26 Quiz 2 İncelemesi

Ortogonallik + Determinant + Özdeğer — üç ayak

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Quiz 2 Review (≈48 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Exam 2 Review
Okuma süresi: ≈35 dk

26.1 Bu Derste Ne Var?

Quiz 2 tekrar oturumu. Kapsam: Chapter 4 (ortogonallik), 5 (determinant), 6.1–6.2 (özdeğer/diagonalizasyon). ODE hariç.

Projeksiyon — matris, özdeğerler $\{0, 1\}$, idempotent.
Least squares — iki resim.
Gram-Schmidt.
Özdeğer hünerleri — det/trace, kompleks, periyodiklik, recurrence.

“The magnitude of lambda — that’s the key point for stability.” — Strang, 36:22

flowchart LR
    ORTH["Ortogonallik<br/>(Chapter 4)"] --> P["Projeksiyon: λ ∈ {0, 1}"]
    DET["Determinant<br/>(Chapter 5)"] --> DET2["det = Πλ"]
    EIG["Özdeğer<br/>(Chapter 6)"] --> DET2
    EIG --> TR["trace = Σλ"]
    EIG --> STAB["|λ| → kararlılık<br/>|λ|=1 periyodik"]

    P --> ML1["Hat matrix<br/>regresyon"]
    DET2 --> ML2["log-det, Jacobian"]
    STAB --> ML3["RNN, SSM, Markov"]

    style EIG fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px

flowchart LR
    ORTH["Ortogonallik<br/>(Chapter 4)"] --> P["Projeksiyon: λ ∈ {0, 1}"]
    DET["Determinant<br/>(Chapter 5)"] --> DET2["det = Πλ"]
    EIG["Özdeğer<br/>(Chapter 6)"] --> DET2
    EIG --> TR["trace = Σλ"]
    EIG --> STAB["|λ| → kararlılık<br/>|λ|=1 periyodik"]

    P --> ML1["Hat matrix<br/>regresyon"]
    DET2 --> ML2["log-det, Jacobian"]
    STAB --> ML3["RNN, SSM, Markov"]

    style EIG fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px

Şekil 26.1: Üç ayak birbirine bağlı: P özdeğerleri (ortogonallik + özdeğer), det/trace (det + özdeğer), |λ| (dinamik).

Builder Notu — Trace Kontrolü Disiplini

Strang’in altın kuralı: özdeğer hesapladığında her zaman trace ile doğrula ($\sum\lambda$ = köşegen toplamı). Bedava sigorta — ML sayısal sonuçlarını sanity-check etmek için aynı disiplin.

26.2 Kapsam

Ch 4: Ortonormal ($Q^T Q = I$), projeksiyon, LS, Gram-Schmidt.
Ch 5: Determinant (3 + 7 özellik), büyük formül, kofaktör, $A^{-1}$ formülü.
Ch 6.1–6.2: $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$, karakteristik, $A = S\Lambda S^{-1}$, $A^k$.

Kapsam dışı: ODE (6.3 — Quiz 3).

26.3 Projeksiyon Özdeğerleri

$\mathbf{a} = (2, 1, 2)^T$ doğrusu projeksiyonu:

\[ P = \frac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Özdeğerler — hesaplamadan:

Rank 1 → 2 boyutlu null → $\lambda = 0, 0$.
trace = $9/9 = 1$ → üçüncü $\lambda = 1$.

Genel kural: projeksiyon özdeğerleri her zaman $\{0, 1\}$ (idempotent imzası).

26.4 P + Fark Denklemi

$\mathbf{u}_{k+1} = P\mathbf{u}_k$, $\mathbf{u}_0 = (9, 9, 0)$:

\[ \mathbf{u}_1 = \frac{27}{9}\mathbf{a} = (6, 3, 6) \]

$\mathbf{u}_1$ zaten kolon uzayında → $P^2 = P$ → $\mathbf{u}_k = (6, 3, 6)$ $\forall k \geq 1$.

26.5 Least Squares — İki Resim

$y = Dt$ (orijinden) ile $(1, 4), (2, 5), (3, 8)$.

$A = (1, 2, 3)^T$, $\mathbf{b} = (4, 5, 8)$. $14 \hat{D} = 38 \to \hat{D} = 19/7$.

Resim 1 (ty): noktalar + doğru. Resim 2 (vektör): $\mathbf{b}$ $\mathbb{R}^3$’te, $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ doğrusuna izdüşer.

