32 Lineer Dönüşümler ve Matrisleri

Matristen önce gelen soyut fikir; baz seçince matris doğar

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices (≈49 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 30
Okuma süresi: ≈38 dk

32.1 Bu Derste Ne Var?

Lineer dönüşüm: $T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})$. $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ zorunlu.
Örnekler: projeksiyon, rotasyon, türev (lineer); kaydırma, uzunluk (değil).
Matris bazdan doğar: girdi + çıktı bazı seç → matris belirlenir.
Kurma kuralı: $A$’nın $i$. kolonu = $T(\mathbf{v}_i)$’nin çıktı bazındaki koordinatları.

“The way to understand linear transformations is to find the matrix that lies behind them.” — Strang, 17:15

flowchart LR
    T["Lineer dönüşüm T<br/>(koordinatsız)"] --> RULE["T(cv+dw) = cT(v)+dT(w)<br/>T(0) = 0"]
    T --> BASIS["Girdi + çıktı bazı seç"]
    BASIS --> A["⭐ Matris A:<br/>i. kolon = T(vᵢ) çıktı koord."]
    A --> GOOD["Özvektör bazı → A = Λ"]
    A --> ML["Linear layer<br/>Jacobian<br/>autodiff<br/>baz değişim (Ders 31)"]

    style A fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    T["Lineer dönüşüm T<br/>(koordinatsız)"] --> RULE["T(cv+dw) = cT(v)+dT(w)<br/>T(0) = 0"]
    T --> BASIS["Girdi + çıktı bazı seç"]
    BASIS --> A["⭐ Matris A:<br/>i. kolon = T(vᵢ) çıktı koord."]
    A --> GOOD["Özvektör bazı → A = Λ"]
    A --> ML["Linear layer<br/>Jacobian<br/>autodiff<br/>baz değişim (Ders 31)"]

    style A fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 32.1: Lineer dönüşüm → baz seçimi → matris. İyi baz (özvektör) → köşegen Λ.

Builder Notu — Lineer Dönüşüm ML’de

Lineer katman $\mathbf{y} = W\mathbf{x}$ saf lineer; bias ekleyince affine ($T(\mathbf{0}) = \mathbf{b} \neq \mathbf{0}$).
Baz seçimi = temsil (representation); özvektör → köşegen → $A^k, e^{At}$ ucuz.
Türev lineer → otomatik türev (autodiff), backprop zincir kuralı.
Jacobian = doğrusal-olmayan fonksiyonun yerel lineer dönüşüm matrisi.

32.2 Lineer Dönüşüm Tanımı

\[ T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = c T(\mathbf{v}) + d T(\mathbf{w}) \]

Zorunlu: $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ ($c = 3, \mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $T(\mathbf{0}) = 3T(\mathbf{0})$).

32.3 Örnekler ve Karşı-Örnekler

Dönüşüm	Lineer?	Neden
Projeksiyon	✅	toplama/skala uyumlu
Rotasyon	✅	döndür-topla = topla-döndür
Türev	✅	$(f+g)' = f' + g'$
Kaydırma $\mathbf{v} \to \mathbf{v} + \mathbf{v}_0$	❌	$T(\mathbf{0}) = \mathbf{v}_0 \neq \mathbf{0}$
Uzunluk $\mathbf{v} \to \\|\mathbf{v}\\|$	❌	$\\|-2\mathbf{v}\\| = 2\\|\mathbf{v}\\| \neq -2\\|\mathbf{v}\\|$

32.4 $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$

Her matris bir lineer dönüşüm: $A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w}$ ✓.

Hedef: Bir dönüşümü anlamak = arkasındaki matrisi bulmak. Koordinat (baz) seçmek lazım.

32.5 Baz Yeter

$T$’yi tam tanımak için tüm vektörlerine ne yaptığını bilmek gerekmez. Bir baza ne yaptığını bilmek yeter:

\[ \mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{v}_i \implies T(\mathbf{v}) = \sum c_i T(\mathbf{v}_i) \]

Sonsuz girdi, sonlu ($n$) bilgiyle kodlanır.

32.6 İki Baz — Girdi + Çıktı

$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ için:

Girdi bazı $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$.
Çıktı bazı $\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m$.

\[ A \cdot (\text{girdi koord}) = (\text{çıktı koord}) \]

32.7 Matris Kurma Kuralı ⭐

\[ \boxed{A\text{'nın } i\text{. kolonu} = T(\mathbf{v}_i)\text{'nin çıktı bazındaki koordinatları}} \]

Neden? Girdi koord $(1, 0, \ldots, 0)$ → $\mathbf{v}_1$ → $T(\mathbf{v}_1)$. $A$’nın 1. kolonu çıkar.

32.8 Projeksiyon — İyi Baz vs Standart Baz

45° doğrusuna projeksiyon.

