14 Quiz 1 İncelemesi

Ders 1-12 toplu tekrar — rank, x_p + x_n, alt-uzay testleri

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Quiz 1 Review (≈47 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Exam 1 Review
Okuma süresi: ≈35 dk

14.1 Bu Derste Ne Var?

Tekrar oturumu. Yeni kavram yok; eski quiz sorularıyla Chapter 1-3 birleştirilir.

Boyut sayma: span, rank, dört alt-uzay.
Ters mühendislik: tam çözüm → matrisi geri çıkar.
Doğru/yanlış mantığı: alt-uzay testleri, B² = 0 tuzakları.
Önizleme: satır uzayı ⊥ null uzayı (Ders 14).

“This particular plus null space pattern goes throughout mathematics of linear systems… it spreads everywhere.” — Strang, 36:31

flowchart LR
    RANK["rank r<br/>her şeyi belirler"] --> DIM["dim C(A)=r<br/>dim N(A)=n-r<br/>dim N(Aᵀ)=m-r"]
    RANK --> SOL["Çözüm sayısı<br/>(0, 1, ∞)"]
    XP["x_p + x_n<br/>tam çözüm kalıbı"] --> ML["Regularization<br/>min-norm seçimi"]
    PERP["⭐ Satır ⊥ null<br/>(Ders 14 önizleme)"] --> SVD["SVD, least squares,<br/>pseudoinverse"]

    style PERP fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style SVD fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    RANK["rank r<br/>her şeyi belirler"] --> DIM["dim C(A)=r<br/>dim N(A)=n-r<br/>dim N(Aᵀ)=m-r"]
    RANK --> SOL["Çözüm sayısı<br/>(0, 1, ∞)"]
    XP["x_p + x_n<br/>tam çözüm kalıbı"] --> ML["Regularization<br/>min-norm seçimi"]
    PERP["⭐ Satır ⊥ null<br/>(Ders 14 önizleme)"] --> SVD["SVD, least squares,<br/>pseudoinverse"]

    style PERP fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style SVD fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 14.1: Quiz 1 ana temaları: rank her şeyi belirler; x_p + x_n her yerde.

14.2 Span ve Boyut

Soru: $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ sıfır-olmayan $\mathbb{R}^7$’de. Span boyutu?

Cevap: 1, 2 veya 3. En fazla 3 (vektör sayısı), en az 1 (hepsi sıfır-olmayan).

Genel: $k$ vektörün span’ı en fazla $k$ boyut = bağımsız sayısı (rank).

14.3 Blok Matrisler ve Rank

$U$ ($5 \times 3$, rank 3 = full column).

(a) $N(U) = \{\mathbf{0}\}$ (full column rank).

(b) $\begin{pmatrix} U \\ 2U \end{pmatrix}$ ($10 \times 3$): 2U birinin katı → eliminasyonda sıfırlanır → rank 3.

(c) $\begin{pmatrix} U & U \\ U & 0 \end{pmatrix}$ ($10 \times 6$): blok eliminasyonu → 2 bağımsız $U$ → rank 6.

“That has rank six, I can tell.” — Strang, 8:56

Builder Notu: Derin öğrenmede blok-yapılı ağırlık matrisleri (multi-head attention, blok-diagonal katmanlar). “Tekrarlı blok rank katmaz” sezgisi weight tying’in etkin rank’i nasıl sınırladığını verir.

14.4 Dört Alt-Uzayın Boyutları

C $10 \times 6$, rank 6 → $\dim N(C^T) = m - r = 10 - 6 = 4$.

Formüller ($m \times n$, rank $r$):

$\dim C(A) = r$
$\dim C(A^T) = r$
$\dim N(A) = n - r$
$\dim N(A^T) = m - r$

14.5 Ters Mühendislik — Çözümden Matrise

$A\mathbf{x} = (2, 4, 2)^T$ tam çözüm: $\mathbf{x}_p = (2, 0, 0)$ + $c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1)$. $A$ nedir?

Null uzayında 2 vektör → $\dim N = 2$, $n = 3$ → rank 1.
$(0, 0, 1) \in N(A)$ → 3. kolon = $\mathbf{0}$.
$(1, 1, 0) \in N(A)$ → kolon₁ + kolon₂ = $\mathbf{0}$ → kolon₂ = −kolon₁.
$\mathbf{x}_p = (2, 0, 0)$ → $2 \cdot$ kolon₁ = $(2, 4, 2)$ → kolon₁ = $(1, 2, 1)$.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]

Builder Notu: Bu “çözümden modeli geri çıkarma” = kimliklenebilirlik (identifiability) sorusu. Null uzayı büyükse model tam belirlenemez (birden çok parametre aynı çıktıyı).