26.6 Gram-Schmidt

$\mathbf{a}_1 = (1, 2, 3), \mathbf{a}_2 = (1, 1, 1)$.

\[ \mathbf{B} = \mathbf{a}_2 - \frac{6}{14}\mathbf{a}_1 = \tfrac{2}{14}(4, 1, -2) \]

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 4 + 2 - 6 = 0$ ✓.

26.7 Özdeğer Cebri

$\lambda_1, \ldots, \lambda_4$ olan 4×4:

Tersinir $\iff \lambda_i \neq 0$.
$\det(A^{-1}) = 1/\det A = 1/\prod \lambda_i$.
$\text{trace}(A + I) = \sum \lambda_i + n$ ($A + cI$ özdeğeri $\lambda + c$).

26.8 Tridiagonal Recurrence ve Kompleks Özdeğer

Köşegen 1, komşular 1 → $D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$.

Companion matris $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ → $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ → $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$.

$|\lambda|^2 = 1/4 + 3/4 = 1$ → $|\lambda| = 1$ → birim çember, $\lambda = e^{\pm i\pi/3}$ → periyot 6.

\[ A^6 = I, \quad D_n: 1, 0, -1, -1, 0, 1, \text{tekrar} \]

D = [1, 0]
for _ in range(10):
    D.append(D[-1] - D[-2])
print("Dₙ dizisi (periyot 6):", D[:8])

26.9 Trace Kontrolü — Strang’in Disiplini ⭐

$A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. $\det(A_3 - \lambda I) = -\lambda(\lambda^2 - 5) = 0$ → $\lambda = 0, \sqrt 5, -\sqrt 5$.

Trace kontrolü: $\sum\lambda = 0$ = köşegen toplamı $0$ ✓.

“I would never write down those three eigenvalues without checking the trace.” — Strang, 44:17

26.10 Bu Tekrarın Özeti

Kapsam (Ch 4-6.2, ODE hariç).
Projeksiyon $\{0, 1\}$.
P idempotent fark denk. sabit.
Least squares iki resim.
Gram-Schmidt B formülü.
Özdeğer cebri ($A^{-1}$, $A + cI$).
Tridiagonal recurrence.
Kompleks $|\lambda| = 1$ periyodik.
Bağımlı kolon → singular.
Trace kontrolü.

Tek bir cümle

Üç ayak birbirine bağlı: projeksiyon $\{0, 1\}$, det = $\Pi\lambda$, trace = $\Sigma\lambda$, $|\lambda|$ dinamik kader. Trace kontrolü her özdeğer hesabının bedava sigortası.

26.11 Kontrol Soruları

Soru 1: a = (1, 0, 1) için P + özdeğer.

$P = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Rank 1 → $\lambda = 0, 0, 1$. trace = 1 ✓. $\lambda = 1$ özvektörü = $\mathbf{a}$.

Soru 2: (1,1),(2,3),(3,4)’e y = Dt fit.

$A^T A = 14$, $A^T \mathbf{b} = 19$ → $\hat{D} = 19/14$.

Soru 3: λ = 2, 3, -1 → det, trace, det(A⁻¹), trace(A - 2I)?

$\det = -6$.
$\text{trace} = 4$.
$\det(A^{-1}) = -1/6$.
$\text{trace}(A - 2I) = (0, 1, -3) \to -2$.

Soru 4: Üç bölüm ML’de hangi araçlara karşılık?

Ortogonallik: projeksiyon → regresyon (hat matrix); QR → kararlı LS, PCA, ortogonal başlatma.

Determinant: $|\det J|$ → Jacobian (normalizing flows); log-det → Gaussian likelihood, entropi; $\det = 0$ → tekil teşhis.

Özdeğer: PCA (kovaryans), Markov/PageRank ($\lambda = 1$), RNN/SSM kararlılık ($|\lambda|$), log-det = $\sum \log \lambda$.

Birleşim → SVD (Ders 29) — üçü birden.

26.12 Egzersizler

Egzersiz 1. $\mathbf{a} = (2, 2, 1)$ → $P$, özdeğer, trace doğrulama.

Egzersiz 2. $(1, 2), (2, 3), (3, 5)$ → $y = C + Dt$ (sabitli) → normal denklemler.

Egzersiz 3. $\mathbf{a}_1 = (1, 1, 0), \mathbf{a}_2 = (1, 0, 1)$ → Gram-Schmidt.

Egzersiz 4. (Python) Quiz konuları tara.