İyi baz (özvektör): $\mathbf{v}_1$ doğru üstü, $\mathbf{v}_2$ dik. $T(\mathbf{v}_1) = \mathbf{v}_1, T(\mathbf{v}_2) = \mathbf{0}$:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \Lambda \]

Standart baz: $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$.

Aynı dönüşüm, farklı baz → farklı matris.

“The eigenvector basis is the good basis — it leads to the diagonal matrix Λ.” — Strang, 37:27

32.9 Türev Lineer Dönüşümdür ⭐

Girdi: $\{1, x, x^2\}$; çıktı: $\{1, x\}$. $T(p) = p'$:

$T(1) = 0$ → kolon $(0, 0)$.
$T(x) = 1$ → kolon $(1, 0)$.
$T(x^2) = 2x$ → kolon $(0, 2)$.

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Doğrula: $A(c_1, c_2, c_3)^T = (c_2, 2c_3)^T$ — tam türev ✓.

“We compute derivatives exactly because we know it’s a linear transformation.” — Strang, 47:19

Bonus: Matris çarpımı = dönüşüm bileşkesi; ters matris = ters dönüşüm.

32.10 Bu Dersin Özeti

Lineer dönüşüm koordinatsız; $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$.
Örnekler/karşı-örnekler (projeksiyon ✓, kaydırma ✗).
$T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$.
Baz yeter ($n$ bilgi).
İki baz seç.
Kurma kuralı: $i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord.
İyi baz → köşegen.
Türev lineer; matrisi açık.

Tek bir cümle

Lineer dönüşüm matristen önce gelir; baz seçince matris doğar ($i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord). Özvektör bazı en sade matrisi (Λ) verir; türev de bir lineer dönüşüm — bu autodiff’in temelidir.

32.11 Kontrol Soruları

Soru 1: Lineer değil testi?

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ mı? Kaydırma ihlal eder.

Soru 2: Uzunluk niye lineer değil?

$\|-2\mathbf{v}\| = 2\|\mathbf{v}\| \neq -2\|\mathbf{v}\|$ (skala kuralı).

Soru 3: Tam tanım için ne kadar bilgi?

Bir baza ne yaptığı ($T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_n)$).

Soru 4: Matris kurma kuralı?

$i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$’nin çıktı bazındaki koordinatları.

Soru 5: Aynı projeksiyon iki farklı matris?

Baz farklı. Özvektör bazı → $\Lambda$; standart baz → $P$.

32.12 Egzersizler

Egzersiz 1. $T(x, y) = (x, -y)$ standart matrisi? Lineer mi?

Egzersiz 2. $T(x, y) = (x+1, y)$ lineer mi?

Egzersiz 3. İkinci türev matrisi $\{1, x, x^2\} \to \{1, x, x^2\}$ bazında.

Egzersiz 4. (Python) Matris çarpımı = bileşke.

Egzersiz 5. İspatla: İki lineer dönüşümün bileşkesi lineer; matrisi çarpımdır.

32.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 31: Baz Değişimi ve Görüntü Sıkıştırma

Aynı dönüşüm farklı bazlarda → benzer matrisler ($B = M^{-1} A M$).
JPEG / wavelet sıkıştırma = iyi baza geç + küçük katsayıları at.

Ders 31 öncesi

Egzersiz 5 (bileşke).
Türev matrisini ($\{1, x, x^2\}$) yeniden hesapla.

32.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Kural
Lineerlik	$T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})$
Zorunlu	$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
$T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$	Her matris lineer
Baz yeter	$T(\mathbf{v}) = \sum c_i T(\mathbf{v}_i)$
Matris kurma	$i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord
İyi baz	Özvektör → $\Lambda$
Projeksiyon (özvektör)	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Projeksiyon (standart)	$P = A(A^T A)^{-1} A^T$
Türev $\{1, x, x^2\} \to \{1, x\}$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
Matris çarpımı	= bileşke

32.15 ML Bağlantıları Özeti

4 köprü

Lineer katman + bias = affine → Lineer kısım + aktivasyon mimarisi.
Baz = temsil → Embedding, PCA, autoencoder; özvektör bazında ucuz hesap.
Türev lineer → autodiff → Backprop zincir kuralı = Jacobian çarpımı.
Jacobian = yerel lineer → Newton, normalizing flows, duyarlılık analizi.

Tek bir şey alıp gideceksen

Lineer dönüşüm matristen önce; baz seçince matris doğar ($i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord). Özvektör bazı = $\Lambda$. Türev de lineer = autodiff temeli.

