19 Determinant ve Özellikleri

Üç özellikten her şey — hacim, tersinirlik, Jacobian

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 18: Properties of Determinants (≈48 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 18
Okuma süresi: ≈40 dk

19.1 Bu Derste Ne Var?

Kare matrislere geçiş. Determinant = her kare matrise atanan bir sayı. Hedef: A tersinir ⟺ det A ≠ 0 + özdeğerlere hazırlık (Ders 21).

3 tanımlayıcı özellik:

$\det(I) = 1$.
Satır takası → işaret değişir.
Her satırda lineer.

Bu üç özellikten tüm formüller ve sonuçlar türer.

“Determinant of A is zero exactly when A is singular.” — Strang, 28:28

flowchart LR
    P1["det(I) = 1"] --> CORE["⭐ 3 tanımlayıcı özellik"]
    P2["satır takası: ±"] --> CORE
    P3["satır-lineer"] --> CORE
    CORE --> P4["eşit satır → 0"]
    CORE --> P5["eliminasyon korur<br/>det A = det U"]
    CORE --> P7["üçgensel = pivot çarpımı"]
    P7 --> P8["det = 0 ⟺ tekil"]
    CORE --> P9["det(AB) = det(A)det(B)<br/>det(A⁻¹) = 1/det(A)"]
    CORE --> P10["det(Aᵀ) = det(A)"]

    P8 --> VOL["💡 det = hacim ölçeği"]
    P9 --> ML["Jacobian zinciri<br/>normalizing flows<br/>log-det Σ (Gaussian)"]

    style CORE fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    P1["det(I) = 1"] --> CORE["⭐ 3 tanımlayıcı özellik"]
    P2["satır takası: ±"] --> CORE
    P3["satır-lineer"] --> CORE
    CORE --> P4["eşit satır → 0"]
    CORE --> P5["eliminasyon korur<br/>det A = det U"]
    CORE --> P7["üçgensel = pivot çarpımı"]
    P7 --> P8["det = 0 ⟺ tekil"]
    CORE --> P9["det(AB) = det(A)det(B)<br/>det(A⁻¹) = 1/det(A)"]
    CORE --> P10["det(Aᵀ) = det(A)"]

    P8 --> VOL["💡 det = hacim ölçeği"]
    P9 --> ML["Jacobian zinciri<br/>normalizing flows<br/>log-det Σ (Gaussian)"]

    style CORE fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 19.1: 3 özellik → 10 sonuç. det = hacim, tersinirlik testi, Jacobian, flow modellerinin temeli.

Builder Notu — Determinant ML’in Sessiz Kahramanı

det = Jacobian hacim ölçeği → change of variables; normalizing flows log-det = olasılık düzeltmesi.
det(AB) = det(A)det(B) → zincir kuralı, flow katmanlarında log-det toplamı.
log|det Σ| → Gaussian likelihood, entropi, Bayesian model seçimi.
det ≈ 0 → multicollinearity / kötü-koşullu / bilgi kaybı teşhisi.
det Q = ±1 → ortogonal dönüşümler hacmi korur.

19.2 Özellik 1, 2 — det(I) = 1, Satır Takası

Permütasyon matrisi: $\det(P) = \pm 1$ (takas paritesine göre).

“The determinant of a permutation is one or minus one, depending whether the number of exchanges was even or odd.” — Strang, 5:03

19.3 Özellik 3 — Satır-Lineerlik

3A: $\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix} = t \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$.

3B: $\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}$.

UYARI: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$! Lineerlik sadece tek satırda, diğerleri sabitken.

19.4 Özellik 4 — Eşit Satır → det = 0

İki eşit satırı takas et → işaret değişmeli (det → −det) ama matris aynı kaldı (det → det):

\[ \det = -\det \implies \det = 0 \]

Saf mantık ispatı, n×n için geçerli.