14.6 Çözülebilirlik

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ancak $\mathbf{b} \in C(A) = \{c(1,2,1)^T\}$.

14.7 Doğru/Yanlış

(a) Kare $A$, $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ → $N(A^T) = ?$ → Kare matriste $N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff$ tersinir $\iff N(A^T) = \{\mathbf{0}\}$.

(b) 5×5 tersinir matrisler alt-uzay mı? → HAYIR. Sıfır matris tersinir değil.

(c) 5×5 singular matrisler alt-uzay mı? → HAYIR. İki singular toplam tersinir olabilir:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \]

Builder Notu: Tersinir matrisler = manifold (GL grubu); alt-uzay değil. Normalizing flows, RNN stabilizasyonu manifold optimizasyonu gerektirir.

14.8 B² = 0 ve Çarpım Null Uzayı

(a) $B^2 = 0$ → $B = 0$? YANLIŞ. Nilpotent örnek:

\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B^2 = 0 \]

(b) $C$ tersinir → $N(CD) = N(D)$. $CD\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff D\mathbf{x} = \mathbf{0}$.

Builder Notu: Soldan tersinir çarpım = preconditioning, whitening, baz değişimi — çözümü değiştirmez ama optimizasyonu iyileştirir.

14.9 Satır vs Kolon Uzayı

(a) Kare için satır = kolon uzayı? YANLIŞ. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ — satır $(0,1)$, kolon $(1,0)$ katları. Boyutları aynı ($r$), uzaylar farklı. Simetrik ise eşit.

(b) $A$ ve $-A$ aynı dört alt-uzay? EVET.

(c) Aynı dört alt-uzay → $A = cB$? YANLIŞ. İki tersinir $6 \times 6$ aynı alt-uzaylara sahip ($C = \mathbb{R}^6$, $N = \{\mathbf{0}\}$) ama farklı matris.

14.10 Satır Operasyonları

Satır takası neyi korur?

Satır uzayı ✓ (kümesi aynı)
Null uzayı ✓ ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ aynı)
Kolon uzayı ✗ (değişir)

“The row space does stay the same. And the null space stays the same. Column space would be a wrong answer.” — Strang, 43:53

Bu yüzden kolon uzayı bazı için orijinal $A$’nın pivot kolonlarını alırız.

14.11 Satır Uzayı ⊥ Null Uzayı — Ders 14 Önizleme ⭐

Soru: $(1, 2, 3)$ neden hem satır hem null uzayında olamaz?

\[ (1, 2, 3) \cdot (1, 2, 3) = 14 \neq 0 \]

Ama null uzayında olsaydı bu çarpım sıfır olurdu. Çelişki → bir vektör hem satır hem null’da olamaz (sıfır hariç).

“The null space is perpendicular to the row space.” — Strang, 47:14

Chapter 4 ortogonallik burada başlıyor.

14.12 Bu Tekrarın Özeti

Span boyutu — bağımsız sayısı.
Blok rank — tekrar katmaz.
Dört boyut formülü.
Ters mühendislik — çözüm → kolonlar.
Çözülebilirlik = $\mathbf{b} \in C(A)$.
Alt-uzay testi — sıfır + kapalılık.
Tuzaklar — $B^2 = 0 \not\Rightarrow B = 0$; $N(CD) = N(D)$ tersinir $C$.
Satır ≠ kolon uzayı (genel).
Satır takası satır + null korur.
Satır ⊥ null (Ders 14).

Tek bir cümle

Rank her şeyi belirler (boyut, çözüm sayısı); tam çözüm = $\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$; ve satır uzayı ⊥ null uzayı — Chapter 4’ün kapısı.

14.13 Kontrol Soruları

Soru 1: 7×4, rank 3 — dört boyut, Ax = b durumu.

$m = 7, n = 4, r = 3$.

$\dim C(A) = 3$ ($\mathbb{R}^7$’de)
$\dim C(A^T) = 3$ ($\mathbb{R}^4$’te)
$\dim N(A) = 1$
$\dim N(A^T) = 4$

$r < m$ → bazı $\mathbf{b}$ için 0 çözüm; $r < n$ → çözüm varsa $\infty$. 0 veya $\infty$.

Soru 2: Ax = (1,2) tam çözüm (3,0,0) + c(1,-1,0) + d(0,0,1) → A?

