20 Determinant Formülleri ve Kofaktörler

Üç yüz — pivot, büyük formül, kofaktör

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 19: Determinant Formulas and Cofactors (≈53 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 19
Okuma süresi: ≈40 dk

20.1 Bu Derste Ne Var?

Ders 18’in özelliklerinden açık formüller.

Büyük formül: $\det A = \sum \pm a_{1\alpha} a_{2\beta} \cdots$, $n!$ terim.
Permütasyon işareti (parite).
Kofaktör açılımı: $n \times n$ → $(n-1) \times (n-1)$ recursive.
Üç formülün karşılaştırması; tridiagonal recursion.

“The survivors have one entry from each row and each column.” — Strang, 9:10

flowchart LR
    DET["det A"] --> PIVOT["Pivot çarpımı<br/>(LU, O(n³))<br/>⭐ pratik"]
    DET --> BIG["Büyük formül<br/>(n! terim, O(n!))<br/>teori"]
    DET --> COF["Kofaktör açılımı<br/>(recursive, O(n!))<br/>seyrek/türetme"]

    PIVOT --> NUM["np.linalg.det<br/>np.linalg.slogdet"]
    BIG --> PERM["Permütasyon işareti<br/>Levi-Civita ε"]
    COF --> INV["Ters formülü (Ders 20)<br/>A⁻¹ = adj(A)/det A"]

    style PIVOT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style NUM fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    DET["det A"] --> PIVOT["Pivot çarpımı<br/>(LU, O(n³))<br/>⭐ pratik"]
    DET --> BIG["Büyük formül<br/>(n! terim, O(n!))<br/>teori"]
    DET --> COF["Kofaktör açılımı<br/>(recursive, O(n!))<br/>seyrek/türetme"]

    PIVOT --> NUM["np.linalg.det<br/>np.linalg.slogdet"]
    BIG --> PERM["Permütasyon işareti<br/>Levi-Civita ε"]
    COF --> INV["Ters formülü (Ders 20)<br/>A⁻¹ = adj(A)/det A"]

    style PIVOT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style NUM fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 20.1: Determinantın üç yüzü ve maliyetleri.

Builder Notu — ML’de Determinant

Pratik: np.linalg.det her zaman LU. Büyük matriste slogdet (kararlı log-det).
Determinantal point processes (DPP): çeşitlilik (diversity); determinant kolay olduğu için verimli.
Permanent (işaretsiz det) #P-tam → boson sampling, eşleştirme sayma.
Permütasyon paritesi = Levi-Civita → antisimetrik tensörler, fermiyonik sinir ağları (FermiNet).
Recursion (tridiagonal) → HMM forward-backward, DP prototipi.

20.2 2×2’yi Özelliklerden Türetme

İlk satır $(a, b) = (a, 0) + (0, b)$:

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + bc \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = ad - bc \]

(Sıfır kolonlu terimler 0; köşegen 1; anti-köşegen takasla −1.)

20.3 Survivor’lar ve Büyük Formül

3×3’te $3^3 = 27$ terim, ama çoğu sıfır (tekrarlı kolon). Survivor = her satır + kolondan tam bir giriş = permütasyon = $n!$ tane.

\[ \boxed{\det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\text{sgn}\,\sigma) \, a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)}} \]

Boyut	Terim sayısı
2	2
3	6
4	24
10	3.6M

20.4 Permütasyon İşareti

Permütasyon birim sıraya getirmek için gereken takas sayısının paritesi.

Örnek (4×4 anti-köşegen): kolon sırası $(4, 3, 2, 1)$. $1 \leftrightarrow 4$, $2 \leftrightarrow 3$ → 2 takas → +.

3×3 anti-köşegen ($3, 2, 1$): 1 takas → −. (Boyuta bağlı; “ana köşegen +, anti-köşegen −” kuralı sadece 3×3 için.)

Builder Notu: Parite = Levi-Civita sembolü $\varepsilon_{ijk\ldots}$. Antisimetrik tensörler, çapraz çarpım, fermiyonik ağlar bununla yazılır.

20.5 Çok Sıfır = Az Survivor

Strang’in 4×4 örneği (köşelerde 1’ler) — 24 terimin çoğu sıfır, $+1$ ve $-1$ birbirini götürür → $\det = 0$ (eşit satır).

Seyrek matrislerde büyük formül elle hızlı.