19.5 Özellik 5, 6 — Eliminasyon ve Sıfır Satır

5: Eliminasyon (bir satırdan diğerinin katını çıkar) det’i korur. → $\det A = \det U$.

6: Sıfır satır → $\det = 0$ (Özellik 3A, $t = 0$).

19.6 Özellik 7 — Üçgensel = Pivot Çarpımı ⭐

\[ \det(U) = d_1 \cdot d_2 \cdots d_n \]

Pratik hesap: eliminasyon → pivotları çarp (satır takası varsa ±). 100×100 için bu kullanılır, ad − bc formülü değil.

Builder Notu: $\log|\det A| = \sum \log|d_i|$ — Gaussian likelihood, normalizing flow her katman log-det, Bayesian model seçimi. Cholesky/LU pivotları verir.

19.7 Özellik 8 — det = 0 ⟺ Singular

Singular: eliminasyonda sıfır satır → Özellik 6 → $\det = 0$.
Tersinir: tam pivot kümesi → Özellik 7 → $\det \neq 0$.

\[ \det A = \pm (d_1 d_2 \cdots d_n) \]

2×2 doğrulama: $\det = a(d - cb/a) = ad - bc$ ✓.

19.8 Özellik 9 — det(AB) = det(A)·det(B)

Sonuçlar:

$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
$\det(A^2) = \det(A)^2$.
$\det(cA) = c^n \det(A)$ (her satırdan bir $c$).

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 0], [2, 5, 1], [0, 1, 3]], dtype=float)
B = np.array([[1, 0, 1], [0, 2, 0], [1, 0, 1]], dtype=float)

print(f"det(A) = {np.linalg.det(A):.4f}")
print(f"det(2A) = {np.linalg.det(2*A):.4f} = 2³·det(A) = {8*np.linalg.det(A):.4f}")
print(f"det(Aᵀ) = {np.linalg.det(A.T):.4f}")
print(f"det(A⁻¹) = {np.linalg.det(np.linalg.inv(A)):.4f} = 1/det(A) = {1/np.linalg.det(A):.4f}")
print(f"det(AB) = {np.linalg.det(A@B):.4f} = det(A)·det(B) = {np.linalg.det(A)*np.linalg.det(B):.4f}")

Builder Notu: $\det(cA) = c^n \det(A)$ = hacim (3D’de 2× → 8×). $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ = Jacobian zincir kuralı. Normalizing flow’da log-det’ler toplanır.

19.9 Özellik 10 — det(Aᵀ) = det(A)

İspat: $A = LU$ → $A^T = U^T L^T$; $L, L^T$ köşegen 1, $U, U^T$ aynı köşegen.

Büyük sonuç: Satır kuralları kolonlar için de geçerli (sıfır kolon → 0, kolon takası → ±, vs.).

19.10 Determinant = Hacim ⭐

2×2: paralelkenar alanı.
3×3: paralelyüz hacmi.
n×n: n-boyutlu kutu hacmi.

$\det = 0$ → yassı kutu (sıfır hacim) → bağımlı.

$\det(2A) = 2^n \det(A)$ → her kenar 2 kat → hacim $2^n$ kat.

Builder Notu: Change of variables: $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) |\det J|$. Normalizing flow’lar Jacobian’ı üçgensel (det = köşegen çarpımı, ucuz) tutar — RealNVP, Glow, autoregressive flows.

19.11 Bu Dersin Özeti

Determinant kare matrise atanan sayı; tersinir ⟺ det ≠ 0.
3 özellik: $\det I = 1$, satır takası ±, satır-lineerlik.
Eşit satır → 0.
Eliminasyon korur.
Üçgensel = pivot çarpımı.
det = 0 ⟺ singular.
det(AB) = det(A)det(B).
det(Aᵀ) = det(A).
det = hacim ölçeği.