$(0,0,1) \in N$ → 3. kolon = $\mathbf{0}$.
$(1,-1,0) \in N$ → kolon₁ = kolon₂.
$\mathbf{x}_p = (3,0,0)$ → $3 \cdot$ kolon₁ = $(1, 2)$ → kolon₁ = $(1/3, 2/3)$.

\[ A = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 0 \\ 2/3 & 2/3 & 0 \end{pmatrix} \]

rank 1, $\dim N = 2$ ✓.

Soru 3: 3×3 iz=0 matrisler alt-uzay mı?

Doğru. İz lineer: $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$, $\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$.

Sıfır matris izi 0 → içerir.
Toplamada/çarpmada kapalı.

Boyut: $9 - 1 = 8$ (1 kısıt = 1 boyut yer). Bu, $\mathfrak{sl}(n)$ Lie cebiri uzayı.

Soru 4: P tersinir → PA hangi alt-uzayları korur? ML karşılığı?

Null: $PA\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → korunur.
Satır uzayı: $P$’nin satırları $A$’nın satırlarının komb. → korunur.
Kolon uzayı: değişir.

ML:

Preconditioning: $PA\mathbf{x} = P\mathbf{b}$ → çözüm aynı, yakınsama hızlı.
Whitening: veriyi tersinirle ölçekle → lineer yapı korunur, optimizasyon iyi.
Baz değişimi (Ders 31): problemin özü değişmez.

14.14 Egzersizler

Egzersiz 1. 4×7, rank 4 — dört boyut, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ çözüm durumu.

Egzersiz 2. $A\mathbf{x} = (4, 8)^T$ tam çözüm $(2, 0, 0) + c(1, -2, 0) + d(0, 1, 1)$ → $A$ ($2 \times 3$).

Egzersiz 3. Doğru/Yanlış:

1. $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ → kolonlar bağımsız.
1. 3×3 simetrik matrisler alt-uzay mı?
1. $A^2 = I$ → $A = I$ veya $A = -I$.
1. Satır takası kolon uzayını korur.

Egzersiz 4. (Python) Boyut sayımı ve çözülebilirlik testleri.

Egzersiz 5. İspatla: Bir vektör hem satır hem null uzayındaysa sıfırdır. (İpucu: $\mathbf{v} = A^T \mathbf{z}$ ve $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{v}^T \mathbf{v} = 0$.) Ders 14’ün tam ifadesi.

14.15 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 14: Ortogonal Vektörler ve Alt-Uzaylar

$\mathbf{x}^T \mathbf{y} = 0$, Pisagor.
Ortogonal alt-uzaylar.
Satır ⊥ null, kolon ⊥ sol null.
$A^T A$ matrisi.

Ders 14 öncesi

Ders 1-12 egzersizlerini gözden geçir.
matrix_rank ile boyut sayımı ve çözülebilirlik pratik.
Ana cümleyi tekrar oku.

14.16 Sınav Formülleri (Cheat Sheet)

Soru tipi	Anahtar	Strang’da
Span boyutu	En fazla $k$; bağımsız sayısı	1m47
Full column null	$r = n$ → $N(A) = \{\mathbf{0}\}$	3m03
Blok rank	Tekrar katmaz	4m31
Dört boyut	$r, r, n-r, m-r$	9m08
Çözümden matrise	$\mathbf{x}_p$ → kolon; null → ilişki	11m05
Çözülebilirlik	$\mathbf{b} \in C(A)$	16m44
Kare N={0}	$\iff$ tersinir	18m46
Alt-uzay testi	Sıfır + kapalılık	19m20
$N(CD) = N(D)$	$C$ tersinir	30m02
Satır takası	Satır + null korur	43m29
Satır ⊥ null	Sadece $\mathbf{0}$’da kesişir	47m14

14.17 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Boyut sayma refleksi → serbestlik dereceleri teşhisi.
$\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$ → regularization, min-norm.
Tersinir sol çarpım null korur → preconditioning, whitening.
Satır ⊥ null → SVD, LS, pseudoinverse zemini.
Ters mühendislik = identifiability → null büyükse model belirsiz.
Tersinir = manifold → Riemannian/manifold optimizasyon.
Blok rank → weight tying / parametre paylaşımı.

Tek bir şey alıp gideceksen

Rank tek başına sistemin kaderini belirler; tam çözüm $\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$; satır uzayı ⊥ null uzayı — Chapter 4 (ortogonallik) ve SVD’nin başlangıcı.

