24 Diferansiyel Denklemler ve eᴬᵗ

Sürekli dinamik — neural ODE’lerin lineer çekirdeği

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 23: Differential Equations and exp(At) (≈51 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 23
Okuma süresi: ≈40 dk

24.1 Bu Derste Ne Var?

Ders 22’nin sürekli versiyonu: $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$.

Üstel çözümler: her özvektör → $\mathbf{u} = e^{\lambda t} \mathbf{x}$.
Kararlılık: tüm $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem).
Matris üstel: $e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$, $\mathbf{u}(t) = e^{At} \mathbf{u}(0)$.
İkinci-mertebe → sistem (companion matris).

“The solutions to constant coefficient linear equations are exponentials.” — Strang, 0:32

flowchart LR
    DE["du/dt = Au"] --> SOL["⭐ u(t) = eᴬᵗ u(0)<br/>= SeᴧᵗS⁻¹u(0)"]
    SOL --> MODE["u(t) = Σ cᵢeλᵢᵗ xᵢ"]
    MODE --> STAB["Re(λ) < 0 → sönen<br/>Re(λ) > 0 → patlar<br/>Im(λ) → osilasyon"]
    STAB --> ML["Neural ODE<br/>SSM (S4, Mamba)<br/>Kontrol teorisi"]

    style SOL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    DE["du/dt = Au"] --> SOL["⭐ u(t) = eᴬᵗ u(0)<br/>= SeᴧᵗS⁻¹u(0)"]
    SOL --> MODE["u(t) = Σ cᵢeλᵢᵗ xᵢ"]
    MODE --> STAB["Re(λ) < 0 → sönen<br/>Re(λ) > 0 → patlar<br/>Im(λ) → osilasyon"]
    STAB --> ML["Neural ODE<br/>SSM (S4, Mamba)<br/>Kontrol teorisi"]

    style SOL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 24.1: du/dt = Au → eᴬᵗ propagatör. Re(λ) kararlılık, kompleks osilasyon, neural ODE/SSM çekirdeği.

Builder Notu — Sürekli Dinamik ML’de

Neural ODE — derin ağ = sürekli sistem $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = f(\mathbf{u})$.
SSM (S4, Mamba) — tam $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u} + B\mathbf{x}$ formunda; HiPPO başlatma özdeğer yapısı.
Kararlı RNN/SSM → özdeğerleri sol yarı düzleme ($\text{Re}(\lambda) < 0$) kısıtla.
Ayrık vs sürekli: $|\lambda| < 1$ (birim çember) vs $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem).

24.2 du/dt = Au ve Üstel Çözümler

Her özvektör pür üstel çözüm verir: $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ → $\mathbf{u} = e^{\lambda t} \mathbf{x}$ ($du/dt = \lambda e^{\lambda t} \mathbf{x} = A\mathbf{u}$ ✓).

Genel çözüm:

\[ \mathbf{u}(t) = \sum c_i e^{\lambda_i t} \mathbf{x}_i \]

24.3 Örnek — Steady State

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}(0) = (1, 0)^T \]

Singular (kolon 2 = $-2 \times$ kolon 1) → $\lambda_1 = 0$. Trace $= -3$ → $\lambda_2 = -3$.

$\lambda_1 = 0$: $\mathbf{x}_1 = (2, 1)$.
$\lambda_2 = -3$: $\mathbf{x}_2 = (1, -1)$.

$\mathbf{u}(0) = \frac{1}{3} \mathbf{x}_1 + \frac{1}{3} \mathbf{x}_2$:

\[ \mathbf{u}(t) = \tfrac{1}{3}(2, 1)^T + \tfrac{1}{3} e^{-3t}(1, -1)^T \xrightarrow{t \to \infty} (\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3})^T \]

$\lambda = 0$ modu kalıcı (steady state); $\lambda = -3$ söner.

