18 Moment Üreten Fonksiyonlar (MGF)

Belleksizlik = Üstel; M(t) = E(e^tX) — dağılımın parmak izi

Bölüm bilgisi

Blitzstein’in videosu: YouTube — Lecture 17: Moment Generating Functions (≈51 dk)
Okuma süresi: ≈36 dk

18.1 Bu Derste Ne Var?

Belleksizlik = Üstel: Tek belleksiz sürekli dağılım, fonksiyonel denklem ispatı.
MGF $M(t) = E(e^{tX})$: momentleri üretir, dağılımı belirler, bağımsız toplamı çarpıma çevirir.
Örnekler: Bern, Binom, Normal MGF.
Laplace ardışıklık kuralı: $(n+1)/(n+2)$.

“All the MGF is, is a fancy book keeping device for keeping track of the moments of a distribution.” — Blitzstein, 20:16

Builder Notu — ML Köprüleri

Belleksizlik karakterizasyonu → Weibull (üstelin kuvveti); sağkalım, sabit hazard testi.
MGF momentleri → kümülantlar; CLT (Ders 29) MGF yakınsamasıyla.
Bağımsız toplam = MGF çarpımı → Normal/Poisson kapanışı tek satırda.
Normal MGF / kareye tamamlama → Gaussian conjugacy (Bayesçi regresyon, GP, VAE KL).
Laplace ardışıklık $(n+1)/(n+2)$ = Laplace smoothing (add-one) — naive Bayes, n-gram.

18.2 Belleksizlik = Üstel (Fonksiyonel Denklem)

Teorem: Pozitif, sürekli, belleksiz bir RV → Üstel(λ).

Survival $G(x) = P(X > x)$ ile belleksizlik:

\[ G(s + t) = G(s)\,G(t) \]

Değerler takarak: tamsayı $k$ için $G(kt) = G(t)^k$; rasyonel için $G(t \cdot m/n) = G(t)^{m/n}$; süreklilikle her reel $x > 0$ için:

\[ G(xt) = G(t)^x \]

$t = 1$: $G(x) = G(1)^x = e^{-\lambda x}$, $\lambda = -\ln G(1) > 0$. ∎

“we’re solving for a function, not solving for the variable.” — Blitzstein, 9:33

18.3 MGF Tanımı ve Üç Önem

\[ M(t) = E(e^{tX}) \]

(0 etrafında bir aralıkta sonlu olmalı.)

Taylor: $e^{tX} = \sum (tX)^n/n!$ →

\[ M(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E(X^n)}{n!}\, t^n \]

Üç önem:

Moment üretir: $E(X^n) = M^{(n)}(0)$.
Dağılımı belirler: aynı MGF ⇒ aynı dağılım (parmak izi).
Bağımsız toplam → çarpım:

\[ M_{X+Y}(t) = M_X(t)\,M_Y(t) \quad (X \perp Y) \]

“Once you know the MGF, you know the distribution, at least in principle.” — Blitzstein, 27:24

Builder Notu — CLT’nin Motoru

Sebep 2 + 3 birlikte Normal/Poisson kapanışını tek satırda kanıtlar. CLT (Ders 29) MGF yakınsamasıyla: iid toplamın standardize MGF’i $e^{t^2/2}$’ye yakınsar.

18.4 Örnek MGF’ler

Bernoulli($p$):

\[ M(t) = pe^t + q \]

Binom($n, p$) — $n$ Bernoulli’nin toplamı, MGF kuvveti:

\[ M(t) = (pe^t + q)^n \]

Standart Normal $N(0,1)$ — kareye tamamlama:

\[ M(t) = \int e^{tz} \cdot \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dz = e^{t^2/2} \cdot \int \frac{e^{-(z-t)^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dz = e^{t^2/2} \]

Üstel(λ):

\[ M(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \quad t < \lambda \]

Poisson(λ):

\[ M(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} \]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-2, 2, 200)
M_normal = np.exp(t**2 / 2)
M_exp = 1 / (1 - t * 0.3)  # Exp(1/0.3)
M_exp[t * 0.3 >= 1] = np.nan

