≈ {np.mean(np.abs(Z) < k):.4f}")

# Kapanış
S = rng.normal(1, 2, N) + rng.normal(-2, 3, N)
print(f"N(1,4)+N(-2,9) → mean={S.mean():.2f} (teori -1), var={S.var():.2f} (teori 13)")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) Genel formül $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$. (a) Türet. (b) Bağımsızlıkta $\text{Cov} = 0$ → varyans toplamı. (c) $\text{Var}(X+X) = 4\text{Var}(X)$, $\text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X)$.

15.12 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 15: Ara Sınav İncelemesi — yeni konu yok, tekrar oturumu (Ders 1-14).

Ders 15 öncesi yapılacak

Ders 1-14 “Tek Bir Cümle” + Cheat Sheet’leri arka arkaya oku.
Bernoulli/Binom/Poisson/Geometrik/Uniform/Normal — ortalama + varyans ezberden.
Egzersizleri çöz, özellikle 5 (Cov habercisi).

15.13 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Konum-ölçek	$X = \mu + \sigma Z \Rightarrow N(\mu, \sigma^2)$	4m27
Standardizasyon	$Z = (X-\mu)/\sigma$; boyutsuz	13m15
Var($X+c$)	$= \text{Var}(X)$	7m43
Var($cX$)	$= c^2 \text{Var}(X)$	8m09
Var $\ge 0$	$= 0 \iff X$ sabit	8m56
Var doğrusal değil	Yalnız bağımsızsa toplanır	9m58
Genel Normal PDF	$(1/\sigma)\varphi((x-\mu)/\sigma)$	16m06
Bağımsız Normal toplam	$N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$; farkta bile	18m37
68-95-99,7	$\pm\sigma, \pm 2\sigma, \pm 3\sigma$	20m32
Var(Poisson $\lambda$)	$\lambda$	31m17
Var(Binom $n,p$)	$npq$	40m21
LOTUS ispatı	Gruplu = grupsuz	44m06

15.14 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Standardizasyon → batch / layer normalization, feature scaling.
Reparameterization → VAE: $x = \mu + \sigma\epsilon$.
Var($cX$) = $c^2$Var → gradyan ölçekleme; $\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$.
Kapanış → diffusion, Kalman, GP.
68-95-99,7 → outlier, güven aralığı, sigma dili.
Poisson Var = $\lambda$ → overdispersion → NB; A/B test $\sqrt{npq}$.
LOTUS ispatı → Monte Carlo garantisi; policy gradient.

Tek bir şey alıp gideceksen

Tüm Normal dünyası tek bir şablonun ($Z$) kaydırılıp ölçeklenmesi ($X = \mu + \sigma Z$). Varyans kareyle ölçeklenir, doğrusal değildir, yalnız bağımsızlıkta toplanır. LOTUS modern Monte Carlo’nun temelidir.

