8 Ax = 0 Çözme — Pivot Değişkenler ve Özel Çözümler

Null uzayı için algoritma — rank, serbest değişkenler, rref

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 7: Solving Ax = 0 (≈43 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 7
Okuma süresi: ≈40 dk

8.1 Bu Derste Ne Var?

Ders 6’da null uzayını gözle bulduk. Ders 7 bunu algoritmaya çeviriyor.

Dikdörtgen eliminasyon → echelon form $U$.
Rank = pivot sayısı.
Pivot vs serbest değişkenler → özel çözümler.
rref ($R$) → null uzayı doğrudan oku.

flowchart LR
    A["A (m × n)"] --> U["Echelon form U<br/>(eliminasyon)"]
    U --> RANK["rank r = pivot sayısı"]
    U --> PIVOT["pivot kolonlar (r tane)<br/>serbest kolonlar (n-r tane)"]
    PIVOT --> SS["Özel çözümler<br/>(her serbest değişkene 1, diğerleri 0)"]
    SS --> NA["N(A) = tüm kombinasyonları<br/>(boyut = n-r)"]

    U --> R["rref R<br/>(pivotlar 1, üst/alt 0)"]
    R --> NF["💡 N matrisi = (-F / I)<br/>(serbest blok F'den otomatik)"]

    style RANK fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style NA fill:#fdf6f7,stroke:#8a1538,stroke-width:2px

flowchart LR
    A["A (m × n)"] --> U["Echelon form U<br/>(eliminasyon)"]
    U --> RANK["rank r = pivot sayısı"]
    U --> PIVOT["pivot kolonlar (r tane)<br/>serbest kolonlar (n-r tane)"]
    PIVOT --> SS["Özel çözümler<br/>(her serbest değişkene 1, diğerleri 0)"]
    SS --> NA["N(A) = tüm kombinasyonları<br/>(boyut = n-r)"]

    U --> R["rref R<br/>(pivotlar 1, üst/alt 0)"]
    R --> NF["💡 N matrisi = (-F / I)<br/>(serbest blok F'den otomatik)"]

    style RANK fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style NA fill:#fdf6f7,stroke:#8a1538,stroke-width:2px

Şekil 8.1: Ax = 0 algoritması: A → U → R → null uzayı bazı (özel çözümler).

Builder Notu — Rank ve ML

Rank = matrisin gerçek bilgi boyutu. np.linalg.matrix_rank bunu sayar. Düşük rank = sıkıştırılabilir → LoRA’nın temeli.
Serbest değişkenler = serbestlik dereceleri. Az-belirtilmiş ($n > m$) sistemlerde çözüm tek değil, alt-uzay → modern aşırı-parametrize ağların sonsuz çözümünün kökü.
Özel çözümler = null uzayı bazı. scipy.linalg.null_space bu vektörleri döndürür.
rank + null boyutu = $n$ — rank-nullity teoremi; modelin gerçek serbestlik derecelerini sayma.

8.2 Eliminasyon Null Uzayını Korur

“When I subtract a multiple of one equation from another, I’m not changing the null space.” — Strang, 2:42

Sağ taraf hep $\mathbf{0}$ — sıfırdan herhangi katını çıkarsan yine $\mathbf{0}$. Eliminasyon kolon uzayını değiştirir ama null uzayını korur. Bu yüzden $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ için güvenle $U$’ya indirgeriz.

8.3 Dikdörtgen Eliminasyon → Echelon Form U

Strang’in örneği:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]

İlk pivot $1$. $r_2 - 2 r_1$, $r_3 - 3 r_1$:

\[ \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

$(2, 2)$’de sıfır, altında da sıfır → bu kolonda iş yok, sonrakine geç. $(2, 3)$ pivot = 2. $r_3 - r_2$:

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Echelon form — merdiven gibi iner. Sıfır satırı, $r_3 = r_1 + r_2$ bağımlılığını gösterir.

8.4 Rank, Pivot Kolonlar, Serbest Kolonlar

$U$’da iki pivot: $(1,1)$ ve $(2,3)$.

\[ \boxed{\text{rank}(A) = \text{pivot sayısı} = 2} \]

Pivot kolonlar (1, 3): karşılık gelen $x_1, x_3$ → pivot değişkenler.
Serbest kolonlar (2, 4): $x_2, x_4$ → serbest değişkenler.

8.5 Özel Çözümler — Serbest Değişkene 1 Ver

$U$’dan iki denklem (sağ taraf 0):

\[ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0, \quad 2x_3 + 4x_4 = 0 \]

Strateji: serbest değişkenlere değer ata, pivot değişkenleri geri yerine koy.