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4.5))
ax.plot(t, M_normal, color='#A51C30', linewidth=2.5, label='N(0,1): $M(t) = e^{t^2/2}$')
ax.plot(t, M_exp, color='#2C5282', linewidth=2.5, label='Exp(0.3): $M(t) = 0.3/(0.3-t)$')
ax.axhline(1, color='#6B7280', linestyle=':')
ax.axvline(0, color='#6B7280', linestyle=':')
ax.plot(0, 1, 'o', color='#1f2937', markersize=10)
ax.text(0.1, 1.05, 'M(0) = 1', fontsize=10)
ax.set_xlabel('t', fontsize=12)
ax.set_ylabel('M(t) = E(e^{tX})', fontsize=12)
ax.set_title('MGF — momentleri Taylor katsayılarında paketler', fontsize=12)
ax.legend(loc='upper center', fontsize=11)
ax.set_ylim(0, 7)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

Şekil 18.1

Builder Notu — Gaussian Conjugacy

Kareye tamamlama numarası Gaussian’larla yapılan hemen her hesabın altında: Bayesçi lineer regresyon, Gaussian process, VAE’nin KL terimi. “Kuadratik üstel + kareye tamamla → kapalı form Gaussian” deseni Gaussian conjugacy’nin motorudur.

18.5 Laplace’ın Ardışıklık Kuralı

Güneş yarın doğacak mı? $n$ gün üst üste doğduysa?

$p \sim \text{Uniform}(0, 1)$ prior + $S_n \mid p \sim \text{Bin}(n, p)$:

\[ f(p \mid S_n = n) \propto p^n \cdot 1 \;\Rightarrow\; f(p \mid S_n = n) = (n+1) p^n \]

\[ P(X_{n+1} = 1 \mid S_n = n) = \int_0^1 p (n+1) p^n dp = \frac{n+1}{n+2} \]

“if the sun rose 100 days in a row, then it would probably be 101 over 102 for the next day.” — Blitzstein, 50:37

Builder Notu — Laplace Smoothing

Laplace smoothing (add-one): $k$ gözlem, $n$ deneme → olasılığı $(k+1)/(n+2)$. Naive Bayes / n-gram dil modellerinde sıfır-frekans problemini çözer. Beta-Binom eşleniği (Ders 23) — pseudocount’lar prior’dan gelir.

18.6 Bu Dersin Özeti

Belleksizlik = Üstel (fonksiyonel denklem).
MGF: $M(t) = E(e^{tX})$.
Üç önem: moment üretir, dağılım belirler, bağımsız toplam çarpılır.
Örnekler: Bern, Binom, Normal ($e^{t^2/2}$), Üstel, Poisson.
Laplace ardışıklık: $(n+1)/(n+2)$.

Tek bir cümle

Belleksizlik Üstel’i tam karakterize eder (G(s+t)=G(s)G(t) → e^(-λx)); ve MGF $M(t) = E(e^{tX})$, momentleri paketleyen, dağılımı belirleyen, bağımsız toplamı çarpıma çeviren bir parmak izidir — moment hesabının ve CLT’nin motoru.

18.7 Kontrol Soruları

Soru 1: N(0,1) MGF e^(t²/2). M’(0), M’’(0) ile E(Z), E(Z²)?

Cevap: $M'(t) = t e^{t^2/2}$, $M'(0) = 0 = E(Z)$. $M''(t) = (1+t^2)e^{t^2/2}$, $M''(0) = 1 = E(Z^2)$. Var $= 1$.

Soru 2: X~Pois(λ₁), Y~Pois(λ₂) bağımsız. X+Y?

Cevap: $M_{X+Y}(t) = e^{\lambda_1(e^t-1)} e^{\lambda_2(e^t-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}$ → Pois($\lambda_1 + \lambda_2$).

Soru 3: Exp(λ) MGF λ/(λ-t). (a) M’(0) ile E(X)? (b) Neden t<λ?

Cevap: (a) $M'(0) = 1/\lambda$. (b) İntegral $\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x} dx$ yalnız $t < \lambda$’da yakınsar.