Egzersiz 5. İspatla: Projeksiyon $\lambda \in \{0, 1\}$. (İpucu: $P^2 = P$ → $\lambda^2 = \lambda$.) Ders 25 (simetrik) habercisi.

26.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 25: Simetrik Matrisler ve Pozitif Tanımlılık

Spektral teorem: simetrik → gerçel λ + ortogonal özvektör; $A = Q\Lambda Q^T$.
Pozitif tanım: $\lambda > 0$, pivot $> 0$.
Kovaryans, Gram, kernel — hepsi simetrik.

Ders 25 öncesi

Egzersiz 5.
Ders 14-24 + bu tekrar gözden geçir.

26.14 Sınav Formülleri (Cheat Sheet)

Soru tipi	Anahtar	Strang’da
Projeksiyon $P$	$P = \mathbf{a}\mathbf{a}^T/\mathbf{a}^T\mathbf{a}$; $\lambda \in \{0, 1\}$	4m35
$\lambda = 1$ özvektörü	$\mathbf{a}$ ($P\mathbf{a} = \mathbf{a}$)	6m39
$P^2 = P$ fark denk.	İlk adımdan sonra sabit	9m22
Least squares	$A^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}$	15m01
Gram-Schmidt	$\mathbf{B} = \mathbf{a}_2 - \frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1}\mathbf{a}_1$	21m14
det/trace	$\Pi\lambda, \Sigma\lambda$	24m38
Recurrence	$D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$	28m14
$\|\lambda\| = 1$	Periyodik	35m58
Trace kontrolü	Bedava doğrulama	44m17

26.15 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

$P \in \{0, 1\}$ → Hat matrix, regresyon.
LS = projeksiyon → Lineer regresyon iki resim.
GS/QR → Kararlı regresyon, ortogonal başlatma.
det/trace = $\Pi\lambda/\Sigma\lambda$ → Log-det, iz regularization.
$|\lambda|$ → RNN/SSM kararlılık.
Trace kontrolü → Sanity-check disiplini.
Üç bölüm → SVD (Ders 29) birleşim.

Tek bir şey alıp gideceksen

Üç ayak birbirine bağlı: projeksiyon $\{0, 1\}$, det = $\Pi\lambda$, trace = $\Sigma\lambda$, $|\lambda|$ dinamik kader. Trace kontrolü bedava sigorta.