Özel çözüm 1: $x_2 = 1, x_4 = 0$ → $x_3 = 0$ → $x_1 = -2$.

\[ \mathbf{s}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

(Anlamı: $-2\mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2 = \mathbf{0}$ → $\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$.)

Özel çözüm 2: $x_2 = 0, x_4 = 1$ → $x_3 = -2$ → $x_1 = 2$.

\[ \mathbf{s}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Tam null uzayı:

\[ N(A) = c_1 \mathbf{s}_1 + c_2 \mathbf{s}_2, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \]

$\mathbb{R}^4$ içinde 2 boyutlu alt-uzay.

8.6 n − r Formülü

\[ \boxed{\text{serbest değişken sayısı} = n - r} \]

Örnekte $n = 4, r = 2 \to 2$ özel çözüm. Rank-nullity teoremi:

\[ \dim N(A) + \text{rank}(A) = n \]

import numpy as np
from sympy import Matrix

A = np.array([[1, 2, 2, 2], [2, 4, 6, 8], [3, 6, 8, 10]], dtype=float)
print("rank =", np.linalg.matrix_rank(A))      # 2

R, pivots = Matrix(A).rref()
print("rref R =")
print(R)
print("pivot kolonlar:", pivots)                # (0, 2)

ns = Matrix(A).nullspace()
print("özel çözümler:")
for v in ns: print(v.T)

8.7 Reduced Row Echelon Form (rref) R

$U$’dan iki ek işlem:

Pivotların üstünü de temizle.
Her pivotu 1 yap.

$r_2 / 2 \to (0, 0, 1, 2)$. $r_1 - 2 r_2 \to (1, 2, 0, -2)$:

\[ R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Pivot kolonlarda (1, 3) birim matris. Serbest kolonlar (2, 4) “serbest” bilgiyi taşır.

8.8 Null Uzayı Matrisi — $N = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix}$ Kalıbı

$R$’yi pivot ve serbest kolonlara ayır:

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]

$R\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → (pivot değişkenler) + $F \cdot$ (serbest) = 0 → pivot = $-F \cdot$ serbest. Serbest tarafa $I$ koyarsan, pivot tarafa $-F$ gelir:

\[ N \text{ matrisi} = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

(Satırlar pivot+serbest sırasında dizilir.) Daha önce elle bulduklarımızla aynı.

8.9 rank(A) = rank(Aᵀ)

$A^T$ ($4 \times 3$) için aynı algoritmayı uygula → 2 pivot çıkar. Satır rank = kolon rank — boyut teorisinin köşe taşı.

“The number of pivot columns for A and A transpose are the same.” — Strang, 37:11

8.10 Bu Dersin Özeti

Eliminasyon null uzayını korur.
Echelon $U$, rank $r$ = pivot sayısı.
Pivot / serbest kolonlar.
Özel çözümler: serbest = 1, diğerleri = 0.
$n - r$ serbest değişken (rank-nullity).
rref $R$ → null uzayını doğrudan okutur.
$N = \binom{-F}{I}$ kalıbı.
$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)$.

Tek bir cümle

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$’ı çözmek artık algoritma: $U$’ya in, rank $r$’yi bul, $n - r$ serbest değişkenin her birine sırayla 1 ver, özel çözümleri üret. $N(A)$ = bu özel çözümlerin tüm kombinasyonları.

8.11 Kontrol Soruları

Soru 1: A = ((1,2,1),(2,4,3)) — echelon form, rank, pivot/serbest kolonlar?

$r_2 - 2 r_1$:

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Rank = 2. Pivot kolonlar: 1, 3. Serbest: 2. Serbest değişken sayısı $n - r = 1$.

Soru 2: Aynı A için N(A) özel çözümle bul.

$x_2 = 1$ → $x_3 = 0$ → $x_1 + 2 = 0 \to x_1 = -2$.

\[ \mathbf{s} = (-2, 1, 0)^T, \quad N(A) = c(-2, 1, 0)^T \]

$\mathbb{R}^3$’te orijinden geçen doğru. ($\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$.)

Soru 3: 3×3 matriste rank 3 ise N(A)? Ya rank 2 ise?

rank = 3: $n - r = 0$ → $N(A) = \{\mathbf{0}\}$. Tek çözüm $\mathbf{x} = \mathbf{0}$; matris tersinir.
rank = 2: $n - r = 1$ → $N(A)$ bir boyutlu (doğru). Matris singular.