Soru 4: (Builder) 1000 dokümanda hiç geçmeyen kelime. MLE = 0. Laplace?

Cevap: $(0+1)/(1000+2) = 1/1002 \approx \mathbf{0{,}001}$. MLE zero-frequency problem’i çözer; naive Bayes/n-gram’da tek 0 tüm çarpımı sıfırlar. Laplace smoothing = bu kural.

18.8 Egzersizler

Egzersiz 1. Exp(λ) MGF’ten $E(X^2), E(X^n) = n!/\lambda^n$.

Egzersiz 2. Genel Normal MGF: $X = \mu + \sigma Z$ → $M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$.

Egzersiz 3. Bağımsız Normal toplamı MGF ile.

Egzersiz 4. (Python — MGF + Laplace)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N = 1_000_000

# N(0,1) MGF
Z = rng.standard_normal(N)
t = 0.5
print(f"E(e^(0.5*Z)) ≈ {np.mean(np.exp(t*Z)):.4f}  teorik e^(0.125) = {np.exp(t**2/2):.4f}")

# Pois(2) + Pois(3) = Pois(5)
S = rng.poisson(2, N) + rng.poisson(3, N)
print(f"Pois(2)+Pois(3): mean={S.mean():.3f}, var={S.var():.3f} (teori 5, 5)")

# Laplace ardışıklık
print(f"k=0, n=1000 → P(next) = {(0+1)/(1000+2):.6f}")

Egzersiz 5. (Sonraki ders) $M_{S_n}(t) = M(t)^n$ — CLT habercisi.

18.9 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 18: MGF’lere Devam ve Joint Dağılımlar — Üstel momentleri, Normal momentleri, Poisson toplamı, joint kavramı.

Ders 18 öncesi yapılacak

Egzersiz 5 (M(t)^n) çöz.
Üç MGF ezberle: Bern, Normal, Üstel.

18.10 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Blitzstein’de
Belleksizlik = Üstel	Pozitif sürekli memoryless → Exp	0m27
Fonksiyonel denklem	$G(s+t) = G(s)G(t)$ → $e^{-\lambda x}$	9m33
MGF	$M(t) = E(e^{tX})$	18m03
Moment üretir	$E(X^n) = M^{(n)}(0)$	20m32
Dağılım belirler	Aynı MGF ⇒ aynı dist.	26m12
Bağımsız toplam	$M_{X+Y} = M_X \cdot M_Y$	29m52
Bern / Binom	$pe^t+q$ / $(pe^t+q)^n$	31m07
N(0,1)	$e^{t^2/2}$ (kareye tamamla)	36m51
Exp(λ)	$\lambda/(\lambda-t)$, $t < \lambda$	—
Pois(λ)	$e^{\lambda(e^t-1)}$	—
Laplace	$(n+1)/(n+2)$	50m37

18.11 ML Bağlantıları Özeti

6 köprü

Belleksizlik karakterizasyonu → Üstel, Weibull, sağkalım.
MGF momentleri → kümülantlar; CLT motoru.
MGF dağılımı belirler → parmak izi; CLT ispatı.
Bağımsız toplam → çarpım → Normal/Poisson kapanışı.
Kareye tamamlama → Gaussian conjugacy, VAE KL.
Laplace ardışıklık → Laplace smoothing (naive Bayes, n-gram).

Tek bir şey alıp gideceksen

Belleksizlik Üstel’i tam belirler. MGF dağılımın parmak izidir — momentleri paketler, dağılımı belirler, bağımsız toplamı çarpıma çevirir; moment hesabının ve CLT’nin motoru.