24.4 Kararlılık — $\text{Re}(\lambda) < 0$

\[ \mathbf{u}(t) \to \mathbf{0} \iff \text{Re}(\lambda_i) < 0 \;\forall i \]

Üç durum:

Tüm $\text{Re} < 0$ → kararlı, sönen.
Bir $\lambda = 0$, diğerleri Re < 0 → steady state.
Bir Re > 0 → patlar.

Ayrık vs sürekli: $|\lambda| < 1$ (birim çember) ↔︎ $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem).

24.5 Kompleks Özdeğerler — Osilasyon

$\lambda = a + bi$ → $|e^{\lambda t}| = e^{at}$. Sadece gerçel kısım büyüklüğü belirler; imajiner = salınım.

Antisimetrik matris → saf imajiner λ → sönmeyen salınım.

24.6 2×2 Kararlılık — Trace ve Determinant

\[ \boxed{\text{trace} < 0 \text{ ve } \det > 0} \]

İkisi de gerekli: trace < 0 (toplam negatif), det > 0 (aynı işaret → ikisi de negatif).

Karşı-örnek: $A = \text{diag}(-2, 1)$, trace = -1, det = -2 → patlar.

24.7 Uncoupling — u = Sv

$\mathbf{u} = S\mathbf{v}$:

\[ \frac{d\mathbf{v}}{dt} = S^{-1} A S \mathbf{v} = \Lambda \mathbf{v} \]

Bağımsız denklemler $dv_i/dt = \lambda_i v_i$ → $v_i(t) = e^{\lambda_i t} v_i(0)$.

24.8 Matris Üstel — $e^{At}$ ⭐

\[ e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(At)^n}{n!} \]

Her zaman yakınsar ($n!$ paydası). Diğer seri $(I - At)^{-1}$ sadece $|\lambda| < 1$ için yakınsar; üstel daha güvenli.

24.9 $e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$

Taylor serisine $A = S\Lambda S^{-1}$ koy → $A^n = S \Lambda^n S^{-1}$, ortadakiler sadeleşir:

\[ e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}, \quad e^{\Lambda t} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}) \]

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

A = np.array([[-1, 2], [1, -2]], dtype=float)
u0 = np.array([1, 0], dtype=float)

vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("özdeğerler:", vals)

# t = 2
print(f"u(2) = {expm(A * 2) @ u0}")

# Steady state
print(f"u(100) ≈ {expm(A * 100) @ u0}  (= (2/3, 1/3))")

24.10 İkinci-Mertebe → Sistem (Companion)

$y'' + by' + ky = 0$ → $\mathbf{u} = (y', y)^T$:

\[ \mathbf{u}' = \begin{pmatrix} -b & -k \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{u} \]

Companion matris — state-space temsili.

Builder Notu: Kontrol teorisi, robotik, Kalman filtreleri, neural ODE, SSM hep state-space formunda. Özdeğerler = orijinal karakteristik kökleri.

24.11 Bu Dersin Özeti

$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$ üstel çözüm.
Genel çözüm = mod toplamı.
Steady state ($\lambda = 0$).
Kararlılık $\text{Re}(\lambda) < 0$.
Kompleks osilasyon.
2×2: trace < 0, det > 0.
Uncoupling.
$e^{At}$ Taylor.
$e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$.
Companion (state-space).

Tek bir cümle

$\mathbf{u}(t) = e^{At} \mathbf{u}(0) = S e^{\Lambda t} S^{-1} \mathbf{u}(0)$; özdeğerler tüm davranışı belirler — Re(λ) < 0 söndürür, > 0 patlatır, Im(λ) salındırır. Neural ODE’den SSM’e modern ML’in sürekli omurgası.

24.12 Kontrol Soruları

Soru 1: A = (1 0 / 0 -2), u(0) = (3, 5). u(t) ve t→∞?

\[ \mathbf{u}(t) = (3e^t, 5e^{-2t}) \]

$t \to \infty$: $5e^{-2t} \to 0$, $3e^t \to \infty$ → patlar (λ = 1 > 0).