20.6 Kofaktör Açılımı

Büyük formülü ilk satırın girişlerine göre grupla:

\[ \det A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n} \]

$C_{ij}$ = $a_{ij}$’nin kofaktörü = $(n-1) \times (n-1)$ minörün determinantı × işaret:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \]

Checkerboard işaret: $(i+j)$ çift → $+$, tek → $-$.

3×3 ilk satır kofaktörü:

\[ \det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(\ldots) + a_{13}(\ldots) \]

2×2 doğrulama: $\det = a \cdot d + b \cdot (-c) = ad - bc$ ✓.

İpucu: En çok sıfır içeren satır/kolon boyunca aç.

Builder Notu: Recursive → dinamik programlama prototipi. Saf hâli O(n!), pratik değil; ama seyrek matriste ve simgesel türetmede (Ders 20 ters formülü) kullanışlı.

20.7 Üç Formülün Karşılaştırması

Yöntem	Maliyet	Ne için?
Pivot (LU)	$O(n^3)$	Pratik hesap
Büyük formül	$O(n!)$	Teori, ispat
Kofaktör	$O(n!)$	Seyrek, türetme

import numpy as np

A = np.array([[2, 0, 1], [1, 3, 2], [0, 1, 1]], dtype=float)
print(f"det(A) (LU) = {np.linalg.det(A):.4f}")

# Kararli log-det (büyük matrislerde det taşar)
sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)
print(f"sign = {sign}, |det| = exp({logabsdet:.4f}) = {np.exp(logabsdet):.4f}")

20.8 Tridiagonal Örnek — Recursion ve Periyot 6

Tüm girişleri 1 olan tridiagonal $A_n$. İlk satır kofaktörüyle:

\[ \det(A_n) = \det(A_{n-1}) - \det(A_{n-2}) \]

$\det(A_1) = 1, \det(A_2) = 0$:

\[ 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, \ldots \]

Periyot 6!

def tridet(n):
    if n == 1: return 1
    if n == 2: return 0
    return tridet(n - 1) - tridet(n - 2)

print("tridiagonal det:", [tridet(k) for k in range(1, 13)])

Builder Notu: Lineer recurrence (Fibonacci akrabası) = DP prototipi. Tridiagonal matrisler 1-D Laplacian, spline, HMM forward-backward; tridiagonal sistemler O(n) (Thomas).

20.9 Bu Dersin Özeti

2×2 lineerlikle türetildi.
Survivor = permütasyon.
Büyük formül: $n!$ terim.
İşaret = parite.
Seyreklik → az survivor.
Kofaktör = (n−1) recursive indirgeme.
İşaret $(-1)^{i+j}$.
Formül: $\det A = \sum a_{ij} C_{ij}$.
Üç formül.
Tridiagonal recursion, periyot 6.

Tek bir cümle

Determinantın üç yüzü: pivot çarpımı ($O(n^3)$, pratik), büyük formül ($n!$ terim, teori), kofaktör (recursive, seyrek/türetme); pratikte hep LU (np.linalg.det / slogdet).

20.10 Kontrol Soruları

Soru 1: A = ((2,0,1),(1,3,2),(0,1,1)) — ilk satır kofaktörü.

$\det = 2 \cdot C_{11} + 0 + 1 \cdot C_{13}$.

$C_{11} = +\det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1$. $C_{13} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$.

$\det = 2 + 1 = 3$.

Soru 2: 4×4 ve 3×3 anti-köşegen işareti.

4×4 $(4,3,2,1)$: $1 \leftrightarrow 4$, $2 \leftrightarrow 3$ → 2 takas → $+$.
3×3 $(3,2,1)$: $1 \leftrightarrow 3$ → 1 takas → $-$.

Boyuta bağlı; parite genel.

Soru 3: 4×4, sadece köşegen + (1,4), (4,1) — kaç survivor?

Köşegen $1, 2, 3, 4$ → bir survivor.
$(1,4)$ ve $(4,1)$ + $a_{22}, a_{33}$ → permütasyon $(4, 2, 3, 1)$ → ikinci survivor.

2 survivor. $1 \leftrightarrow 4$ tek takas → işaret $-$. $\det = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}$.

Soru 4: Permanent neden zor? Recursion ML’de nerede?

Det vs permanent: Aynı $n!$ terim, fark işaretler.

Det: işaretler eliminasyonu kullanılabilir kılar → O(n³).
Permanent: işaret yok → #P-tam (boson sampling, bipartite eşleştirme).

ML’de:

DPP: çeşitlilik modelleme (det kolay → verimli).
Recursion (Tridiagonal): HMM forward-backward, RNN, DP.
Pratik: slogdet her zaman LU.