--- title: "Quiz 1 İncelemesi" subtitle: "Ders 1-12 toplu tekrar — rank, x_p + x_n, alt-uzay testleri" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Quiz 1 Review](https://www.youtube.com/watch?v=l88D4r74gtM) (≈47 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Exam 1 Review](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/exam-1-review/) - **Okuma süresi:** ≈35 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Tekrar oturumu. Yeni kavram yok; eski quiz sorularıyla Chapter 1-3 birleştirilir. 1. **Boyut sayma:** span, rank, dört alt-uzay. 2. **Ters mühendislik:** tam çözüm → matrisi geri çıkar. 3. **Doğru/yanlış mantığı:** alt-uzay testleri, B² = 0 tuzakları. 4. **Önizleme:** satır uzayı ⊥ null uzayı (Ders 14). > *"This particular plus null space pattern goes throughout mathematics of linear systems... it spreads everywhere."* — Strang, 36:31 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Quiz 1 ana temaları: rank her şeyi belirler; x_p + x_n her yerde." flowchart LR RANK["rank r her şeyi belirler"] --> DIM["dim C(A)=r dim N(A)=n-r dim N(Aᵀ)=m-r"] RANK --> SOL["Çözüm sayısı (0, 1, ∞)"] XP["x_p + x_n tam çözüm kalıbı"] --> ML["Regularization min-norm seçimi"] PERP["⭐ Satır ⊥ null (Ders 14 önizleme)"] --> SVD["SVD, least squares, pseudoinverse"] style PERP fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style SVD fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ## Span ve Boyut {#sec-span} **Soru:** $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ sıfır-olmayan $\mathbb{R}^7$'de. Span boyutu? **Cevap:** 1, 2 veya 3. En fazla 3 (vektör sayısı), en az 1 (hepsi sıfır-olmayan). **Genel:** $k$ vektörün span'ı en fazla $k$ boyut = bağımsız sayısı (rank). ## Blok Matrisler ve Rank {#sec-blok} $U$ ($5 \times 3$, rank 3 = full column). **(a)** $N(U) = \{\mathbf{0}\}$ (full column rank). **(b)** $\begin{pmatrix} U \\ 2U \end{pmatrix}$ ($10 \times 3$): 2U birinin katı → eliminasyonda sıfırlanır → rank **3**. **(c)** $\begin{pmatrix} U & U \\ U & 0 \end{pmatrix}$ ($10 \times 6$): blok eliminasyonu → 2 bağımsız $U$ → rank **6**. > *"That has rank six, I can tell."* — Strang, 8:56 **Builder Notu:** Derin öğrenmede blok-yapılı ağırlık matrisleri (multi-head attention, blok-diagonal katmanlar). "Tekrarlı blok rank katmaz" sezgisi weight tying'in etkin rank'i nasıl sınırladığını verir. ## Dört Alt-Uzayın Boyutları {#sec-dort-boyut} C $10 \times 6$, rank 6 → $\dim N(C^T) = m - r = 10 - 6 = 4$. **Formüller** ($m \times n$, rank $r$): - $\dim C(A) = r$ - $\dim C(A^T) = r$ - $\dim N(A) = n - r$ - $\dim N(A^T) = m - r$ ## Ters Mühendislik — Çözümden Matrise {#sec-ters-muhendislik} $A\mathbf{x} = (2, 4, 2)^T$ tam çözüm: $\mathbf{x}_p = (2, 0, 0)$ + $c(1, 1, 0) + d(0, 0, 1)$. **$A$ nedir?** - Null uzayında 2 vektör → $\dim N = 2$, $n = 3$ → **rank 1**. - $(0, 0, 1) \in N(A)$ → 3. kolon = $\mathbf{0}$. - $(1, 1, 0) \in N(A)$ → kolon₁ + kolon₂ = $\mathbf{0}$ → kolon₂ = −kolon₁. - $\mathbf{x}_p = (2, 0, 0)$ → $2 \cdot$ kolon₁ = $(2, 4, 2)$ → kolon₁ = $(1, 2, 1)$. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$ **Builder Notu:** Bu "çözümden modeli geri çıkarma" = **kimliklenebilirlik (identifiability)** sorusu. Null uzayı büyükse model tam belirlenemez (birden çok parametre aynı çıktıyı). ## Çözülebilirlik {#sec-cozulebilirlik} $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ancak $\mathbf{b} \in C(A) = \{c(1,2,1)^T\}$. ## Doğru/Yanlış {#sec-DY} **(a) Kare $A$, $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ → $N(A^T) = ?$** → Kare matriste $N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff$ tersinir $\iff N(A^T) = \{\mathbf{0}\}$. **(b) 5×5 tersinir matrisler alt-uzay mı?