Soru 2: Hangileri kararlı? (a) -1, -2 (b) -1±3i (c) 0, -5 (d) 2, -3

(a) kararlı (her ikisi Re < 0).
(b) kararlı (Re = -1, salınarak söner).
(c) steady state’e gider (sıfıra değil ama patlamaz).
(d) kararsız (Re = 2 > 0).

Soru 3: A = (0 1 / 0 0) → eᴬᵗ?

$A^2 = 0$ (nilpotent!). Taylor kısalır:

\[ e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Polinom çıkması = Jordan formu imzası (Ders 28). Degenerate (tekrarlı λ = 0, tek özvektör).

Soru 4: Neural ODE / SSM / kontrol → du/dt = Au?

Neural ODE: $d\mathbf{u}/dt = f(\mathbf{u}, \theta)$, lineer hâli $A\mathbf{u}$, $\mathbf{u}(T) = e^{AT}\mathbf{u}(0)$.

SSM (S4, Mamba): $d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u} + B\mathbf{x}$, $\mathbf{y} = C\mathbf{u}$; $e^{At}$ ile ayrıklaştırılır.

Kararlılık: Re(λ) < 0 → kararlı RNN/SSM. HiPPO başlatma uzun-menzilli bağımlılıkları yakalar.

Kompleks λ: zaman serisi salınım modelleri.

24.13 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = (-2\ 1 / 1\ -2)$, $\mathbf{u}(0) = (1, 0)$ — çözüm, kararlı mı?

Egzersiz 2. Kararlılık testi: (a) $(-1\ 2 / 0\ -3)$, (b) $(1\ 0 / 0\ -5)$, (c) $(0\ -1 / 1\ 0)$.

Egzersiz 3. $y'' + 4y = 0$ → companion + özdeğerler. Salınımlı mı?

Egzersiz 4. (Python) scipy.linalg.expm + steady state.

Egzersiz 5. İspatla: $\frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}$. (Taylor terim terim türev.)

24.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 24: Markov Matrisleri ve Fourier Serisi

Markov: $\lambda = 1$ (kararlı durum), diğerleri sönen.
Fourier: fonksiyon uzayında ortonormal sin/cos.

Ders 24 öncesi

Egzersiz 5 ($e^{At}$ türev).
expm ile steady state.

24.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$	Üstel çözüm	0m32
Genel çözüm	$\sum c_i e^{\lambda_i t} \mathbf{x}_i$	8m54
Kararlılık	$\text{Re}(\lambda) < 0$	16m45
Kompleks λ	Re büyüklük, Im osilasyon	17m50
2×2 kararlılık	trace < 0, det > 0	22m02
Uncoupling	$\mathbf{u} = S\mathbf{v}$	29m14
Matris üstel	$\sum (At)^n / n!$	33m55
$e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$	—	39m02
Companion	İkinci-mertebe → sistem	47m38

24.16 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Neural ODE / SSM → Sürekli derin öğrenme.
$e^{At}$ propagatör → Fizik, kontrol, Schrödinger.
Re(λ) < 0 = kararlı → S4/Mamba tasarımı.
Kompleks λ = osilasyon → Zaman serisi.
Uncoupling → Mod analizi, Fourier akrabası.
Companion → State-space, Kalman.
Ayrık vs sürekli → Aynı fikir, iki geometri.

Tek bir şey alıp gideceksen

$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$ → $\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}(0) = S e^{\Lambda t} S^{-1} \mathbf{u}(0)$. Özdeğerler tüm davranışı belirler — Re(λ) söndürme/büyüme, Im(λ) osilasyon. Neural ODE, SSM, kontrol teorisi kalbi.