Özet: tam rank $\iff$ $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff$ tersinir.

Soru 4: W’nin rank’i n’den küçükse model hakkında ne söyler?

$r < n$ → $n - r > 0$ serbest yön. $W$ $n$ boyutlu girdiyi $r$ boyuta indiriyor; $n - r$ boyut kaybı.

Bu yönlerdeki parametreler çıktıyı etkilemiyor → fazlalık.
$W \approx UV^T$ ($r$-rank) daha az parametreyle aynı → LoRA.
Eğitimde bazı yönlerde kayıp düz → regularization belirler.

Kısaca: “$r < n$ = model göründüğünden küçük dönüşüm yapıyor.”

8.12 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ → echelon, rank, pivot/serbest kolonlar, iki özel çözüm.

Egzersiz 2. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$ → tam rref $R$ ve null uzayı matrisi $\binom{-F}{I}$.

Egzersiz 3. $3 \times 5$ matris, rank 3. Kaç özel çözüm? $N(A)$ hangi $\mathbb{R}^k$’de, kaç boyutlu?

Egzersiz 4. (Python)

import numpy as np
from sympy import Matrix

A = np.array([[1, 2, 2, 2], [2, 4, 6, 8], [3, 6, 8, 10]], dtype=float)
print("rank =", np.linalg.matrix_rank(A))
R, p = Matrix(A).rref()
print("rref R =\n", R, "\npivot kolonlar:", p)
print("özel çözümler:")
for v in Matrix(A).nullspace(): print(v.T)

Egzersiz 5. İspatla: $A$ ($m \times n$), rank $r$ → $N(A)$ boyutu $n - r$. $n > m$ ise $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$ (sıfırdan farklı çözüm hep var). Bu, Ders 8 ve ML’de aşırı-parametrizasyonun temeli.

8.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 8: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ Çözme — Tam Çözüm ve Rank

Sağ taraf sıfırdan farklı: çözülebilirlik testi ($\mathbf{b} \in C(A)$).
Tam çözüm = özel çözüm $\mathbf{x}_p$ + $N(A)$.
Augmented matris $[A \mid \mathbf{b}]$ ile eliminasyon.
Rank’in çözüm sayısına etkisi (0, 1, $\infty$).

Ders 8 öncesi

Egzersizleri çöz, özellikle 5 (rank-nullity ispat).
sympy.Matrix(A).rref() ve .nullspace() ile birkaç matris dene.
Ana cümleyi tekrar oku.

8.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
Eliminasyon null’ı korur	$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ çözümleri değişmez	2m42
Echelon $U$	Dikdörtgen eliminasyon merdiveni	6m12
Rank $r$	Pivot sayısı	6m44
Pivot/serbest kolon	Pivotlular pivot, kalanlar serbest	8m04
Serbest değişken	İstediğin değeri verirsin ($n-r$ tane)	8m43
Özel çözüm	Serbest = 1, diğerleri = 0	15m05
$n - r$ formülü	Serbest = özel çözüm sayısı	17m28
rref $R$	Pivot 1, üst/alt 0	19m25
$N$ matrisi	$\binom{-F}{I}$ kalıbı	30m54
rank(A) = rank(Aᵀ)	Satır rank = kolon rank	37m11

8.15 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Rank = gerçek bilgi boyutu → matrix_rank; düşük rank → LoRA.
Serbest değişkenler = serbestlik dereceleri → Aşırı-parametrize ağların sonsuz çözümü.
Özel çözümler = null bazı → null_space, dönüşümün kör yönleri.
rref / Gauss → Her solver’ın içi; “singular matrix” uyarılarını anlama.
$n > m$ → $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$ → Parametre > veri rejimi; derin öğrenme.
Rank-nullity → Modelin gerçek serbestlik dereceleri.
rank(A) = rank(Aᵀ) → Boyut teorisinin köşe taşı.

Tek bir şey alıp gideceksen

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ artık tahmin değil, algoritma: $U$’ya in, rank $r$ bul, $n - r$ serbest değişkenin her birine sırayla 1 ver, özel çözümleri üret. $N(A)$ = bu özel çözümlerin tüm kombinasyonları; rank, matrisin tüm karakterini özetleyen tek sayı.