--- title: "Moment Üreten Fonksiyonlar (MGF)" subtitle: "Belleksizlik = Üstel; M(t) = E(e^tX) — dağılımın parmak izi" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Blitzstein'in videosu:** [YouTube — Lecture 17: Moment Generating Functions](https://www.youtube.com/watch?v=N8O6zd6vTZ8) (≈51 dk) - **Okuma süresi:** ≈36 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Belleksizlik = Üstel:** Tek belleksiz sürekli dağılım, fonksiyonel denklem ispatı. 2. **MGF $M(t) = E(e^{tX})$:** momentleri üretir, dağılımı belirler, bağımsız toplamı çarpıma çevirir. 3. **Örnekler:** Bern, Binom, Normal MGF. 4. **Laplace ardışıklık kuralı:** $(n+1)/(n+2)$. > *"All the MGF is, is a fancy book keeping device for keeping track of the moments of a distribution."* — Blitzstein, 20:16 ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML Köprüleri"} - **Belleksizlik karakterizasyonu** → Weibull (üstelin kuvveti); sağkalım, sabit hazard testi. - **MGF momentleri → kümülantlar**; **CLT** (Ders 29) MGF yakınsamasıyla. - **Bağımsız toplam = MGF çarpımı** → Normal/Poisson kapanışı tek satırda. - **Normal MGF / kareye tamamlama** → **Gaussian conjugacy** (Bayesçi regresyon, GP, VAE KL). - **Laplace ardışıklık $(n+1)/(n+2)$** = **Laplace smoothing (add-one)** — naive Bayes, n-gram. ::: ## Belleksizlik = Üstel (Fonksiyonel Denklem) {#sec-bell-ustel} **Teorem:** Pozitif, sürekli, belleksiz bir RV → Üstel(λ). Survival $G(x) = P(X > x)$ ile belleksizlik: $$ G(s + t) = G(s)\,G(t) $$ Değerler takarak: tamsayı $k$ için $G(kt) = G(t)^k$; rasyonel için $G(t \cdot m/n) = G(t)^{m/n}$; süreklilikle her reel $x > 0$ için: $$ G(xt) = G(t)^x $$ $t = 1$: $G(x) = G(1)^x = e^{-\lambda x}$, $\lambda = -\ln G(1) > 0$. ∎ > *"we're solving for a function, not solving for the variable."* — Blitzstein, 9:33 ## MGF Tanımı ve Üç Önem {#sec-mgf-tanim} $$ M(t) = E(e^{tX}) $$ (0 etrafında bir aralıkta sonlu olmalı.) **Taylor:** $e^{tX} = \sum (tX)^n/n!$ → $$ M(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E(X^n)}{n!}\, t^n $$ **Üç önem:** 1. **Moment üretir:** $E(X^n) = M^{(n)}(0)$. 2. **Dağılımı belirler:** aynı MGF ⇒ aynı dağılım (**parmak izi**). 3. **Bağımsız toplam → çarpım:** $$ M_{X+Y}(t) = M_X(t)\,M_Y(t) \quad (X \perp Y) $$ > *"Once you know the MGF, you know the distribution, at least in principle."* — Blitzstein, 27:24 ::: {.callout-important title="Builder Notu — CLT'nin Motoru"} **Sebep 2 + 3** birlikte Normal/Poisson kapanışını tek satırda kanıtlar. **CLT** (Ders 29) MGF yakınsamasıyla: iid toplamın standardize MGF'i $e^{t^2/2}$'ye yakınsar. ::: ## Örnek MGF'ler {#sec-ornek-mgf} **Bernoulli($p$):** $$ M(t) = pe^t + q $$ **Binom($n, p$)** — $n$ Bernoulli'nin toplamı, MGF kuvveti: $$ M(t) = (pe^t + q)^n $$ **Standart Normal $N(0,1)$** — kareye tamamlama: $$ M(t) = \int e^{tz} \cdot \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dz = e^{t^2/2} \cdot \int \frac{e^{-(z-t)^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dz = e^{t^2/2} $$ **Üstel(λ):** $$ M(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \quad t < \lambda $$ **Poisson(λ):** $$ M(t) = e^{\lambda(e^t - 1)} $$ ```{python} #| label: fig-mgf-momentler #| fig-cap: "MGF'ten