---
title: "Final İncelemesi"
subtitle: "Tüm kursun bir araya gelişi — 34/34 🎓"
---
::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"}
- **Strang'in videosu:** [YouTube — Final Course Review](https://www.youtube.com/watch?v=RWvi4Vx4CDc) (≈43 dk)
- **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Final Review](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/final-course-review/)
- **Okuma süresi:** ≈35 dk
:::
## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste}
**Kursun son dersi** — Bölüm 1–7'nin bir araya gelişi.
1. **Rank ve çözülebilirlik**.
2. **$A^T A$ / $AA^T$** gerçekleri.
3. **Null uzayı ve teklik**.
4. **Markov, least squares, 2×2 hızlı sorular**.
```{mermaid}
%%| label: fig-concept-map
%%| fig-cap: "Tüm kurs tek bir bağlı resim: rank → alt-uzay → özdeğer → SVD → LS → pseudoinverse."
flowchart LR
AB["Ax = b"] --> RANK["Çözüm sayısı = rank yapısı"]
RANK --> SUBSP["Dört alt-uzay"]
SUBSP --> EIG["Özdeğer / özvektör"]
EIG --> SVD["⭐ SVD A = UΣVᵀ"]
SVD --> LS["Least squares"]
LS --> PINV["Pseudoinverse A⁺"]
PINV --> ML["ML omurgası:<br/>PCA, LoRA, regresyon,<br/>kararlılık, sıkıştırma"]
style SVD fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px
```
::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML'in Dili"}
Lineer cebir tek bir bağlı resim. ML'de:
- **Forward pass** = matris çarpımı.
- **Eğitim** = optimizasyon (PD Hessian).
- **Embedding** = baz değişimi.
- **Attention** = iç çarpım.
- **LoRA** = SVD / düşük-rank.
Bu 34 dersin her kavramı modern ML'de doğrudan karşılık bulur.
:::
## Soru 1: Rank ve Çözülebilirlik {#sec-soru-1}
3×$n$ matris. $A\mathbf{x} = (1, 0, 0)$ çözümsüz, $A\mathbf{x} = (0, 1, 0)$ tek çözüm.
- **$m = 3$**.
- Çözümsüz var → bazı satırlar bağımlı → **$r < m$**.
- Tek çözüm → null = $\{\mathbf{0}\}$ → **$r = n$**.
Sonuç: $m = 3, r = n < 3$.
> *"No solution tells me r < m; exactly one solution tells me r = n."* — Strang, 3:50
## Soru 1 T/F {#sec-TF}
| İddia | D/Y | Neden |
|-------|-----|-------|
| $\det(A^T A) = \det(AA^T)$ | **Y** | A kare değil; $A^T A$ tersinir, $AA^T$ singüler |
| $A^T A$ tersinir | **D** | $r = n$ |
| $AA^T$ PD | **Y** | rank $< 3$, sadece PSD |
**Önemli:** $\det(AB) = \det(BA)$ **yalnız kare** matriste.
## Aᵀy = c — Varlık + Çokluk {#sec-AT-y}
- $A$'nın kolonları bağımsız → $A^T$ satırları bağımsız → her $\mathbf{c}$ için çözüm.
- $A^T$ null boyutu $m - r > 0$ → sonsuz çözüm.
## Soru 2: Kolon Kombinasyonu {#sec-kolon}
$A\mathbf{x} = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3$ → $\mathbf{x} = (1, -1, 1)$.
$\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ ise $(1, -1, 1) \in N(A)$ → **çözüm asla tek değil**.
## Soru 3: Markov Kararlı Durum {#sec-markov}
Kolonlar bağımlı (singüler), trace 0.8 → $\lambda = 0, 1, -0.2$.
$\mathbf{u}_0 = (0, 10, 0)$. $k \to \infty$ sadece $\lambda = 1$ kalır.
$\lambda = 1$ özvektör $(3, 3, 4)$. Toplam korunur: $3 + 3 + 4 = 10$ → $c_2 = 1$:
$$
\mathbf{u}_\infty = (3, 3, 4)
$$
## Soru 4: 2×2 Hızlı {#sec-2x2}
| İstek | Cevap |
|-------|-------|
| $\mathbf{a} = (4, -3)$ projeksiyon | $P = \mathbf{a}\mathbf{a}^T / \mathbf{a}^T \mathbf{a}$ |
| Özdeğer 0, 3; özvektör $(1, 2), (2, 1)$ | $A = S\Lambda S^{-1}$ |
| $B^T B$ olarak yazılamaz | Simetrik-olmayan herhangi $A$ |
| Ortogonal özvektör + simetrik değil | Anti-simetrik veya ortogonal $Q$ |
## Soru 5: Least Squares {#sec-LS}
$(0, 3), (1, 4), (2, 1)$ → $y = C + Dt$, $\hat C = 11/3, \hat D = -1$.
- **Projeksiyon $\mathbf{p}$:** $\frac{11}{3} \mathbf{c}_1 - \mathbf{c}_2$.
- **Çözüm 0** olsun: $\mathbf{b} \perp C(A)$. Örnek: $\mathbf{b} = (1, -2, 1)$ kolonlara dik → en iyi (0, 0).
## Final Stratejisi {#sec-strateji}
- **Çözüm sayısından rank oku.**
- **$A^T A$ tersinir ⟺ $r = n$**.