Tek bir cümle

Determinant üç özellikle ($\det I = 1$, satır takası ±, satır-lineerlik) tanımlanır; A tersinir ⟺ det A ≠ 0, $\det A$ = pivot çarpımı, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ — ve geometrik olarak hacim ölçeği (Jacobian, normalizing flows).

19.12 Kontrol Soruları

Soru 1: A = ((1,2,0),(2,5,1),(0,1,3)) determinantı.

$r_2 - 2r_1 = (0, 1, 1)$. $r_3 - r_2(\text{yeni}) = (0, 0, 2)$.

$U$: pivotlar $1, 1, 2$. det = 2.

Soru 2: det A = 3 (4×4). det(2A), det(A⁻¹), det(Aᵀ), det(A²)?

$\det(2A) = 2^4 \cdot 3 = 48$.
$\det(A^{-1}) = 1/3$.
$\det(A^T) = 3$.
$\det(A^2) = 9$.

Dikkat: $\det(2A) = 48$, $2 \cdot 3 = 6$ değil.

Soru 3: A = ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)) singular mı?

$r_1 + r_3 = (8, 10, 12) = 2 r_2$ → bağımlı.

Eliminasyon sıfır satır verir → det = 0 → singular.

Soru 4: Normalizing flow’larda Jacobian determinantı niye önemli?

Change of variables: $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) \cdot |\det J|$ (hacim koruması).

Normalizing flow: Basit dağılım (Gaussian) → karmaşık dağılım, tersinir zincir.

Her adımın $\log|\det J|$ log-olabilirliğe eklenir; $\det(\prod) = \prod \det$ sayesinde toplam olur.

Flow’lar Jacobian’ı üçgensel tutar (det = köşegen çarpımı, ucuz). $\det \to 0$ = bilgi kaybı yönü.

RealNVP, Glow, autoregressive flows bu temele dayanır.

19.13 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ determinantı.

Egzersiz 2. $\det A = 5, \det B = 2$ (3×3): $\det(AB), \det(2A), \det(A^{-1}B), \det(A^T A)$.

Egzersiz 3. İki eşit kolon → det? (Özellik 10.)

Egzersiz 4. (Python) Özellikleri doğrula.

Egzersiz 5. İspatla: Ortogonal $Q$ için $\det Q = \pm 1$. (İpucu: $Q^T Q = I$ + $\det Q^T = \det Q$.) Rotasyon $+1$, yansıma $-1$; hacim korunur.

19.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 19: Determinant Formülleri ve Kofaktörler

Büyük formül ($n!$ terim, permütasyonlar).
Kofaktör açılımı.
Ters matris formülünün habercisi (Ders 20).

Ders 19 öncesi

Egzersiz 5 ($\det Q = \pm 1$).
np.linalg.det ile özellikleri doğrula.

19.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Özellik	İfade	Strang’da
1. $\det I = 1$	Birim	2m33
2. Satır takası	±	3m27
3. Satır-lineer	Sadece bir satır	7m08
4. Eşit satır → 0	—	11m43
5. Eliminasyon korur	$\det A = \det U$	14m34
6. Sıfır satır → 0	—	19m07
7. Üçgensel	Pivot çarpımı	22m42
8. det = 0 ⟺ singular	—	28m28
9. det(AB)	$= \det(A)\det(B)$, $\det(cA) = c^n \det A$	34m01
10. det(Aᵀ) = det(A)	Satır → kolon	41m44

19.16 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

det = hacim / Jacobian → Change of variables.
det(AB) = det(A)det(B) → Flow log-det toplamı.
det = 0 ⟺ tekil → Multicollinearity / kötü-koşullu.
log|det Σ| → Gaussian likelihood, entropi.
det(cA) = cⁿ det A → Hacim üstel.
det Q = ±1 → Rotasyon/yansıma hacim korur.
Permütasyon paritesi → Antisimetrik fonksiyonlar, DPP.