momentler: N(0,1)'in M(t) = exp(t²/2). Sayısal türev M'(0) = 0 = E(Z), M''(0) = 1 = Var(Z). MGF dağılımın parmak izi — aynı MGF aynı dağılım anlamına gelir." #| fig-width: 10 #| fig-height: 4.5 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t = np.linspace(-2, 2, 200) M_normal = np.exp(t**2 / 2) M_exp = 1 / (1 - t * 0.3) # Exp(1/0.3) M_exp[t * 0.3 >= 1] = np.nan fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4.5)) ax.plot(t, M_normal, color='#A51C30', linewidth=2.5, label='N(0,1): $M(t) = e^{t^2/2}$') ax.plot(t, M_exp, color='#2C5282', linewidth=2.5, label='Exp(0.3): $M(t) = 0.3/(0.3-t)$') ax.axhline(1, color='#6B7280', linestyle=':') ax.axvline(0, color='#6B7280', linestyle=':') ax.plot(0, 1, 'o', color='#1f2937', markersize=10) ax.text(0.1, 1.05, 'M(0) = 1', fontsize=10) ax.set_xlabel('t', fontsize=12) ax.set_ylabel('M(t) = E(e^{tX})', fontsize=12) ax.set_title('MGF — momentleri Taylor katsayılarında paketler', fontsize=12) ax.legend(loc='upper center', fontsize=11) ax.set_ylim(0, 7) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ``` ::: {.callout-important title="Builder Notu — Gaussian Conjugacy"} **Kareye tamamlama** numarası Gaussian'larla yapılan hemen her hesabın altında: **Bayesçi lineer regresyon, Gaussian process, VAE'nin KL terimi**. "Kuadratik üstel + kareye tamamla → kapalı form Gaussian" deseni Gaussian conjugacy'nin motorudur. ::: ## Laplace'ın Ardışıklık Kuralı {#sec-laplace} **Güneş yarın doğacak mı?** $n$ gün üst üste doğduysa? $p \sim \text{Uniform}(0, 1)$ prior + $S_n \mid p \sim \text{Bin}(n, p)$: $$ f(p \mid S_n = n) \propto p^n \cdot 1 \;\Rightarrow\; f(p \mid S_n = n) = (n+1) p^n $$ $$ P(X_{n+1} = 1 \mid S_n = n) = \int_0^1 p (n+1) p^n dp = \frac{n+1}{n+2} $$ > *"if the sun rose 100 days in a row, then it would probably be 101 over 102 for the next day."* — Blitzstein, 50:37 ::: {.callout-important title="Builder Notu — Laplace Smoothing"} **Laplace smoothing (add-one):** $k$ gözlem, $n$ deneme → olasılığı $(k+1)/(n+2)$. **Naive Bayes / n-gram dil modellerinde** sıfır-frekans problemini çözer. Beta-Binom eşleniği (Ders 23) — pseudocount'lar prior'dan gelir. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Belleksizlik = Üstel** (fonksiyonel denklem). 2. **MGF:** $M(t) = E(e^{tX})$. 3. **Üç önem:** moment üretir, dağılım belirler, bağımsız toplam çarpılır. 4. **Örnekler:** Bern, Binom, Normal ($e^{t^2/2}$), Üstel, Poisson. 5. **Laplace ardışıklık:** $(n+1)/(n+2)$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Belleksizlik Üstel'i tam karakterize eder** (G(s+t)=G(s)G(t) → e^(-λx)); ve **MGF** $M(t) = E(e^{tX})$, momentleri paketleyen, dağılımı **belirleyen**, bağımsız toplamı **çarpıma** çeviren bir parmak izidir — moment hesabının ve **CLT'nin motoru**. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: N(0,1) MGF e^(t²/2). M'(0), M''(0) ile E(Z), E(Z²)?"} **Cevap:** $M'(t) = t e^{t^2/2}$, $M'(0) = 0 = E(Z)$. $M''(t) = (1+t^2)e^{t^2/2}$, $M''(0) = 1 = E(Z^2)$. Var $= 1$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: X~Pois(λ₁), Y~Pois(λ₂) bağımsız. X+Y?"