--- title: "Ax = 0 Çözme — Pivot Değişkenler ve Özel Çözümler" subtitle: "Null uzayı için algoritma — rank, serbest değişkenler, rref" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 7: Solving Ax = 0](https://www.youtube.com/watch?v=VqP2tREMvt0) (≈43 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 7](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/solving-ax-0-pivot-variables-special-solutions/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Ders 6'da null uzayını gözle bulduk. Ders 7 bunu **algoritmaya** çeviriyor. 1. **Dikdörtgen eliminasyon** → echelon form $U$. 2. **Rank** = pivot sayısı. 3. **Pivot vs serbest değişkenler** → **özel çözümler**. 4. **rref ($R$)** → null uzayı doğrudan oku. ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Ax = 0 algoritması: A → U → R → null uzayı bazı (özel çözümler)." flowchart LR A["A (m × n)"] --> U["Echelon form U (eliminasyon)"] U --> RANK["rank r = pivot sayısı"] U --> PIVOT["pivot kolonlar (r tane) serbest kolonlar (n-r tane)"] PIVOT --> SS["Özel çözümler (her serbest değişkene 1, diğerleri 0)"] SS --> NA["N(A) = tüm kombinasyonları (boyut = n-r)"] U --> R["rref R (pivotlar 1, üst/alt 0)"] R --> NF["💡 N matrisi = (-F / I) (serbest blok F'den otomatik)"] style RANK fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px style NA fill:#fdf6f7,stroke:#8a1538,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Rank ve ML"} - **Rank** = matrisin gerçek bilgi boyutu. `np.linalg.matrix_rank` bunu sayar. Düşük rank = sıkıştırılabilir → **LoRA**'nın temeli. - **Serbest değişkenler** = serbestlik dereceleri. Az-belirtilmiş ($n > m$) sistemlerde çözüm tek değil, alt-uzay → modern aşırı-parametrize ağların sonsuz çözümünün kökü. - **Özel çözümler** = null uzayı bazı. `scipy.linalg.null_space` bu vektörleri döndürür. - **rank + null boyutu = $n$** — rank-nullity teoremi; modelin gerçek serbestlik derecelerini sayma. ::: ## Eliminasyon Null Uzayını Korur {#sec-eliminasyon-koruma} > *"When I subtract a multiple of one equation from another, I'm not changing the null space."* — Strang, 2:42 Sağ taraf hep $\mathbf{0}$ — sıfırdan herhangi katını çıkarsan yine $\mathbf{0}$. Eliminasyon kolon uzayını değiştirir ama null uzayını korur. Bu yüzden $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ için güvenle $U$'ya indirgeriz. ## Dikdörtgen Eliminasyon → Echelon Form U {#sec-echelon} Strang'in örneği: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} $$ İlk pivot $1$. $r_2 - 2 r_1$, $r_3 - 3 r_1$: $$ \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$ $(2, 2)$'de **sıfır**, altında da sıfır → bu kolonda iş yok, sonrakine geç. $(2, 3)$ pivot = 2. $r_3 - r_2$: $$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ **Echelon form** — merdiven gibi iner. Sıfır satırı, $r_3 = r_1 + r_2$ bağımlılığını gösterir. ## Rank, Pivot Kolonlar, Serbest Kolonlar {#sec-rank} $U$'da **iki pivot**: $(1,1)$ ve $(2,3)$. $$ \boxed{\text{rank}(A) = \text{pivot sayısı} = 2} $$ - **Pivot kolonlar (1, 3):** karşılık gelen $x_1, x_3$ → **pivot değişkenler**. - **Serbest kolonlar (2, 4):** $x_2, x_4$ → **serbest değişkenler**. ## Özel Çözümler — Serbest Değişkene 1 Ver {#sec-ozel-cozumler} $U$'dan iki denklem (sağ taraf 0): $$ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0, \quad 2x_3 + 4x_4 = 0 $$ **Strateji:** serbest değişkenlere değer ata, pivot değişkenleri geri yerine koy. **Özel çözüm 1:** $x_2 = 1, x_4 = 0$ → $x_3 = 0$ → $x_1 = -2$. $$ \mathbf{s}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ (Anlamı: $-2\mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2 = \mathbf{0}$ → $\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$.) **Özel çözüm 2:** $x_2 = 0, x_4 = 1$ → $x_3 = -2$ → $x_1 = 2$. $$ \mathbf{s}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ **Tam