--- title: "Diferansiyel Denklemler ve eᴬᵗ" subtitle: "Sürekli dinamik — neural ODE'lerin lineer çekirdeği" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 23: Differential Equations and exp(At)](https://www.youtube.com/watch?v=IZqwi0wJovM) (≈51 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 23](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-23-differential-equations-and-exp-at/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Ders 22'nin sürekli versiyonu: $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$. 1. **Üstel çözümler:** her özvektör → $\mathbf{u} = e^{\lambda t} \mathbf{x}$. 2. **Kararlılık:** tüm $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem). 3. **Matris üstel:** $e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$, $\mathbf{u}(t) = e^{At} \mathbf{u}(0)$. 4. **İkinci-mertebe → sistem** (companion matris). > *"The solutions to constant coefficient linear equations are exponentials."* — Strang, 0:32 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "du/dt = Au → eᴬᵗ propagatör. Re(λ) kararlılık, kompleks osilasyon, neural ODE/SSM çekirdeği." flowchart LR DE["du/dt = Au"] --> SOL["⭐ u(t) = eᴬᵗ u(0) = SeᴧᵗS⁻¹u(0)"] SOL --> MODE["u(t) = Σ cᵢeλᵢᵗ xᵢ"] MODE --> STAB["Re(λ) < 0 → sönen Re(λ) > 0 → patlar Im(λ) → osilasyon"] STAB --> ML["Neural ODE SSM (S4, Mamba) Kontrol teorisi"] style SOL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Sürekli Dinamik ML'de"} - **Neural ODE** — derin ağ = sürekli sistem $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = f(\mathbf{u})$. - **SSM (S4, Mamba)** — tam $\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u} + B\mathbf{x}$ formunda; HiPPO başlatma özdeğer yapısı. - **Kararlı RNN/SSM** → özdeğerleri **sol yarı düzleme** ($\text{Re}(\lambda) < 0$) kısıtla. - **Ayrık vs sürekli:** $|\lambda| < 1$ (birim çember) vs $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem). ::: ## du/dt = Au ve Üstel Çözümler {#sec-uste} Her özvektör pür üstel çözüm verir: $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ → $\mathbf{u} = e^{\lambda t} \mathbf{x}$ ($du/dt = \lambda e^{\lambda t} \mathbf{x} = A\mathbf{u}$ ✓). **Genel çözüm:** $$ \mathbf{u}(t) = \sum c_i e^{\lambda_i t} \mathbf{x}_i $$ ## Örnek — Steady State {#sec-steady} $$ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}(0) = (1, 0)^T $$ Singular (kolon 2 = $-2 \times$ kolon 1) → $\lambda_1 = 0$. Trace $= -3$ → $\lambda_2 = -3$. - $\lambda_1 = 0$: $\mathbf{x}_1 = (2, 1)$. - $\lambda_2 = -3$: $\mathbf{x}_2 = (1, -1)$. $\mathbf{u}(0) = \frac{1}{3} \mathbf{x}_1 + \frac{1}{3} \mathbf{x}_2$: $$ \mathbf{u}(t) = \tfrac{1}{3}(2, 1)^T + \tfrac{1}{3} e^{-3t}(1, -1)^T \xrightarrow{t \to \infty} (\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3})^T $$ **$\lambda = 0$ modu kalıcı (steady state); $\lambda = -3$ söner.