20.11 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ → en çok sıfır içeren satırla kofaktör.

Egzersiz 2. 3×3 büyük formül 6 terimi; permütasyon $(3, 1, 2)$ işareti.

Egzersiz 3. Köşegen 2, komşular 1 tridiagonal recursion: $\det(A_n) = ?$

Egzersiz 4. (Python) Üç yöntem karşılaştırma + slogdet.

Egzersiz 5. İspatla: Kofaktör formülü = büyük formül. Ders 20 (Cramer) temeli.

20.12 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 20: Cramer Kuralı, Ters Matris ve Hacim

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$ (adjugate formülü).
Cramer: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ → $x_i = \det(B_i) / \det(A)$.
Hacim: $\det$ = paralelyüz hacmi.

Ders 20 öncesi

Egzersiz 5 (formül eşdeğerliği).
np.linalg.slogdet ile kararlı log-det dene.

20.13 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
2×2 türetme	Lineerlik → ad − bc	2m04
Survivor	Permütasyon	6m13
Büyük formül	$\sum \pm a_{1\alpha} \cdots$, $n!$	16m39
Parite	Takas sayısı (±)	19m50
Seyreklik	Az survivor	22m36
Kofaktör fikri	$(n-1)$ recursive	28m53
$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$	Checkerboard	36m09
Kofaktör formülü	$\det A = \sum a_{ij} C_{ij}$	39m49
Üç formül	Pivot / büyük / kofaktör	43m01
Tridiagonal periyot 6	$A_n = A_{n-1} - A_{n-2}$	52m48

20.14 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Det = işaretli eşleştirmeler → Permanent zor; DPP kolay.
Kofaktör recursive → DP prototipi.
Pratik det = LU → det/slogdet.
Parite = Levi-Civita → Antisimetrik tensör, FermiNet.
DPP → Çeşitlilik modelleme.
Tridiagonal recursion → HMM, spline, 1-D Laplacian.
slogdet → Gaussian likelihood, normalizing flows kararlı log-det.

Tek bir şey alıp gideceksen

Üç eşdeğer formül: pivot ($O(n^3)$, pratik), büyük formül ($n!$ terim), kofaktör (recursive). Pratikte hep LU; slogdet büyük matriste kararlı log-det.