null uzayı:** $$ N(A) = c_1 \mathbf{s}_1 + c_2 \mathbf{s}_2, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} $$ $\mathbb{R}^4$ içinde **2 boyutlu** alt-uzay. ## n − r Formülü {#sec-n-minus-r} $$ \boxed{\text{serbest değişken sayısı} = n - r} $$ Örnekte $n = 4, r = 2 \to 2$ özel çözüm. **Rank-nullity teoremi:** $$ \dim N(A) + \text{rank}(A) = n $$ ```{python} #| label: code-rank-null #| code-fold: false import numpy as np from sympy import Matrix A = np.array([[1, 2, 2, 2], [2, 4, 6, 8], [3, 6, 8, 10]], dtype=float) print("rank =", np.linalg.matrix_rank(A)) # 2 R, pivots = Matrix(A).rref() print("rref R =") print(R) print("pivot kolonlar:", pivots) # (0, 2) ns = Matrix(A).nullspace() print("özel çözümler:") for v in ns: print(v.T) ``` ## Reduced Row Echelon Form (rref) R {#sec-rref} $U$'dan iki ek işlem: 1. Pivotların **üstünü** de temizle. 2. Her pivotu 1 yap. $r_2 / 2 \to (0, 0, 1, 2)$. $r_1 - 2 r_2 \to (1, 2, 0, -2)$: $$ R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Pivot kolonlarda (1, 3) birim matris. Serbest kolonlar (2, 4) "serbest" bilgiyi taşır. ## Null Uzayı Matrisi — $N = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix}$ Kalıbı {#sec-N-matrix} $R$'yi pivot ve serbest kolonlara ayır: $$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ $R\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → (pivot değişkenler) + $F \cdot$ (serbest) = 0 → pivot = $-F \cdot$ serbest. Serbest tarafa $I$ koyarsan, pivot tarafa $-F$ gelir: $$ N \text{ matrisi} = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ (Satırlar pivot+serbest sırasında dizilir.) Daha önce elle bulduklarımızla aynı. ## rank(A) = rank(Aᵀ) {#sec-rank-AT} $A^T$ ($4 \times 3$) için aynı algoritmayı uygula → 2 pivot çıkar. **Satır rank = kolon rank** — boyut teorisinin köşe taşı. > *"The number of pivot columns for A and A transpose are the same."* — Strang, 37:11 ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. Eliminasyon null uzayını korur. 2. **Echelon $U$**, **rank $r$ = pivot sayısı**. 3. **Pivot / serbest kolonlar**. 4. **Özel çözümler**: serbest = 1, diğerleri = 0. 5. **$n - r$** serbest değişken (rank-nullity). 6. **rref $R$** → null uzayını doğrudan okutur. 7. **$N = \binom{-F}{I}$** kalıbı. 8. $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$'ı çözmek artık algoritma: $U$'ya in, rank $r$'yi bul, $n - r$ serbest değişkenin her birine sırayla 1 ver, özel çözümleri üret. **$N(A)$** = bu özel çözümlerin tüm kombinasyonları. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = ((1,2,1),(2,4,3)) — echelon form, rank, pivot/serbest kolonlar?"} $r_2 - 2 r_1$: $$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ **Rank = 2.** Pivot kolonlar: 1, 3. Serbest: 2. Serbest değişken sayısı $n - r = 1$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Aynı A için N(A) özel çözümle bul."} $x_2 = 1$ → $x_3 = 0$ → $x_1 + 2 = 0 \to x_1 = -2$. $$ \mathbf{s} = (-2, 1, 0)^T, \quad N(A) = c(-2, 1, 0)^T $$ $\mathbb{R}^3$'te orijinden geçen doğru. ($\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$.) ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: 3×3 matriste rank 3 ise N(A)? Ya rank 2 ise?"} - **rank = 3:** $n - r = 0$ → $N(A) = \{\mathbf{0}\}$. Tek çözüm $\mathbf{x} = \mathbf{0}$; matris tersinir. - **rank = 2:** $n - r = 1$ → $N(A)$ bir boyutlu (doğru). Matris singular. **Özet:** tam rank $\iff$ $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff$ tersinir. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: W'nin rank'i n'den küçükse model hakkında ne söyler?"} $r < n$ → $n - r > 0$ serbest yön. $W$ $n$ boyutlu girdiyi $r$ boyuta indiriyor; **$n - r$ boyut kaybı**. - Bu yönlerdeki parametreler çıktıyı etkilemiyor → fazlalık. - $W \approx UV^T$ ($r$-rank) daha az parametreyle aynı → **LoRA**. - Eğitimde bazı yönlerde kayıp düz → regularization belirler. Kısaca: "$r < n$ = model göründüğünden küçük dönüşüm yapıyor." ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ → echelon, rank, pivot/serbest kolonlar, iki özel çözüm. **Egzersiz 2.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$ → tam rref $R$ ve null uzayı matrisi $\binom{-F}{I}$. **Egzersiz 3.** $3 \times 5$ matris, rank 3. Kaç özel çözüm? $N(A)$ hangi $\mathbb{R}^k$'de, kaç boyutlu? **Egzersiz 4.** *(Python)* ```{python} #| label: code-egzersiz-4 #| code-fold: false import numpy as np from sympy import Matrix A = np.array([[1, 2, 2, 2], [2, 4, 6, 8], [3, 6, 8, 10]], dtype=float) print("rank =", np.linalg.matrix_rank(A)) R, p = Matrix(A).rref() print("rref R =\n", R, "\npivot kolonlar:", p) print("özel çözümler:") for v in Matrix(A).nullspace(): print(v.T) ``` **Egzersiz 5.** *İspatla:* $A$ ($m \times n$), rank $r$ → $N(A)$ boyutu $n - r$. **$n > m$** ise $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$ (sıfırdan farklı çözüm hep var). Bu, Ders 8 ve ML'de aşırı-parametrizasyonun temeli. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 8: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ Çözme — Tam Çözüm ve Rank** - Sağ taraf sıfırdan farklı: çözülebilirlik testi ($\mathbf{b} \in C(A)$). - **Tam çözüm = özel çözüm $\mathbf{x}_p$ + $N(A)$.** - Augmented matris $[A \mid \mathbf{b}]$ ile eliminasyon. - Rank'in çözüm sayısına etkisi (0, 1, $\infty$). ::: {.callout-warning title="Ders 8 öncesi"} - Egzersizleri çöz, özellikle 5 (rank-nullity ispat). - `sympy.Matrix(A).rref()` ve `.nullspace()` ile birkaç matris dene. - Ana cümleyi tekrar oku. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **Eliminasyon null'ı korur** | $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ çözümleri değişmez | 2m42 | | **Echelon $U$** | Dikdörtgen eliminasyon merdiveni | 6m12 | | **Rank $r$** | Pivot sayısı | 6m44 | | **Pivot/serbest kolon** | Pivotlular pivot, kalanlar serbest | 8m04 | | **Serbest değişken** | İstediğin değeri verirsin ($n-r$ tane) | 8m43 | | **Özel çözüm** | Serbest = 1, diğerleri = 0 | 15m05 | | **$n - r$ formülü** | Serbest = özel çözüm sayısı | 17m28 | | **rref $R$** | Pivot 1, üst/alt 0 | 19m25 | | **$N$ matrisi** | $\binom{-F}{I}$ kalıbı | 30m54 | | **rank(A) = rank(Aᵀ)** | Satır rank = kolon rank | 37m11 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Rank = gerçek bilgi boyutu** → `matrix_rank`; düşük rank → LoRA. 2. **Serbest değişkenler = serbestlik dereceleri** → Aşırı-parametrize ağların sonsuz çözümü. 3. **Özel çözümler = null bazı** → `null_space`, dönüşümün kör yönleri. 4. **rref / Gauss** → Her solver'ın içi; "singular matrix" uyarılarını anlama. 5. **$n > m$ → $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$** → Parametre > veri rejimi; derin öğrenme. 6. **Rank-nullity** → Modelin gerçek serbestlik dereceleri. 7. **rank(A) = rank(Aᵀ)** → Boyut teorisinin köşe taşı. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ artık tahmin değil, **algoritma**: $U$'ya in, rank $r$ bul, $n - r$ serbest değişkenin her birine sırayla 1 ver, özel çözümleri üret. **$N(A)$** = bu özel çözümlerin tüm kombinasyonları; rank, matrisin tüm karakterini özetleyen tek sayı. :::

8.1 Bu Derste Ne Var?

8.2 Eliminasyon Null Uzayını Korur

8.3 Dikdörtgen Eliminasyon → Echelon Form U

8.4 Rank, Pivot Kolonlar, Serbest Kolonlar

8.5 Özel Çözümler — Serbest Değişkene 1 Ver

8.6 n − r Formülü

8.7 Reduced Row Echelon Form (rref) R

8.8 Null Uzayı Matrisi — \(N = \begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix}\) Kalıbı

8.9 rank(A) = rank(Aᵀ)

8.10 Bu Dersin Özeti

8.11 Kontrol Soruları

8.12 Egzersizler

8.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

8.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

8.15 ML Bağlantıları Özeti