- **Özel matrisi özdeğerinden tanı.**
- **Markov:** $\lambda = 1$ + korunum.
- **LS = projeksiyon**; $\mathbf{b} \perp C$ → çözüm 0.
- **$\det(AB) = \det(BA)$** yalnız kare.
## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet}
1. **Çözülebilirlik ↔ rank**.
2. **$A^T A, AA^T$** rank yapısına bağlı.
3. **Null uzayı ↔ teklik**.
4. **Ortonormal vektörler** → dik projeksiyon.
5. **Markov**: $\lambda = 1$ + toplam korunumu.
6. **LS = kolon uzayı projeksiyonu**.
7. **Özel matris = parmak izi**.
::: {.callout-important title="Tek bir cümle"}
Tüm kurs **tek bağlı resim**: rank → 4 alt-uzay → özdeğer → SVD → LS → pseudoinverse. Bir problemi (regresyon, boyut indirme, kararlılık) doğru lineer cebir aracına eşlemek bütünsel bakıştan gelir — ML model tasarımının sezgisel temeli.
:::
## Kontrol Soruları {#sec-sorular}
::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: Çözümsüz + tek çözüm → rank?"}
$r < m$ + $r = n$ → $r = n < m$.
:::
::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: det(AᵀA) = det(AAᵀ) ne zaman?"}
Yalnız $A$ kare. Dikdörtgende biri 0, diğeri ≠ 0 olabilir.
:::
::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Kolon komb. = 0 → teklik?"}
$(1, -1, 1) \in N(A)$ → çözüm tek değil.
:::
::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Markov kararlı durum?"}
$\lambda = 1$ özvektörü + toplam korunum.
:::
::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 5: LS çözüm 0 için b?"}
$\mathbf{b} \perp C(A)$.
:::
## Egzersizler {#sec-egzersizler}
**Egzersiz 1.** $\lambda = 2, 5$, özvektör $(1, 0), (1, 1)$ → $A = S\Lambda S^{-1}$.
**Egzersiz 2.** $A$ 4×6, rank 4 → çözüm var mı, tek mi?
**Egzersiz 3.** $\mathbf{b} = (1, 1, 1)$ → sabit $y = C$ fit → ortalama.
**Egzersiz 4.** *(Python)* Tüm kavramları tek örnekte bir araya getir.
**Egzersiz 5.** *İspat:* Tek satırla, rank-1 + $C(A)$ + LS.
## Kurs Tamamlandı 🎓 {#sec-tamamlandi}
**MIT 18.06 Lineer Cebir'in 34 dersi tamamlandı.**
Bu Türkçe uyarlamada, Strang'in pedagojik sırası korunarak her dersin yanına **ML/Builder köprüleri** eklendi: PCA, SVD, LoRA, normalizing flows, attention, RNN kararlılığı, Markov/PageRank, Cholesky, Fourier features...
> *"Above all, thanks for taking the course."* — Strang
**Sonrası:** öğrendiklerini koda dök (NumPy/PyTorch), gerçek veriyle PCA/SVD/regresyon dene, Strang'in videolarını referans olarak sakla.
> *"Linear algebra is about the nice part of calculus, where everything's flat and the formulas come out right."* — Strang, 21:52
## Cheat Sheet (Kurs Geneli) {#sec-cheat-sheet}
| Soru | Anahtar |
|------|---------|
| **Çözüm var mı?** | $\mathbf{b} \in C(A)$? |
| **Tek mi?** | $N(A) = \{\mathbf{0}\}$? ($r = n$) |
| **Her $\mathbf{b}$ çözülür?** | Tam satır rank ($r = m$) |
| **$A^T A$ tersinir** | $r = n$ |
| **$\det(A^T A) = \det(AA^T)$** | Yalnız $A$ kare |
| **Markov kararlı** | $\lambda = 1$ özvektör + toplam |
| **LS = projeksiyon** | $\mathbf{b}$'nin $C(A)$ üzerine |
| **Çözüm = 0** | $\mathbf{b} \perp C(A)$ |
| **$A = S\Lambda S^{-1}$** | Özvektör/özdeğerden |
| **Özel matris** | Özdeğer parmak izi |
| **SVD** | $A = U\Sigma V^T$ her matrise |
| **Pseudoinverse** | $A^+ = V\Sigma^+ U^T$ |
## ML Bağlantıları (Kapanış) {#sec-ml-kapanis}
::: {.callout-tip title="4 büyük tema"}
1. **Rank-çözülebilirlik = model belirlenebilirliği** → over/under-determined; regularization.
2. **$A^T A$, özdeğer, SVD = tek araç kutusu** → PCA, regresyon, kararlılık, sıkıştırma aynı kavramlar.
3. **Markov kararlı durum** → PageRank, RNN, MCMC.
4. **Lineer cebir = ML'in dili** → forward pass, embedding, attention, LoRA hepsi buradan.
:::
::: {.callout-important title="🎓 Tek bir şey alıp gideceksen"}
Lineer cebir **tek bir bağlı resim** — rank, dört alt-uzay, özdeğer, SVD, least squares. Modern ML'in matematik dili. **NumPy ile pekiştir, gerçek veride dene, Strang'i referans olarak sakla.**
**34/34 — Lineer cebir yolculuğu burada bitiyor; gerçek öğrenme, kodda başlıyor.**
:::