--- title: "Lineer Dönüşümler ve Matrisleri" subtitle: "Matristen önce gelen soyut fikir; baz seçince matris doğar" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 30: Linear Transformations and Their Matrices](https://www.youtube.com/watch?v=Ts3o2I8_Mxc) (≈49 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 30](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-30-linear-transformations-and-their-matrices/) - **Okuma süresi:** ≈38 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Lineer dönüşüm:** $T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})$. **$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ zorunlu**. 2. **Örnekler:** projeksiyon, rotasyon, türev (lineer); kaydırma, uzunluk (değil). 3. **Matris bazdan doğar:** girdi + çıktı bazı seç → matris belirlenir. 4. **Kurma kuralı:** $A$'nın $i$. kolonu = $T(\mathbf{v}_i)$'nin çıktı bazındaki koordinatları. > *"The way to understand linear transformations is to find the matrix that lies behind them."* — Strang, 17:15 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Lineer dönüşüm → baz seçimi → matris. İyi baz (özvektör) → köşegen Λ." flowchart LR T["Lineer dönüşüm T (koordinatsız)"] --> RULE["T(cv+dw) = cT(v)+dT(w) T(0) = 0"] T --> BASIS["Girdi + çıktı bazı seç"] BASIS --> A["⭐ Matris A: i. kolon = T(vᵢ) çıktı koord."] A --> GOOD["Özvektör bazı → A = Λ"] A --> ML["Linear layer Jacobian autodiff baz değişim (Ders 31)"] style A fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Lineer Dönüşüm ML'de"} - **Lineer katman** $\mathbf{y} = W\mathbf{x}$ saf lineer; **bias** ekleyince **affine** ($T(\mathbf{0}) = \mathbf{b} \neq \mathbf{0}$). - **Baz seçimi = temsil** (representation); özvektör → köşegen → $A^k, e^{At}$ ucuz. - **Türev lineer** → otomatik türev (autodiff), backprop zincir kuralı. - **Jacobian** = doğrusal-olmayan fonksiyonun yerel lineer dönüşüm matrisi. ::: ## Lineer Dönüşüm Tanımı {#sec-tanim} $$ T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = c T(\mathbf{v}) + d T(\mathbf{w}) $$ **Zorunlu:** $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ ($c = 3, \mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $T(\mathbf{0}) = 3T(\mathbf{0})$). ## Örnekler ve Karşı-Örnekler {#sec-ornekler} | Dönüşüm | Lineer? | Neden | |---------|---------|-------| | Projeksiyon | ✅ | toplama/skala uyumlu | | Rotasyon | ✅ | döndür-topla = topla-döndür | | Türev | ✅ | $(f+g)' = f' + g'$ | | **Kaydırma** $\mathbf{v} \to \mathbf{v} + \mathbf{v}_0$ | ❌ | $T(\mathbf{0}) = \mathbf{v}_0 \neq \mathbf{0}$ | | **Uzunluk** $\mathbf{v} \to \|\mathbf{v}\|$ | ❌ | $\|-2\mathbf{v}\| = 2\|\mathbf{v}\| \neq -2\|\mathbf{v}\|$ | ## $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ {#sec-T-Av} Her matris bir lineer dönüşüm: $A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w}$ ✓. **Hedef:** Bir dönüşümü anlamak = arkasındaki matrisi bulmak. Koordinat (baz) seçmek lazım. ## Baz Yeter {#sec-baz-yeter} $T$'yi tam tanımak için tüm vektörlerine ne yaptığını bilmek gerekmez. **Bir baza** ne yaptığını bilmek yeter: $$ \mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{v}_i \implies T(\mathbf{v}) = \sum c_i T(\mathbf{v}_i) $$ Sonsuz girdi, sonlu ($n$) bilgiyle kodlanır. ## İki Baz — Girdi + Çıktı {#sec-iki-baz} $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ için: - **Girdi bazı** $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$. - **Çıktı bazı** $\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m$. $$ A \cdot (\text{girdi koord}) = (\text{çıktı koord}) $$ ## Matris Kurma Kuralı ⭐ {#sec-kural} $$ \boxed{A\text{'nın } i\text{. kolonu} = T(\mathbf{v}_i)\text{'nin çıktı bazındaki koordinatları}} $$ **Neden?** Girdi koord $(1, 0, \ldots, 0)$ → $\mathbf{v}_1$ → $T(\mathbf{v}_1)$. $A$'nın 1. kolonu çıkar. ## Projeksiyon — İyi Baz vs Standart Baz {#sec-projeksiyon} 45° doğrusuna projeksiyon. **İyi baz** (özvektör): $\mathbf{v}_1$ doğru üstü, $\mathbf{v}_2$ dik. $T(\mathbf{v}_1) = \mathbf{v}_1, T(\mathbf{v}_2) = \mathbf{0}$: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \Lambda $$ **Standart baz:** $P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$. Aynı dönüşüm, farklı baz → farklı matris. > *"The eigenvector basis is the good basis — it leads to the diagonal matrix Λ."* — Strang, 37:27 ## Türev Lineer Dönüşümdür ⭐ {#sec-turev} Girdi: $\{1, x, x^2\}$; çıktı: $\{1, x\}$. $T(p) = p'$: - $T(1) = 0$ → kolon $(0, 0)$. - $T(x) = 1$ → kolon $(1, 0)$. - $T(x^2) = 2x$ → kolon $(0, 2)$. $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$ Doğrula: $A(c_1, c_2, c_3)^T = (c_2, 2c_3)^T$ — tam türev ✓. > *"We compute derivatives exactly because we know it's a linear transformation."