--- title: "Quiz 2 İncelemesi" subtitle: "Ortogonallik + Determinant + Özdeğer — üç ayak" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Quiz 2 Review](https://www.youtube.com/watch?v=QuZL5IKpO_U) (≈48 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Exam 2 Review](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/exam-2-review/) - **Okuma süresi:** ≈35 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Quiz 2 tekrar oturumu. Kapsam: Chapter 4 (ortogonallik), 5 (determinant), 6.1–6.2 (özdeğer/diagonalizasyon). **ODE hariç.** 1. **Projeksiyon** — matris, özdeğerler $\{0, 1\}$, idempotent. 2. **Least squares** — iki resim. 3. **Gram-Schmidt**. 4. **Özdeğer hünerleri** — det/trace, kompleks, periyodiklik, recurrence. > *"The magnitude of lambda — that's the key point for stability."* — Strang, 36:22 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Üç ayak birbirine bağlı: P özdeğerleri (ortogonallik + özdeğer), det/trace (det + özdeğer), |λ| (dinamik)." flowchart LR ORTH["Ortogonallik (Chapter 4)"] --> P["Projeksiyon: λ ∈ {0, 1}"] DET["Determinant (Chapter 5)"] --> DET2["det = Πλ"] EIG["Özdeğer (Chapter 6)"] --> DET2 EIG --> TR["trace = Σλ"] EIG --> STAB["|λ| → kararlılık |λ|=1 periyodik"] P --> ML1["Hat matrix regresyon"] DET2 --> ML2["log-det, Jacobian"] STAB --> ML3["RNN, SSM, Markov"] style EIG fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Trace Kontrolü Disiplini"} Strang'in altın kuralı: özdeğer hesapladığında **her zaman trace ile doğrula** ($\sum\lambda$ = köşegen toplamı). Bedava sigorta — ML sayısal sonuçlarını sanity-check etmek için aynı disiplin. ::: ## Kapsam {#sec-kapsam} - **Ch 4:** Ortonormal ($Q^T Q = I$), projeksiyon, LS, Gram-Schmidt. - **Ch 5:** Determinant (3 + 7 özellik), büyük formül, kofaktör, $A^{-1}$ formülü. - **Ch 6.1–6.2:** $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$, karakteristik, $A = S\Lambda S^{-1}$, $A^k$. **Kapsam dışı:** ODE (6.3 — Quiz 3). ## Projeksiyon Özdeğerleri {#sec-P-eig} $\mathbf{a} = (2, 1, 2)^T$ doğrusu projeksiyonu: $$ P = \frac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$ **Özdeğerler — hesaplamadan:** - Rank 1 → 2 boyutlu null → **$\lambda = 0, 0$**. - trace = $9/9 = 1$ → **üçüncü $\lambda = 1$**. Genel kural: projeksiyon özdeğerleri **her zaman $\{0, 1\}$** (idempotent imzası). ## P + Fark Denklemi {#sec-P-fark} $\mathbf{u}_{k+1} = P\mathbf{u}_k$, $\mathbf{u}_0 = (9, 9, 0)$: $$ \mathbf{u}_1 = \frac{27}{9}\mathbf{a} = (6, 3, 6) $$ $\mathbf{u}_1$ zaten kolon uzayında → $P^2 = P$ → **$\mathbf{u}_k = (6, 3, 6)$ $\forall k \geq 1$**. ## Least Squares — İki Resim {#sec-LS-iki} $y = Dt$ (orijinden) ile $(1, 4), (2, 5), (3, 8)$. $A = (1, 2, 3)^T$, $\mathbf{b} = (4, 5, 8)$. $14 \hat{D} = 38 \to \hat{D} = 19/7$. **Resim 1 (ty):** noktalar + doğru. **Resim 2 (vektör):** $\mathbf{b}$ $\mathbb{R}^3$'te, $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ doğrusuna izdüşer. ## Gram-Schmidt {#sec-GS} $\mathbf{a}_1 = (1, 2, 3), \mathbf{a}_2 = (1, 1, 1)$. $$ \mathbf{B} = \mathbf{a}_2 - \frac{6}{14}\mathbf{a}_1 = \tfrac{2}{14}(4, 1, -2) $$ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 4 + 2 - 6 = 0$ ✓. ## Özdeğer Cebri {#sec-eig-cebri} $\lambda_1, \ldots, \lambda_4$ olan 4×4: - **Tersinir** $\iff \lambda_i \neq 0$. - $\det(A^{-1}) = 1/\det A = 1/\prod \lambda_i$. - $\text{trace}(A + I) = \sum \lambda_i + n$ ($A + cI$ özdeğeri $\lambda + c$). ## Tridiagonal Recurrence ve Kompleks Özdeğer {#sec-tri-kompleks} Köşegen 1, komşular 1 → $D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$. Companion matris $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ → $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ → $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$. $|\lambda|^2 = 1/4 + 3/4 = 1$ → **$|\lambda| = 1$** → birim çember, $\lambda = e^{\pm i\pi/3}$ → **periyot 6**. $$ A^6 = I, \quad D_n: 1, 0, -1, -1, 0, 1, \text{tekrar} $$ ```{python} #| label: code-recurrence #| code-fold: false D = [1, 0] for _ in range(10): D.append(D[-1] - D[-2]) print("Dₙ dizisi (periyot 6):", D[:8]) ``` ## Trace Kontrolü — Strang'in Disiplini ⭐ {#sec-trace-check} $A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. $\det(A_3 - \lambda I) = -\lambda(\lambda^2 - 5) = 0$ → $\lambda = 0, \sqrt 5, -\sqrt 5$. **Trace kontrolü:** $\sum\lambda = 0$ = köşegen toplamı $0$ ✓. > *"I would never write down those three eigenvalues without checking the trace."