--- title: "Determinant Formülleri ve Kofaktörler" subtitle: "Üç yüz — pivot, büyük formül, kofaktör" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 19: Determinant Formulas and Cofactors](https://www.youtube.com/watch?v=23LLB9mNJvc) (≈53 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 19](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Ders 18'in özelliklerinden açık formüller. 1. **Büyük formül:** $\det A = \sum \pm a_{1\alpha} a_{2\beta} \cdots$, **$n!$ terim**. 2. **Permütasyon işareti** (parite). 3. **Kofaktör açılımı:** $n \times n$ → $(n-1) \times (n-1)$ recursive. 4. **Üç formülün karşılaştırması**; tridiagonal recursion. > *"The survivors have one entry from each row and each column."* — Strang, 9:10 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Determinantın üç yüzü ve maliyetleri." flowchart LR DET["det A"] --> PIVOT["Pivot çarpımı (LU, O(n³)) ⭐ pratik"] DET --> BIG["Büyük formül (n! terim, O(n!)) teori"] DET --> COF["Kofaktör açılımı (recursive, O(n!)) seyrek/türetme"] PIVOT --> NUM["np.linalg.det np.linalg.slogdet"] BIG --> PERM["Permütasyon işareti Levi-Civita ε"] COF --> INV["Ters formülü (Ders 20) A⁻¹ = adj(A)/det A"] style PIVOT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style NUM fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML'de Determinant"} - **Pratik:** `np.linalg.det` her zaman LU. Büyük matriste **`slogdet`** (kararlı log-det). - **Determinantal point processes (DPP):** çeşitlilik (diversity); determinant kolay olduğu için verimli. - **Permanent** (işaretsiz det) **#P-tam** → boson sampling, eşleştirme sayma. - **Permütasyon paritesi = Levi-Civita** → antisimetrik tensörler, **fermiyonik sinir ağları (FermiNet)**. - **Recursion (tridiagonal)** → HMM forward-backward, DP prototipi. ::: ## 2×2'yi Özelliklerden Türetme {#sec-2x2} İlk satır $(a, b) = (a, 0) + (0, b)$: $$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + bc \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = ad - bc $$ (Sıfır kolonlu terimler 0; köşegen 1; anti-köşegen takasla −1.) ## Survivor'lar ve Büyük Formül {#sec-buyuk-formul} 3×3'te $3^3 = 27$ terim, ama çoğu sıfır (tekrarlı kolon). **Survivor** = her satır + kolondan tam bir giriş = **permütasyon** = $n!$ tane. $$ \boxed{\det A = \sum_{\sigma \in S_n} (\text{sgn}\,\sigma) \, a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)}} $$ | Boyut | Terim sayısı | |-------|--------------| | 2 | 2 | | 3 | 6 | | 4 | 24 | | 10 | 3.6M | ## Permütasyon İşareti {#sec-isaret} Permütasyon birim sıraya getirmek için gereken **takas sayısının paritesi**. **Örnek (4×4 anti-köşegen):** kolon sırası $(4, 3, 2, 1)$. $1 \leftrightarrow 4$, $2 \leftrightarrow 3$ → 2 takas → **+**. **3×3 anti-köşegen** ($3, 2, 1$): 1 takas → **−**. (Boyuta bağlı; "ana köşegen +, anti-köşegen −" kuralı sadece 3×3 için.) **Builder Notu:** Parite = **Levi-Civita sembolü** $\varepsilon_{ijk\ldots}$. Antisimetrik tensörler, çapraz çarpım, fermiyonik ağlar bununla yazılır. ## Çok Sıfır = Az Survivor {#sec-seyrek} Strang'in 4×4 örneği (köşelerde 1'ler) — 24 terimin çoğu sıfır, $+1$ ve $-1$ birbirini götürür → $\det = 0$ (eşit satır). Seyrek matrislerde büyük formül elle hızlı. ## Kofaktör Açılımı {#sec-kofaktor} Büyük formülü ilk satırın girişlerine göre grupla: $$ \det A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n} $$ $C_{ij}$ = $a_{ij}$'nin **kofaktörü** = $(n-1) \times (n-1)$ minörün determinantı × işaret: $$ C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) $$ **Checkerboard işaret:** $(i+j)$ çift → $+$, tek → $-$. 3×3 ilk satır kofaktörü: $$ \det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(\ldots) + a_{13}(\ldots) $$ 2×2 doğrulama: $\det = a \cdot d + b \cdot (-c) = ad - bc$ ✓. **İpucu:** En çok sıfır içeren satır/kolon boyunca aç. **Builder Notu:** Recursive → dinamik programlama prototipi. Saf hâli O(n!), pratik değil; ama **seyrek matriste** ve **simgesel türetmede** (Ders 20 ters formülü) kullanışlı. ## Üç Formülün Karşılaştırması {#sec-uc-formul} | Yöntem | Maliyet | Ne için? | |--------|---------|----------| | **Pivot (LU)** | $O(n^3)$ | Pratik hesap | | **Büyük formül** | $O(n!)$ | Teori, ispat | | **Kofaktör** | $O(n!)