Tek bir şey alıp gideceksen

3 özellikten tüm determinant teorisi türer; det = 0 ⟺ singular, $\det$ = pivot çarpımı, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$; geometrik olarak hacim ölçeği (Jacobian, normalizing flows).

--- title: "Determinant ve Özellikleri" subtitle: "Üç özellikten her şey — hacim, tersinirlik, Jacobian" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 18: Properties of Determinants](https://www.youtube.com/watch?v=srxexLishgY) (≈48 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 18](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-18-properties-of-determinants/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Kare matrislere geçiş. **Determinant** = her kare matrise atanan bir sayı. Hedef: **A tersinir ⟺ det A ≠ 0** + özdeğerlere hazırlık (Ders 21). **3 tanımlayıcı özellik:** 1. $\det(I) = 1$. 2. Satır takası → işaret değişir. 3. Her satırda lineer. Bu üç özellikten tüm formüller ve sonuçlar türer. > *"Determinant of A is zero exactly when A is singular."* — Strang, 28:28 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "3 özellik → 10 sonuç. det = hacim, tersinirlik testi, Jacobian, flow modellerinin temeli." flowchart LR P1["det(I) = 1"] --> CORE["⭐ 3 tanımlayıcı özellik"] P2["satır takası: ±"] --> CORE P3["satır-lineer"] --> CORE CORE --> P4["eşit satır → 0"] CORE --> P5["eliminasyon korur<br/>det A = det U"] CORE --> P7["üçgensel = pivot çarpımı"] P7 --> P8["det = 0 ⟺ tekil"] CORE --> P9["det(AB) = det(A)det(B)<br/>det(A⁻¹) = 1/det(A)"] CORE --> P10["det(Aᵀ) = det(A)"] P8 --> VOL["💡 det = hacim ölçeği"] P9 --> ML["Jacobian zinciri<br/>normalizing flows<br/>log-det Σ (Gaussian)"] style CORE fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Determinant ML'in Sessiz Kahramanı"} - **det = Jacobian hacim ölçeği** → change of variables; **normalizing flows** log-det = olasılık düzeltmesi. - **det(AB) = det(A)det(B)** → zincir kuralı, flow katmanlarında log-det toplamı. - **log\|det Σ\|** → Gaussian likelihood, entropi, Bayesian model seçimi. - **det ≈ 0** → multicollinearity / kötü-koşullu / bilgi kaybı teşhisi. - **det Q = ±1** → ortogonal dönüşümler hacmi korur. ::: ## Özellik 1, 2 — det(I) = 1, Satır Takası {#sec-12} **Permütasyon matrisi:** $\det(P) = \pm 1$ (takas paritesine göre). > *"The determinant of a permutation is one or minus one, depending whether the number of exchanges was even or odd."* — Strang, 5:03 ## Özellik 3 — Satır-Lineerlik {#sec-3} **3A:** $\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix} = t \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$. **3B:** $\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}$. **UYARI:** $\det(A + B) \neq \det A + \det B$! Lineerlik sadece **tek satırda**, diğerleri sabitken. ## Özellik 4 — Eşit Satır → det = 0 {#sec-4} İki eşit satırı takas et → işaret değişmeli (det → −det) ama matris aynı kaldı (det → det): $$ \det = -\det \implies \det = 0 $$ Saf mantık ispatı, n×n için geçerli. ## Özellik 5, 6 — Eliminasyon ve Sıfır Satır {#sec-56} **5:** Eliminasyon (bir satırdan diğerinin katını çıkar) det'i **korur**. → **$\det A = \det U$**. **6:** Sıfır satır → $\det = 0$ (Özellik 3A, $t = 0$). ## Özellik 7 — Üçgensel = Pivot Çarpımı ⭐ {#sec-7} $$ \det(U) = d_1 \cdot d_2 \cdots d_n $$ **Pratik hesap:** eliminasyon → pivotları çarp (satır takası varsa ±). 