* — Strang, 47:19 **Bonus:** Matris çarpımı = dönüşüm bileşkesi; ters matris = ters dönüşüm. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Lineer dönüşüm** koordinatsız; $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$. 2. **Örnekler/karşı-örnekler** (projeksiyon ✓, kaydırma ✗). 3. **$T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$**. 4. **Baz yeter** ($n$ bilgi). 5. **İki baz** seç. 6. **Kurma kuralı**: $i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord. 7. **İyi baz** → köşegen. 8. **Türev** lineer; matrisi açık. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Lineer dönüşüm matristen önce gelir; baz seçince matris doğar (**$i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord**). **Özvektör bazı** en sade matrisi (Λ) verir; türev de bir lineer dönüşüm — bu autodiff'in temelidir. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Lineer değil testi?"} $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ mı? Kaydırma ihlal eder. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Uzunluk niye lineer değil?"} $\|-2\mathbf{v}\| = 2\|\mathbf{v}\| \neq -2\|\mathbf{v}\|$ (skala kuralı). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Tam tanım için ne kadar bilgi?"} Bir baza ne yaptığı ($T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_n)$). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Matris kurma kuralı?"} $i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$'nin çıktı bazındaki koordinatları. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 5: Aynı projeksiyon iki farklı matris?"} Baz farklı. Özvektör bazı → $\Lambda$; standart baz → $P$. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $T(x, y) = (x, -y)$ standart matrisi? Lineer mi? **Egzersiz 2.** $T(x, y) = (x+1, y)$ lineer mi? **Egzersiz 3.** İkinci türev matrisi $\{1, x, x^2\} \to \{1, x, x^2\}$ bazında. **Egzersiz 4.** *(Python)* Matris çarpımı = bileşke. **Egzersiz 5.** *İspatla:* İki lineer dönüşümün bileşkesi lineer; matrisi çarpımdır. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 31: Baz Değişimi ve Görüntü Sıkıştırma** - Aynı dönüşüm farklı bazlarda → **benzer matrisler** ($B = M^{-1} A M$). - **JPEG / wavelet** sıkıştırma = iyi baza geç + küçük katsayıları at. ::: {.callout-warning title="Ders 31 öncesi"} - Egzersiz 5 (bileşke). - Türev matrisini ($\{1, x, x^2\}$) yeniden hesapla. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Kural | |--------|-------| | **Lineerlik** | $T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w})$ | | **Zorunlu** | $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ | | **$T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$** | Her matris lineer | | **Baz yeter** | $T(\mathbf{v}) = \sum c_i T(\mathbf{v}_i)$ | | **Matris kurma** | $i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord | | **İyi baz** | Özvektör → $\Lambda$ | | **Projeksiyon (özvektör)** | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ | | **Projeksiyon (standart)** | $P = A(A^T A)^{-1} A^T$ | | **Türev** $\{1, x, x^2\} \to \{1, x\}$ | $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ | | **Matris çarpımı** | = bileşke | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="4 köprü"} 1. **Lineer katman + bias = affine** → Lineer kısım + aktivasyon mimarisi. 2. **Baz = temsil** → Embedding, PCA, autoencoder; özvektör bazında ucuz hesap. 3. **Türev lineer → autodiff** → Backprop zincir kuralı = Jacobian çarpımı. 4. **Jacobian = yerel lineer** → Newton, normalizing flows, duyarlılık analizi. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Lineer dönüşüm matristen önce; baz seçince matris doğar (**$i$. kolon = $T(\mathbf{v}_i)$ çıktı koord**). Özvektör bazı = $\Lambda$. Türev de lineer = **autodiff temeli**. :::

32.1 Bu Derste Ne Var?

32.2 Lineer Dönüşüm Tanımı

32.3 Örnekler ve Karşı-Örnekler

32.4 \(T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}\)

32.5 Baz Yeter

32.6 İki Baz — Girdi + Çıktı

32.7 Matris Kurma Kuralı ⭐

32.8 Projeksiyon — İyi Baz vs Standart Baz

32.9 Türev Lineer Dönüşümdür ⭐

32.10 Bu Dersin Özeti

32.11 Kontrol Soruları

32.12 Egzersizler

32.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

32.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

32.15 ML Bağlantıları Özeti