--- title: "Konum, Ölçek ve LOTUS" subtitle: "X = μ + σZ, varyans kuralları, Poisson(λ) ve Binom(npq) varyansı" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 14: Location, Scale, and LOTUS](https://www.youtube.com/watch?v=9vp1Ll2NpRw) (≈49 dk) - **Okuma süresi:** ≈34 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Konum-ölçek:** $X = \mu + \sigma Z$ ile her Normal standart Normal'e indirgenir. 2. **Varyansın özellikleri:** Var$(X + c)$ = Var$(X)$; Var$(cX) = c^2$Var$(X)$; doğrusal değil. 3. **Bağımsız Normal toplamı = Normal** (kapanış). 4. **LOTUS ile varyans:** Poisson($\lambda$) → Var $= \lambda$; Binom($n,p$) → Var $= npq$. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Standardizasyon** → **batch / layer normalization**; feature scaling; z-skoru boyutsuz. - **Var$(cX) = c^2$Var$(X)$** → gradyan/gürültü ölçeklemesi; Var$(\bar{X}) = \sigma^2/n$. - **Bağımsız Normal kapanışı** → **diffusion** ileri süreci tek hamlede; Kalman, GP. - **LOTUS ispatı** = **Monte Carlo garantisi**. ::: ## Konum-Ölçek: X = μ + σZ {#sec-konum-olcek} $$ X = \mu + \sigma Z, \quad Z \sim N(0, 1), \;\sigma > 0 \;\Rightarrow\; X \sim N(\mu, \sigma^2) $$ - $\mu$ konum (kaydırma). - $\sigma$ ölçek (genişlik). **Standardizasyon:** $Z = (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)$. **Boyutsuz** (birimler sadeleşir). ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Batch Norm"} **Batch / layer normalization** tam olarak standardizasyon: aktivasyonları $(x - \mu)/\sigma$ ile normalize, sonra öğrenilen $\gamma, \beta$ ile yeniden ölçekle. **VAE reparameterization:** $x = \mu + \sigma \epsilon$, $\epsilon \sim N(0,1)$. ::: ## Varyansın Özellikleri {#sec-varyans-ozellik} $$ \text{Var}(X + c) = \text{Var}(X), \qquad \text{Var}(cX) = c^2 \text{Var}(X) $$ **Kareyi unutma** — c negatifse karesiz negatif varyans çıkar! Varyans $\ge 0$ her zaman; = 0 ⇔ X sabit. **Doğrusal değil:** $$ \text{Var}(X + Y) \ne \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (\text{genelde}) $$ Eşitlik **bağımsızsa**. X kendisiyle bağımsız değil: $$ \text{Var}(X + X) = \text{Var}(2X) = 4\,\text{Var}(X) $$ > *"x is not IID with itself."* — Blitzstein, 11:46 ::: {.callout-important title="Builder Notu — Negatif Varyans Yok"} "Negatif varyans = bir yerde hata" sanity check. Kovaryans matrislerinin **pozitif yarı-tanımlı** olması gerektiğinin habercisidir. Minibatch ortalamasının Var$(\bar{X}) = \sigma^2/n$ — gradyan gürültüsünün $n$ ile küçülmesinin temeli. ::: ## Genel Normal PDF (Zincir Kuralı) {#sec-genel-normal-pdf} $$ F(x) = P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $$ Türev (zincir kuralı): $$ f(x) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)} $$ Ezberleme — standardizasyon + zincir kuralıyla iki satırda türet. ```{python} #| label: fig-genel-normal #| fig-cap: "Genel Normal N(μ, σ²) farklı parametrelerle. σ küçüldükçe tepe yükselir (yoğunluk 1'i aşar!), σ büyüdükçe yayılır. Standardizasyon (sağ) hepsini N(0,1)'e indirger — batch norm'un olasılıksal temeli." #| fig-width: 11 #| fig-height: 5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm x = np.linspace(-6, 8, 500) params = [(0, 1, '#A51C30'), (2, 1, '#DD6B20'), (0, 2, '#2C5282'), (1, 0.5, '#6B46C1')] fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5)) # Sol: farklı PDF'ler ax = axes[0] for mu, sigma, c in params: pdf = norm.pdf(x, mu, sigma) ax.plot(x, pdf, color=c, linewidth=2.2, label=f'N(μ={mu}, σ²={sigma**2})') ax.set_xlabel('x', fontsize=12) ax.set_ylabel('f(x)', fontsize=12) ax.set_title('Genel Normal — μ kaydırır, σ genişletir', fontsize=12) ax.legend(loc='upper right', fontsize=10) ax.grid(True, alpha=0.3) ax.set_xlim(-6, 8) # Sağ: standardizasyon hepsi N(0,1) olur ax = axes[1] z = np.linspace(-4, 4, 400) for mu, sigma, c in params: # Birkaç sample alıp standardize et pass ax.plot(z, norm.pdf(z), color='#1f2937', linewidth=2.5, label='N(0,1)') ax.fill_between(z, 0, norm.pdf(z), alpha=0.3, color='#A51C30') ax.set_xlabel('Z = (X − μ)/σ', fontsize=12) ax.set_ylabel('φ(z)', fontsize=12) ax.set_title('Standardizasyon: tüm Normal\'ler N(0,1)\'e iner (boyutsuz)', fontsize=12) ax.legend(loc='upper right', fontsize=11) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Bağımsız Normal Toplamı = Normal {#sec-toplam} $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ bağımsız: $$ X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) $$ **Fark için de varyanslar TOPLANIR** (çünkü $-X_2$'nin varyansı hâlâ $\sigma_2^2$): $$ X_1 - X_2 \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) $$ ::: {.callout-important title="Builder Notu — Diffusion Kapanışı"} **Normal'in kapanışı** ML'de muazzam: Gaussian + Gaussian = Gaussian. **Diffusion ileri süreci** her adımda bağımsız Gaussian gürültü ekler; varyanslar biriktiğinden **herhangi bir gürültü seviyesine tek hamlede atlanabilir**. Kalman filtreleri, Gaussian process'ler hep bu kapanışa dayanır. ::: ## 68-95-99,7 Kuralı {#sec-68-95-997} $$ P(|X - \mu| < \sigma) \approx 68\%, \quad P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 95\%, \quad P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 99{,}7\% $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Outlier ve Sigma Dili"} **Aykırı değer tespiti** ve güven aralıkları: 3σ dışı şüpheli (%0,3). Fizik keşiflerinde "5σ" dili, süreç kontrolü, anomali tespiti. **Yalnızca Normal için**; ağır kuyrukta yanıltır. ::: ## LOTUS ile Varyans: Poisson ve Binom {#sec-lotus-varyans} **Poisson($\lambda$) varyansı.** Faktöriyel moment $E(X(X-1))$ ile temiz yol: $$ E(X(X-1)) = \sum k(k-1) \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\lambda^2 \sum_{j \ge 0} \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^2 $$ $E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$ → $\text{Var}(X) = \lambda$. **Poisson: ortalama = varyans = $\lambda$.** **Binom($n, p$) varyansı (göstergeler):** $X = I_1 + \ldots + I_n$. $$ E(X^2) = n E(I_1^2) + n(n-1) E(I_1 I_2) = np + n(n-1)p^2 $$ $E(I_1^2) = p$ (gösterge!), $E(I_1 I_2) = p^2$ (bağımsız). Çıkarınca: $$ \text{Var}(X) = np - np^2 = np(1-p) = npq $$ ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Overdispersion ve A/B Test"} **Poisson: ortalama = varyans** sayım modellerinin temel varsayımı. Varyans > ortalama (**overdispersion**) → negatif binom. **A/B testlerinde** dönüşüm oranı belirsizliği $\sqrt{npq}$. ::: ## LOTUS İspatı (Kesikli) {#sec-lotus-ispat} $$ \sum_x g(x) P(X = x) = \sum_s g(X(s)) P(s) $$ Sağdan başla, $X(s) = x$ olan tüm $s$'leri grupla: $$ \sum_s g(X(s)) P(s) = \sum_x \sum_{s: X(s) = x} g(x) P(s) = \sum_x g(x) P(X = x) $$ **Gruplu = grupsuz.** ::: {.callout-important title="Builder Notu — Monte Carlo Garantisi"} LOTUS ispatı **Monte Carlo'nun teorik garantisi**: $E[g(X)]$'i, X'ten örnekleyip $g$'yi ortalayarak kestirmek geçerlidir. $E[\text{loss}]$, $E[\text{ödül}]$, **policy gradient** hep bu eşitliğe dayanır — $g(X)$'in dağılımını bilmeden. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Konum-ölçek:** $X = \mu + \sigma Z$, standardizasyon $Z = (X-\mu)/\sigma$. 2. **Varyans:** $\text{Var}(cX) = c^2 \text{Var}(X)$; $\ge 0$; doğrusal değil; $\text{Var}(X+X) = 4\text{Var}(X)$. 3. **Genel Normal:** $E = \mu$, Var $= \sigma^2$; PDF zincir kuralıyla. 4. **Kapanış:** bağımsız Normal toplamı Normal (varyanslar toplanır, farkta bile). 5. **68-95-99,7** kuralı. 6. **Poisson:** Var $= \lambda$. **Binom:** Var $= npq$. 7. **LOTUS ispatı:** gruplu = grupsuz toplam. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Her Normal tek bir standart Normal'in kaydırılıp ölçeklenmiş hâlidir ($X = \mu + \sigma Z$); varyans sabitle **kareyle** ölçeklenir, doğrusal değildir (yalnız bağımsızlıkta toplanır); ve **LOTUS** (gruplu = grupsuz toplam) hem Poisson'un ($\lambda$) hem Binom'un ($npq$) varyansını verir hem de **modern Monte Carlo'nun teorik temelidir**. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: X ~ N(5, 4). (a) Var(3X−1)? (b) Standardize. (c) P(1 < X < 9)?"