** → **HAYIR**. Sıfır matris tersinir değil. **(c) 5×5 singular matrisler alt-uzay mı?** → **HAYIR**. İki singular toplam tersinir olabilir: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$ **Builder Notu:** Tersinir matrisler = manifold (GL grubu); alt-uzay değil. Normalizing flows, RNN stabilizasyonu **manifold optimizasyonu** gerektirir. ## B² = 0 ve Çarpım Null Uzayı {#sec-B2-CD} **(a) $B^2 = 0$ → $B = 0$?** **YANLIŞ.** Nilpotent örnek: $$ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B^2 = 0 $$ **(b) $C$ tersinir → $N(CD) = N(D)$.** $CD\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff D\mathbf{x} = \mathbf{0}$. **Builder Notu:** Soldan tersinir çarpım = **preconditioning**, whitening, baz değişimi — çözümü değiştirmez ama optimizasyonu iyileştirir. ## Satır vs Kolon Uzayı {#sec-satir-vs-kolon} **(a) Kare için satır = kolon uzayı?** **YANLIŞ.** $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ — satır $(0,1)$, kolon $(1,0)$ katları. Boyutları aynı ($r$), uzaylar farklı. **Simetrik** ise eşit. **(b) $A$ ve $-A$ aynı dört alt-uzay?** **EVET**. **(c) Aynı dört alt-uzay → $A = cB$?** **YANLIŞ**. İki tersinir $6 \times 6$ aynı alt-uzaylara sahip ($C = \mathbb{R}^6$, $N = \{\mathbf{0}\}$) ama farklı matris. ## Satır Operasyonları {#sec-satir-op} **Satır takası neyi korur?** - **Satır uzayı** ✓ (kümesi aynı) - **Null uzayı** ✓ ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ aynı) - **Kolon uzayı** ✗ (değişir) > *"The row space does stay the same. And the null space stays the same. Column space would be a wrong answer."* — Strang, 43:53 Bu yüzden kolon uzayı bazı için **orijinal $A$'nın** pivot kolonlarını alırız. ## Satır Uzayı ⊥ Null Uzayı — Ders 14 Önizleme ⭐ {#sec-orthogonal-onizleme} **Soru:** $(1, 2, 3)$ neden hem satır hem null uzayında olamaz? $$ (1, 2, 3) \cdot (1, 2, 3) = 14 \neq 0 $$ Ama null uzayında olsaydı bu çarpım sıfır olurdu. **Çelişki** → bir vektör hem satır hem null'da olamaz (sıfır hariç). > *"The null space is perpendicular to the row space."* — Strang, 47:14 Chapter 4 **ortogonallik** burada başlıyor. ## Bu Tekrarın Özeti {#sec-ozet} 1. **Span boyutu** — bağımsız sayısı. 2. **Blok rank** — tekrar katmaz. 3. **Dört boyut formülü**. 4. **Ters mühendislik** — çözüm → kolonlar. 5. **Çözülebilirlik** = $\mathbf{b} \in C(A)$. 6. **Alt-uzay testi** — sıfır + kapalılık. 7. **Tuzaklar** — $B^2 = 0 \not\Rightarrow B = 0$; $N(CD) = N(D)$ tersinir $C$. 8. **Satır ≠ kolon uzayı** (genel). 9. **Satır takası** satır + null korur. 10. **Satır ⊥ null** (Ders 14). ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Rank her şeyi belirler** (boyut, çözüm sayısı); **tam çözüm = $\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$**; ve satır uzayı ⊥ null uzayı — Chapter 4'ün kapısı. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: 7×4, rank 3 — dört boyut, Ax = b durumu."} $m = 7, n = 4, r = 3$. - $\dim C(A) = 3$ ($\mathbb{R}^7$'de) - $\dim C(A^T) = 3$ ($\mathbb{R}^4$'te) - $\dim N(A) = 1$ - $\dim N(A^T) = 4$ $r < m$ → bazı $\mathbf{b}$ için 0 çözüm; $r < n$ → çözüm varsa $\infty$. **0 veya $\infty$**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Ax = (1,2) tam çözüm (3,0,0) + c(1,-1,0) + d(0,0,1) → A?"} - $(0,0,1) \in N$ → 3. kolon = $\mathbf{0}$. - $(1,-1,0) \in N$ → kolon₁ = kolon₂. - $\mathbf{x}_p = (3,0,0)$ → $3 \cdot$ kolon₁ = $(1, 2)$ → kolon₁ = $(1/3, 2/3)$. $$ A = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 0 \\ 2/3 & 2/3 & 0 \end{pmatrix} $$ rank 1, $\dim N = 2$ ✓. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: 3×3 iz=0 matrisler alt-uzay mı?"} **Doğru.** İz lineer: $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$, $\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)$. - Sıfır matris izi 0 → içerir. - Toplamada/çarpmada kapalı. Boyut: $9 - 1 = 8$ (1 kısıt = 1 boyut yer). Bu, $\mathfrak{sl}(n)$ Lie cebiri uzayı. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: P tersinir → PA hangi alt-uzayları korur? ML karşılığı?"} - **Null:** $PA\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → korunur. - **Satır uzayı:** $P$'nin satırları $A$'nın satırlarının komb. → korunur. - **Kolon uzayı:** değişir. **ML:** - **Preconditioning:** $PA\mathbf{x} = P\mathbf{b}$ → çözüm aynı, yakınsama hızlı. - **Whitening:** veriyi tersinirle ölçekle → lineer yapı korunur, optimizasyon iyi. - **Baz değişimi (Ders 31):** problemin özü değişmez. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** 4×7, rank 4 — dört boyut, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ çözüm durumu. **Egzersiz 2.** $A\mathbf{x} = (4, 8)^T$ tam çözüm $(2, 0, 0) + c(1, -2, 0) + d(0, 1, 1)$ → $A$ ($2 \times 3$). **Egzersiz 3.** Doğru/Yanlış: - (a) $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ → kolonlar bağımsız. - (b) 3×3 simetrik matrisler alt-uzay mı? - (c) $A^2 = I$ → $A = I$ veya $A = -I$. - (d) Satır takası kolon uzayını korur. **Egzersiz 4.** *(Python)* Boyut sayımı ve çözülebilirlik testleri. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Bir vektör hem satır hem null uzayındaysa sıfırdır. (İpucu: $\mathbf{v} = A^T \mathbf{z}$ ve $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{v}^T \mathbf{v} = 0$.) **Ders 14'ün tam ifadesi.** ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 14: Ortogonal Vektörler ve Alt-Uzaylar** - $\mathbf{x}^T \mathbf{y} = 0$, Pisagor. - Ortogonal alt-uzaylar. - Satır ⊥ null, kolon ⊥ sol null. - $A^T A$ matrisi. ::: {.callout-warning title="Ders 14 öncesi"} - Ders 1-12 egzersizlerini gözden geçir. - `matrix_rank` ile boyut sayımı ve çözülebilirlik pratik. - Ana cümleyi tekrar oku. ::: ## Sınav Formülleri (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Soru tipi | Anahtar | Strang'da | |-----------|---------|-----------| | **Span boyutu** | En fazla $k$; bağımsız sayısı | 1m47 | | **Full column null** | $r = n$ → $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ | 3m03 | | **Blok rank** | Tekrar katmaz | 4m31 | | **Dört boyut** | $r, r, n-r, m-r$ | 9m08 | | **Çözümden matrise** | $\mathbf{x}_p$ → kolon; null → ilişki | 11m05 | | **Çözülebilirlik** | $\mathbf{b} \in C(A)$ | 16m44 | | **Kare N=\{0\}** | $\iff$ tersinir | 18m46 | | **Alt-uzay testi** | Sıfır + kapalılık | 19m20 | | **$N(CD) = N(D)$** | $C$ tersinir | 30m02 | | **Satır takası** | Satır + null korur | 43m29 | | **Satır ⊥ null** | Sadece $\mathbf{0}$'da kesişir | 47m14 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Boyut sayma refleksi** → serbestlik dereceleri teşhisi. 2. **$\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$** → regularization, min-norm. 3. **Tersinir sol çarpım null korur** → preconditioning, whitening. 4. **Satır ⊥ null** → SVD, LS, pseudoinverse zemini. 5. **Ters mühendislik = identifiability** → null büyükse model belirsiz. 6. **Tersinir = manifold** → Riemannian/manifold optimizasyon. 7. **Blok rank** → weight tying / parametre paylaşımı. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Rank** tek başına sistemin kaderini belirler; tam çözüm $\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$; satır uzayı ⊥ null uzayı — Chapter 4 (ortogonallik) ve SVD'nin başlangıcı. :::