} **Cevap:** $M_{X+Y}(t) = e^{\lambda_1(e^t-1)} e^{\lambda_2(e^t-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}$ → **Pois($\lambda_1 + \lambda_2$)**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Exp(λ) MGF λ/(λ-t). (a) M'(0) ile E(X)? (b) Neden t<λ?"} **Cevap:** (a) $M'(0) = 1/\lambda$. (b) İntegral $\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x} dx$ yalnız $t < \lambda$'da yakınsar. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: (Builder) 1000 dokümanda hiç geçmeyen kelime. MLE = 0. Laplace?"} **Cevap:** $(0+1)/(1000+2) = 1/1002 \approx \mathbf{0{,}001}$. **MLE zero-frequency problem**'i çözer; naive Bayes/n-gram'da tek 0 tüm çarpımı sıfırlar. **Laplace smoothing** = bu kural. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** Exp(λ) MGF'ten $E(X^2), E(X^n) = n!/\lambda^n$. **Egzersiz 2.** Genel Normal MGF: $X = \mu + \sigma Z$ → $M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$. **Egzersiz 3.** Bağımsız Normal toplamı MGF ile. **Egzersiz 4.** *(Python — MGF + Laplace)* ```{python} #| label: ex-mgf #| code-fold: false import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) N = 1_000_000 # N(0,1) MGF Z = rng.standard_normal(N) t = 0.5 print(f"E(e^(0.5*Z)) ≈ {np.mean(np.exp(t*Z)):.4f} teorik e^(0.125) = {np.exp(t**2/2):.4f}") # Pois(2) + Pois(3) = Pois(5) S = rng.poisson(2, N) + rng.poisson(3, N) print(f"Pois(2)+Pois(3): mean={S.mean():.3f}, var={S.var():.3f} (teori 5, 5)") # Laplace ardışıklık print(f"k=0, n=1000 → P(next) = {(0+1)/(1000+2):.6f}") ``` **Egzersiz 5.** *(Sonraki ders)* $M_{S_n}(t) = M(t)^n$ — CLT habercisi. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 18: MGF'lere Devam ve Joint Dağılımlar** — Üstel momentleri, Normal momentleri, Poisson toplamı, joint kavramı. ::: {.callout-warning title="Ders 18 öncesi yapılacak"} - Egzersiz 5 (M(t)^n) çöz. - Üç MGF ezberle: Bern, Normal, Üstel. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Blitzstein'de | |--------|-------|---------------| | **Belleksizlik = Üstel** | Pozitif sürekli memoryless → Exp | 0m27 | | **Fonksiyonel denklem** | $G(s+t) = G(s)G(t)$ → $e^{-\lambda x}$ | 9m33 | | **MGF** | $M(t) = E(e^{tX})$ | 18m03 | | **Moment üretir** | $E(X^n) = M^{(n)}(0)$ | 20m32 | | **Dağılım belirler** | Aynı MGF ⇒ aynı dist. | 26m12 | | **Bağımsız toplam** | $M_{X+Y} = M_X \cdot M_Y$ | 29m52 | | **Bern / Binom** | $pe^t+q$ / $(pe^t+q)^n$ | 31m07 | | **N(0,1)** | $e^{t^2/2}$ (kareye tamamla) | 36m51 | | **Exp(λ)** | $\lambda/(\lambda-t)$, $t < \lambda$ | — | | **Pois(λ)** | $e^{\lambda(e^t-1)}$ | — | | **Laplace** | $(n+1)/(n+2)$ | 50m37 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="6 köprü"} 1. **Belleksizlik karakterizasyonu** → Üstel, **Weibull**, sağkalım. 2. **MGF momentleri → kümülantlar**; CLT motoru. 3. **MGF dağılımı belirler** → parmak izi; CLT ispatı. 4. **Bağımsız toplam → çarpım** → Normal/Poisson kapanışı. 5. **Kareye tamamlama** → **Gaussian conjugacy**, VAE KL. 6. **Laplace ardışıklık** → **Laplace smoothing** (naive Bayes, n-gram). ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Belleksizlik **Üstel'i tam belirler**. **MGF** dağılımın parmak izidir — momentleri paketler, dağılımı belirler, bağımsız toplamı **çarpıma** çevirir; moment hesabının ve **CLT'nin motoru**. :::