100×100 için bu kullanılır, ad − bc formülü değil. **Builder Notu:** $\log|\det A| = \sum \log|d_i|$ — Gaussian likelihood, normalizing flow her katman log-det, Bayesian model seçimi. **Cholesky/LU** pivotları verir. ## Özellik 8 — det = 0 ⟺ Singular {#sec-8} - **Singular:** eliminasyonda sıfır satır → Özellik 6 → $\det = 0$. - **Tersinir:** tam pivot kümesi → Özellik 7 → $\det \neq 0$. $$ \det A = \pm (d_1 d_2 \cdots d_n) $$ 2×2 doğrulama: $\det = a(d - cb/a) = ad - bc$ ✓. ## Özellik 9 — det(AB) = det(A)·det(B) {#sec-9} **Sonuçlar:** - $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$. - $\det(A^2) = \det(A)^2$. - $\det(cA) = c^n \det(A)$ (her satırdan bir $c$). ```{python} #| label: code-det-properties #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[1, 2, 0], [2, 5, 1], [0, 1, 3]], dtype=float) B = np.array([[1, 0, 1], [0, 2, 0], [1, 0, 1]], dtype=float) print(f"det(A) = {np.linalg.det(A):.4f}") print(f"det(2A) = {np.linalg.det(2*A):.4f} = 2³·det(A) = {8*np.linalg.det(A):.4f}") print(f"det(Aᵀ) = {np.linalg.det(A.T):.4f}") print(f"det(A⁻¹) = {np.linalg.det(np.linalg.inv(A)):.4f} = 1/det(A) = {1/np.linalg.det(A):.4f}") print(f"det(AB) = {np.linalg.det(A@B):.4f} = det(A)·det(B) = {np.linalg.det(A)*np.linalg.det(B):.4f}") ``` **Builder Notu:** $\det(cA) = c^n \det(A)$ = **hacim** (3D'de 2× → 8×). $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ = Jacobian zincir kuralı. Normalizing flow'da log-det'ler toplanır. ## Özellik 10 — det(Aᵀ) = det(A) {#sec-10} İspat: $A = LU$ → $A^T = U^T L^T$; $L, L^T$ köşegen 1, $U, U^T$ aynı köşegen. **Büyük sonuç:** Satır kuralları **kolonlar için de** geçerli (sıfır kolon → 0, kolon takası → ±, vs.). ## Determinant = Hacim ⭐ {#sec-hacim} - **2×2:** paralelkenar alanı. - **3×3:** paralelyüz hacmi. - **n×n:** n-boyutlu kutu hacmi. $\det = 0$ → yassı kutu (sıfır hacim) → bağımlı. $\det(2A) = 2^n \det(A)$ → her kenar 2 kat → hacim $2^n$ kat. **Builder Notu:** **Change of variables:** $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) |\det J|$. Normalizing flow'lar Jacobian'ı üçgensel (det = köşegen çarpımı, ucuz) tutar — **RealNVP, Glow, autoregressive flows**. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. Determinant kare matrise atanan sayı; **tersinir ⟺ det ≠ 0**. 2. **3 özellik**: $\det I = 1$, satır takası ±, satır-lineerlik. 3. **Eşit satır → 0**. 4. **Eliminasyon korur**. 5. **Üçgensel = pivot çarpımı**. 6. **det = 0 ⟺ singular**. 7. **det(AB) = det(A)det(B)**. 8. **det(Aᵀ) = det(A)**. 9. **det = hacim ölçeği**. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Determinant üç özellikle ($\det I = 1$, satır takası ±, satır-lineerlik) tanımlanır; **A tersinir ⟺ det A ≠ 0**, $\det A$ = pivot çarpımı, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ — ve geometrik olarak **hacim ölçeği** (Jacobian, normalizing flows). ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = ((1,2,0),(2,5,1),(0,1,3)) determinantı."