* — Strang, 44:17 ## Bu Tekrarın Özeti {#sec-ozet} 1. **Kapsam** (Ch 4-6.2, ODE hariç). 2. **Projeksiyon $\{0, 1\}$**. 3. **P idempotent fark denk.** sabit. 4. **Least squares iki resim**. 5. **Gram-Schmidt B formülü**. 6. **Özdeğer cebri** ($A^{-1}$, $A + cI$). 7. **Tridiagonal recurrence**. 8. **Kompleks $|\lambda| = 1$ periyodik**. 9. **Bağımlı kolon → singular**. 10. **Trace kontrolü**. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Üç ayak birbirine bağlı: projeksiyon $\{0, 1\}$, det = $\Pi\lambda$, trace = $\Sigma\lambda$, $|\lambda|$ dinamik kader. **Trace kontrolü** her özdeğer hesabının bedava sigortası. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: a = (1, 0, 1) için P + özdeğer."} $P = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Rank 1 → $\lambda = 0, 0, 1$. trace = 1 ✓. $\lambda = 1$ özvektörü = $\mathbf{a}$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: (1,1),(2,3),(3,4)'e y = Dt fit."} $A^T A = 14$, $A^T \mathbf{b} = 19$ → $\hat{D} = 19/14$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: λ = 2, 3, -1 → det, trace, det(A⁻¹), trace(A - 2I)?"} - $\det = -6$. - $\text{trace} = 4$. - $\det(A^{-1}) = -1/6$. - $\text{trace}(A - 2I) = (0, 1, -3) \to -2$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Üç bölüm ML'de hangi araçlara karşılık?"} **Ortogonallik:** projeksiyon → regresyon (hat matrix); QR → kararlı LS, PCA, ortogonal başlatma. **Determinant:** $|\det J|$ → Jacobian (normalizing flows); log-det → Gaussian likelihood, entropi; $\det = 0$ → tekil teşhis. **Özdeğer:** PCA (kovaryans), Markov/PageRank ($\lambda = 1$), RNN/SSM kararlılık ($|\lambda|$), log-det = $\sum \log \lambda$. **Birleşim → SVD** (Ders 29) — üçü birden. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $\mathbf{a} = (2, 2, 1)$ → $P$, özdeğer, trace doğrulama. **Egzersiz 2.** $(1, 2), (2, 3), (3, 5)$ → $y = C + Dt$ (sabitli) → normal denklemler. **Egzersiz 3.** $\mathbf{a}_1 = (1, 1, 0), \mathbf{a}_2 = (1, 0, 1)$ → Gram-Schmidt. **Egzersiz 4.** *(Python)* Quiz konuları tara. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Projeksiyon $\lambda \in \{0, 1\}$. (İpucu: $P^2 = P$ → $\lambda^2 = \lambda$.) Ders 25 (simetrik) habercisi. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 25: Simetrik Matrisler ve Pozitif Tanımlılık** - **Spektral teorem:** simetrik → gerçel λ + ortogonal özvektör; $A = Q\Lambda Q^T$. - **Pozitif tanım:** $\lambda > 0$, pivot $> 0$. - Kovaryans, Gram, kernel — hepsi simetrik. ::: {.callout-warning title="Ders 25 öncesi"} - Egzersiz 5. - Ders 14-24 + bu tekrar gözden geçir. ::: ## Sınav Formülleri (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Soru tipi | Anahtar | Strang'da | |-----------|---------|-----------| | **Projeksiyon $P$** | $P = \mathbf{a}\mathbf{a}^T/\mathbf{a}^T\mathbf{a}$; $\lambda \in \{0, 1\}$ | 4m35 | | **$\lambda = 1$ özvektörü** | $\mathbf{a}$ ($P\mathbf{a} = \mathbf{a}$) | 6m39 | | **$P^2 = P$ fark denk.** | İlk adımdan sonra sabit | 9m22 | | **Least squares** | $A^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}$ | 15m01 | | **Gram-Schmidt** | $\mathbf{B} = \mathbf{a}_2 - \frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1}\mathbf{a}_1$ | 21m14 | | **det/trace** | $\Pi\lambda, \Sigma\lambda$ | 24m38 | | **Recurrence** | $D_n = D_{n-1} - D_{n-2}$ | 28m14 | | **$|\lambda| = 1$** | Periyodik | 35m58 | | **Trace kontrolü** | Bedava doğrulama | 44m17 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **$P \in \{0, 1\}$** → Hat matrix, regresyon. 2. **LS = projeksiyon** → Lineer regresyon iki resim. 3. **GS/QR** → Kararlı regresyon, ortogonal başlatma. 4. **det/trace = $\Pi\lambda/\Sigma\lambda$** → Log-det, iz regularization. 5. **$|\lambda|$** → RNN/SSM kararlılık. 6. **Trace kontrolü** → Sanity-check disiplini. 7. **Üç bölüm → SVD** (Ders 29) birleşim. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Üç ayak birbirine bağlı: projeksiyon $\{0, 1\}$, det = $\Pi\lambda$, trace = $\Sigma\lambda$, $|\lambda|$ dinamik kader. **Trace kontrolü** bedava sigorta. :::