$ | Seyrek, türetme | ```{python} #| label: code-three-formulas #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[2, 0, 1], [1, 3, 2], [0, 1, 1]], dtype=float) print(f"det(A) (LU) = {np.linalg.det(A):.4f}") # Kararli log-det (büyük matrislerde det taşar) sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A) print(f"sign = {sign}, |det| = exp({logabsdet:.4f}) = {np.exp(logabsdet):.4f}") ``` ## Tridiagonal Örnek — Recursion ve Periyot 6 {#sec-tridiagonal} Tüm girişleri 1 olan tridiagonal $A_n$. İlk satır kofaktörüyle: $$ \det(A_n) = \det(A_{n-1}) - \det(A_{n-2}) $$ $\det(A_1) = 1, \det(A_2) = 0$: $$ 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, \ldots $$ **Periyot 6**! ```{python} #| label: code-tridiagonal #| code-fold: false def tridet(n): if n == 1: return 1 if n == 2: return 0 return tridet(n - 1) - tridet(n - 2) print("tridiagonal det:", [tridet(k) for k in range(1, 13)]) ``` **Builder Notu:** Lineer recurrence (Fibonacci akrabası) = **DP prototipi**. Tridiagonal matrisler 1-D Laplacian, spline, HMM forward-backward; tridiagonal sistemler O(n) (Thomas). ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. 2×2 lineerlikle türetildi. 2. **Survivor** = permütasyon. 3. **Büyük formül**: $n!$ terim. 4. **İşaret** = parite. 5. **Seyreklik** → az survivor. 6. **Kofaktör** = (n−1) recursive indirgeme. 7. **İşaret** $(-1)^{i+j}$. 8. **Formül**: $\det A = \sum a_{ij} C_{ij}$. 9. **Üç formül**. 10. **Tridiagonal recursion**, periyot 6. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Determinantın üç yüzü: **pivot çarpımı** ($O(n^3)$, pratik), **büyük formül** ($n!$ terim, teori), **kofaktör** (recursive, seyrek/türetme); pratikte hep LU (`np.linalg.det` / `slogdet`). ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = ((2,0,1),(1,3,2),(0,1,1)) — ilk satır kofaktörü."} $\det = 2 \cdot C_{11} + 0 + 1 \cdot C_{13}$. $C_{11} = +\det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1$. $C_{13} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$. $\det = 2 + 1 = 3$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: 4×4 ve 3×3 anti-köşegen işareti."} - **4×4** $(4,3,2,1)$: $1 \leftrightarrow 4$, $2 \leftrightarrow 3$ → 2 takas → **$+$**. - **3×3** $(3,2,1)$: $1 \leftrightarrow 3$ → 1 takas → **$-$**. Boyuta bağlı; parite genel. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: 4×4, sadece köşegen + (1,4), (4,1) — kaç survivor?"} 1. Köşegen $1, 2, 3, 4$ → bir survivor. 2. $(1,4)$ ve $(4,1)$ + $a_{22}, a_{33}$ → permütasyon $(4, 2, 3, 1)$ → ikinci survivor. **2 survivor.** $1 \leftrightarrow 4$ tek takas → işaret $-$. $\det = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} - a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Permanent neden zor? Recursion ML'de nerede?"} **Det vs permanent:** Aynı $n!$ terim, fark işaretler. - **Det:** işaretler eliminasyonu kullanılabilir kılar → O(n³). - **Permanent:** işaret yok → **#P-tam** (boson sampling, bipartite eşleştirme). **ML'de:** - **DPP:** çeşitlilik modelleme (det kolay → verimli). - **Recursion (Tridiagonal):** HMM forward-backward, RNN, DP. - **Pratik:** `slogdet` her zaman LU. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ → en çok sıfır içeren satırla kofaktör. **Egzersiz 2.** 3×3 büyük formül 6 terimi; permütasyon $(3, 1, 2)$ işareti. **Egzersiz 3.** Köşegen 2, komşular 1 tridiagonal recursion: $\det(A_n) = ?$ **Egzersiz 4.** *(Python)* Üç yöntem karşılaştırma + `slogdet`. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Kofaktör formülü = büyük formül. Ders 20 (Cramer) temeli. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 20: Cramer Kuralı, Ters Matris ve Hacim** - $A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T$ (adjugate formülü). - **Cramer:** $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ → $x_i = \det(B_i) / \det(A)$. - **Hacim**: $\det$ = paralelyüz hacmi. ::: {.callout-warning title="Ders 20 öncesi"} - Egzersiz 5 (formül eşdeğerliği). - `np.linalg.slogdet` ile kararlı log-det dene. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **2×2 türetme** | Lineerlik → ad − bc | 2m04 | | **Survivor** | Permütasyon | 6m13 | | **Büyük formül** | $\sum \pm a_{1\alpha} \cdots$, $n!$ | 16m39 | | **Parite** | Takas sayısı (±) | 19m50 | | **Seyreklik** | Az survivor | 22m36 | | **Kofaktör fikri** | $(n-1)$ recursive | 28m53 | | **$C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$** | Checkerboard | 36m09 | | **Kofaktör formülü** | $\det A = \sum a_{ij} C_{ij}$ | 39m49 | | **Üç formül** | Pivot / büyük / kofaktör | 43m01 | | **Tridiagonal periyot 6** | $A_n = A_{n-1} - A_{n-2}$ | 52m48 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Det = işaretli eşleştirmeler** → Permanent zor; DPP kolay. 2. **Kofaktör recursive** → DP prototipi. 3. **Pratik det = LU** → `det`/`slogdet`. 4. **Parite = Levi-Civita** → Antisimetrik tensör, FermiNet. 5. **DPP** → Çeşitlilik modelleme. 6. **Tridiagonal recursion** → HMM, spline, 1-D Laplacian. 7. **`slogdet`** → Gaussian likelihood, normalizing flows kararlı log-det. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Üç eşdeğer formül: pivot ($O(n^3)$, pratik), büyük formül ($n!$ terim), kofaktör (recursive). Pratikte hep LU; **`slogdet`** büyük matriste kararlı log-det. :::