** ## Kararlılık — $\text{Re}(\lambda) < 0$ {#sec-kararlilik} $$ \mathbf{u}(t) \to \mathbf{0} \iff \text{Re}(\lambda_i) < 0 \;\forall i $$ **Üç durum:** - Tüm $\text{Re} < 0$ → kararlı, sönen. - Bir $\lambda = 0$, diğerleri Re < 0 → steady state. - Bir Re > 0 → patlar. **Ayrık vs sürekli:** $|\lambda| < 1$ (birim çember) ↔ $\text{Re}(\lambda) < 0$ (sol yarı düzlem). ## Kompleks Özdeğerler — Osilasyon {#sec-kompleks} $\lambda = a + bi$ → $|e^{\lambda t}| = e^{at}$. **Sadece gerçel kısım büyüklüğü belirler**; imajiner = salınım. **Antisimetrik matris** → saf imajiner λ → sönmeyen salınım. ## 2×2 Kararlılık — Trace ve Determinant {#sec-2x2-stab} $$ \boxed{\text{trace} < 0 \text{ ve } \det > 0} $$ İkisi de gerekli: trace < 0 (toplam negatif), det > 0 (aynı işaret → ikisi de negatif). **Karşı-örnek:** $A = \text{diag}(-2, 1)$, trace = -1, det = -2 → patlar. ## Uncoupling — u = Sv {#sec-uncouple} $\mathbf{u} = S\mathbf{v}$: $$ \frac{d\mathbf{v}}{dt} = S^{-1} A S \mathbf{v} = \Lambda \mathbf{v} $$ Bağımsız denklemler $dv_i/dt = \lambda_i v_i$ → $v_i(t) = e^{\lambda_i t} v_i(0)$. ## Matris Üstel — $e^{At}$ ⭐ {#sec-matris-ustel} $$ e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(At)^n}{n!} $$ **Her zaman yakınsar** ($n!$ paydası). Diğer seri $(I - At)^{-1}$ sadece $|\lambda| < 1$ için yakınsar; üstel daha güvenli. ## $e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$ {#sec-eAt-S} Taylor serisine $A = S\Lambda S^{-1}$ koy → $A^n = S \Lambda^n S^{-1}$, ortadakiler sadeleşir: $$ e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}, \quad e^{\Lambda t} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}) $$ ```{python} #| label: code-eAt #| code-fold: false import numpy as np from scipy.linalg import expm A = np.array([[-1, 2], [1, -2]], dtype=float) u0 = np.array([1, 0], dtype=float) vals, vecs = np.linalg.eig(A) print("özdeğerler:", vals) # t = 2 print(f"u(2) = {expm(A * 2) @ u0}") # Steady state print(f"u(100) ≈ {expm(A * 100) @ u0} (= (2/3, 1/3))") ``` ## İkinci-Mertebe → Sistem (Companion) {#sec-companion} $y'' + by' + ky = 0$ → $\mathbf{u} = (y', y)^T$: $$ \mathbf{u}' = \begin{pmatrix} -b & -k \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{u} $$ **Companion matris** — state-space temsili. **Builder Notu:** Kontrol teorisi, robotik, Kalman filtreleri, **neural ODE**, **SSM** hep state-space formunda. Özdeğerler = orijinal karakteristik kökleri. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$** üstel çözüm. 2. **Genel çözüm** = mod toplamı. 3. **Steady state** ($\lambda = 0$). 4. **Kararlılık** $\text{Re}(\lambda) < 0$. 5. **Kompleks osilasyon**. 6. **2×2:** trace < 0, det > 0. 7. **Uncoupling**. 8. **$e^{At}$** Taylor. 9. **$e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$**. 10. **Companion (state-space)**. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **$\mathbf{u}(t) = e^{At} \mathbf{u}(0) = S e^{\Lambda t} S^{-1} \mathbf{u}(0)$**; özdeğerler tüm davranışı belirler — Re(λ) < 0 söndürür, > 0 patlatır, Im(λ) salındırır. Neural ODE'den SSM'e modern ML'in sürekli omurgası. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = (1 0 / 0 -2), u(0) = (3, 5). u(t) ve t→∞?"} $$ \mathbf{u}(t) = (3e^t, 5e^{-2t}) $$ $t \to \infty$: $5e^{-2t} \to 0$, $3e^t \to \infty$ → **patlar** (λ = 1 > 0). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Hangileri kararlı? (a) -1, -2 (b) -1±3i (c) 0, -5 (d) 2, -3"} - **(a)** kararlı (her ikisi Re < 0). - **(b)** kararlı (Re = -1, salınarak söner). - **(c)** steady state'e gider (sıfıra değil ama patlamaz). - **(d)** kararsız (Re = 2 > 0). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: A = (0 1 / 0 0) → eᴬᵗ?"} $A^2 = 0$ (nilpotent!). Taylor kısalır: $$ e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Polinom çıkması = Jordan formu imzası (Ders 28). Degenerate (tekrarlı λ = 0, tek özvektör). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Neural ODE / SSM / kontrol → du/dt = Au?"} **Neural ODE:** $d\mathbf{u}/dt = f(\mathbf{u}, \theta)$, lineer hâli $A\mathbf{u}$, $\mathbf{u}(T) = e^{AT}\mathbf{u}(0)$. **SSM (S4, Mamba):** $d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u} + B\mathbf{x}$, $\mathbf{y} = C\mathbf{u}$; $e^{At}$ ile ayrıklaştırılır. **Kararlılık:** Re(λ) < 0 → kararlı RNN/SSM. **HiPPO** başlatma uzun-menzilli bağımlılıkları yakalar. **Kompleks λ:** zaman serisi salınım modelleri. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = (-2\ 1 / 1\ -2)$, $\mathbf{u}(0) = (1, 0)$ — çözüm, kararlı mı? **Egzersiz 2.** Kararlılık testi: (a) $(-1\ 2 / 0\ -3)$, (b) $(1\ 0 / 0\ -5)$, (c) $(0\ -1 / 1\ 0)$. **Egzersiz 3.** $y'' + 4y = 0$ → companion + özdeğerler. Salınımlı mı? **Egzersiz 4.** *(Python)* `scipy.linalg.expm` + steady state. **Egzersiz 5.** *İspatla:* $\frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}$. (Taylor terim terim türev.) ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 24: Markov Matrisleri ve Fourier Serisi** - **Markov:** $\lambda = 1$ (kararlı durum), diğerleri sönen. - **Fourier:** fonksiyon uzayında ortonormal sin/cos. ::: {.callout-warning title="Ders 24 öncesi"} - Egzersiz 5 ($e^{At}$ türev). - `expm` ile steady state. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **$d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$** | Üstel çözüm | 0m32 | | **Genel çözüm** | $\sum c_i e^{\lambda_i t} \mathbf{x}_i$ | 8m54 | | **Kararlılık** | $\text{Re}(\lambda) < 0$ | 16m45 | | **Kompleks λ** | Re büyüklük, Im osilasyon | 17m50 | | **2×2 kararlılık** | trace < 0, det > 0 | 22m02 | | **Uncoupling** | $\mathbf{u} = S\mathbf{v}$ | 29m14 | | **Matris üstel** | $\sum (At)^n / n!$ | 33m55 | | **$e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}$** | — | 39m02 | | **Companion** | İkinci-mertebe → sistem | 47m38 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Neural ODE / SSM** → Sürekli derin öğrenme. 2. **$e^{At}$ propagatör** → Fizik, kontrol, Schrödinger. 3. **Re(λ) < 0 = kararlı** → S4/Mamba tasarımı. 4. **Kompleks λ = osilasyon** → Zaman serisi. 5. **Uncoupling** → Mod analizi, Fourier akrabası. 6. **Companion** → State-space, Kalman. 7. **Ayrık vs sürekli** → Aynı fikir, iki geometri. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} $d\mathbf{u}/dt = A\mathbf{u}$ → $\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}(0) = S e^{\Lambda t} S^{-1} \mathbf{u}(0)$. Özdeğerler tüm davranışı belirler — Re(λ) söndürme/büyüme, Im(λ) osilasyon. Neural ODE, SSM, kontrol teorisi kalbi. :::

24 Diferansiyel Denklemler ve eᴬᵗ

24.1 Bu Derste Ne Var?

24.2 du/dt = Au ve Üstel Çözümler

24.3 Örnek — Steady State

24.4 Kararlılık — \(\text{Re}(\lambda) < 0\)

24.5 Kompleks Özdeğerler — Osilasyon

24.6 2×2 Kararlılık — Trace ve Determinant

24.7 Uncoupling — u = Sv

24.8 Matris Üstel — \(e^{At}\) ⭐

24.9 \(e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}\)

24.10 İkinci-Mertebe → Sistem (Companion)

24.11 Bu Dersin Özeti

24.12 Kontrol Soruları

24.13 Egzersizler

24.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

24.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

24.16 ML Bağlantıları Özeti