} **Cevap:** (a) $9 \cdot 4 = \mathbf{36}$. (b) $Z = (X-5)/2$. (c) $1 = \mu - 2\sigma$, $9 = \mu + 2\sigma$ → $\mathbf{\approx 95\%}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: X, Y bağımsız. Var(X-Y)? Var(X-X) neden 0?"} **Cevap:** $\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$. $X - X = 0$, sabit → $\text{Var} = 0$. X kendisiyle bağımsız değil! ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: X ~ Pois(λ). E(X(X-1))?"} **Cevap:** Faktöriyel moment → $\lambda^2$. $E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$, $\text{Var}(X) = \lambda$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) Diffusion: x ~ N(μ, σ²), ε ~ N(0, τ²) bağımsız. x + ε?"} **Cevap:** $N(\mu, \sigma^2 + \tau^2)$. Kapanış sayesinde t adım sonraki dağılım kapalı formda, **tek hamlede atlanabilir**. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $X \sim N(-2, 9)$. (a) PDF aç. (b) Standardize. (c) $P(-5 < X < 1)$? (d) $\text{Var}(2X-7)$? **Egzersiz 2.** $\text{Var}(X)=4, \text{Var}(Y)=9$ bağımsız. (a) $\text{Var}(2X+3Y)$? (b) $\text{Var}(X-Y)$? (c) $\text{Var}(7)$? **Egzersiz 3.** $X \sim$ Geom($p$). Türev numarasıyla $E(X^2)$, sonra Var$(X) = q/p^2$. **Egzersiz 4.** *(Python — Var doğrulama)* ```{python} #| label: ex-var-dogrula #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) N = 500_000 lam = 4.0 print(f"Var(Pois({lam})) sim: {rng.poisson(lam, N).var():.3f} teorik: {lam}") n, p = 20, 0.3 print(f"Var(Bin({n},{p})) sim: {rng.binomial(n, p, N).var():.3f} teorik npq: {n*p*(1-p)}") # 68-95-99.7 Z = rng.standard_normal(N) for k in (1, 2, 3): print(f"P(|Z|<{k}) ≈ {np.mean(np.abs(Z) < k):.4f}") # Kapanış S = rng.normal(1, 2, N) + rng.normal(-2, 3, N) print(f"N(1,4)+N(-2,9) → mean={S.mean():.2f} (teori -1), var={S.var():.2f} (teori 13)") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* Genel formül $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$. (a) Türet. (b) Bağımsızlıkta $\text{Cov} = 0$ → varyans toplamı. (c) $\text{Var}(X+X) = 4\text{Var}(X)$, $\text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X)$. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 15: Ara Sınav İncelemesi** — yeni konu yok, tekrar oturumu (Ders 1-14). ::: {.callout-warning title="Ders 15 öncesi yapılacak"} - Ders 1-14 "Tek Bir Cümle" + Cheat Sheet'leri arka arkaya oku. - Bernoulli/Binom/Poisson/Geometrik/Uniform/Normal — ortalama + varyans ezberden. - Egzersizleri çöz, özellikle 5 (Cov habercisi). ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Konum-ölçek** | $X = \mu + \sigma Z \Rightarrow N(\mu, \sigma^2)$ | 4m27 | | **Standardizasyon** | $Z = (X-\mu)/\sigma$; boyutsuz | 13m15 | | **Var($X+c$)** | $= \text{Var}(X)$ | 7m43 | | **Var($cX$)** | $= c^2 \text{Var}(X)$ | 8m09 | | **Var $\ge 0$** | $= 0 \iff X$ sabit | 8m56 | | **Var doğrusal değil** | Yalnız bağımsızsa toplanır | 9m58 | | **Genel Normal PDF** | $(1/\sigma)\varphi((x-\mu)/\sigma)$ | 16m06 | | **Bağımsız Normal toplam** | $N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$; farkta bile | 18m37 | | **68-95-99,7** | $\pm\sigma, \pm 2\sigma, \pm 3\sigma$ | 20m32 | | **Var(Poisson $\lambda$)** | $\lambda$ | 31m17 | | **Var(Binom $n,p$)** | $npq$ | 40m21 | | **LOTUS ispatı** | Gruplu = grupsuz | 44m06 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Standardizasyon** → **batch / layer normalization**, feature scaling. 2. **Reparameterization** → **VAE**: $x = \mu + \sigma\epsilon$. 3. **Var($cX$) = $c^2$Var** → gradyan ölçekleme; $\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$. 4. **Kapanış** → **diffusion**, Kalman, GP. 5. **68-95-99,7** → outlier, güven aralığı, sigma dili. 6. **Poisson Var = $\lambda$** → overdispersion → NB; A/B test $\sqrt{npq}$. 7. **LOTUS ispatı** → **Monte Carlo garantisi**; policy gradient. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Tüm Normal dünyası tek bir şablonun ($Z$) kaydırılıp ölçeklenmesi ($X = \mu + \sigma Z$). Varyans **kareyle** ölçeklenir, doğrusal değildir, yalnız bağımsızlıkta toplanır. **LOTUS** modern Monte Carlo'nun temelidir. :::