} $r_2 - 2r_1 = (0, 1, 1)$. $r_3 - r_2(\text{yeni}) = (0, 0, 2)$. $U$: pivotlar $1, 1, 2$. **det = 2**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: det A = 3 (4×4). det(2A), det(A⁻¹), det(Aᵀ), det(A²)?"} - $\det(2A) = 2^4 \cdot 3 = 48$. - $\det(A^{-1}) = 1/3$. - $\det(A^T) = 3$. - $\det(A^2) = 9$. Dikkat: $\det(2A) = 48$, **$2 \cdot 3 = 6$ değil**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: A = ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)) singular mı?"} $r_1 + r_3 = (8, 10, 12) = 2 r_2$ → bağımlı. Eliminasyon sıfır satır verir → **det = 0** → singular. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Normalizing flow'larda Jacobian determinantı niye önemli?"} **Change of variables:** $p_Y(\mathbf{y}) = p_X(\mathbf{x}) \cdot |\det J|$ (hacim koruması). **Normalizing flow:** Basit dağılım (Gaussian) → karmaşık dağılım, tersinir zincir. Her adımın $\log|\det J|$ log-olabilirliğe eklenir; $\det(\prod) = \prod \det$ sayesinde **toplam** olur. Flow'lar Jacobian'ı **üçgensel** tutar (det = köşegen çarpımı, ucuz). $\det \to 0$ = bilgi kaybı yönü. **RealNVP, Glow, autoregressive flows** bu temele dayanır. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ determinantı. **Egzersiz 2.** $\det A = 5, \det B = 2$ (3×3): $\det(AB), \det(2A), \det(A^{-1}B), \det(A^T A)$. **Egzersiz 3.** İki eşit kolon → det? (Özellik 10.) **Egzersiz 4.** *(Python)* Özellikleri doğrula. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Ortogonal $Q$ için $\det Q = \pm 1$. (İpucu: $Q^T Q = I$ + $\det Q^T = \det Q$.) Rotasyon $+1$, yansıma $-1$; hacim korunur. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 19: Determinant Formülleri ve Kofaktörler** - Büyük formül ($n!$ terim, permütasyonlar). - Kofaktör açılımı. - Ters matris formülünün habercisi (Ders 20). ::: {.callout-warning title="Ders 19 öncesi"} - Egzersiz 5 ($\det Q = \pm 1$). - `np.linalg.det` ile özellikleri doğrula. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Özellik | İfade | Strang'da | |---------|-------|-----------| | **1. $\det I = 1$** | Birim | 2m33 | | **2. Satır takası** | ± | 3m27 | | **3. Satır-lineer** | Sadece bir satır | 7m08 | | **4. Eşit satır → 0** | — | 11m43 | | **5. Eliminasyon korur** | $\det A = \det U$ | 14m34 | | **6. Sıfır satır → 0** | — | 19m07 | | **7. Üçgensel** | Pivot çarpımı | 22m42 | | **8. det = 0 ⟺ singular** | — | 28m28 | | **9. det(AB)** | $= \det(A)\det(B)$, $\det(cA) = c^n \det A$ | 34m01 | | **10. det(Aᵀ) = det(A)** | Satır → kolon | 41m44 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **det = hacim / Jacobian** → Change of variables. 2. **det(AB) = det(A)det(B)** → Flow log-det toplamı. 3. **det = 0 ⟺ tekil** → Multicollinearity / kötü-koşullu. 4. **log\|det Σ\|** → Gaussian likelihood, entropi. 5. **det(cA) = cⁿ det A** → Hacim üstel. 6. **det Q = ±1** → Rotasyon/yansıma hacim korur. 7. **Permütasyon paritesi** → Antisimetrik fonksiyonlar, DPP. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} 3 özellikten tüm determinant teorisi türer; **det = 0 ⟺ singular**, $\det$ = pivot çarpımı, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$; geometrik olarak **hacim ölçeği** (Jacobian, normalizing flows). :::