10 Lineer Bağımsızlık, Baz ve Boyut

Kursun kilit dersi — dört kavram bir arada

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension (≈50 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 9
Okuma süresi: ≈40 dk

10.1 Bu Derste Ne Var?

“This is a key lecture, this is where we get these ideas of linear independence, the space they span, a basis, and the dimension.” — Strang, 0:21

Şimdiye dek sezgisel kullandığımız dört kelime burada kesin tanım kazanıyor:

Lineer bağımsızlık — hiçbir kombinasyon $\mathbf{0}$ vermez (sıfır kombinasyonu hariç).
Span — vektör kümesinin tüm kombinasyonları.
Baz — bağımsız + spanlayan.
Boyut — bir bazdaki vektör sayısı.

Temel teorem: $\dim C(A) = r$, $\dim N(A) = n - r$ → rank-nullity.

flowchart LR
    IND["Bağımsızlık<br/>N(A) = {0}"] --> BASIS["⭐ Baz<br/>(bağımsız + spanlayan)"]
    SPAN["Span<br/>(tüm kombinasyonlar)"] --> BASIS
    BASIS --> DIM["Boyut<br/>(bazdaki vektör sayısı)"]
    DIM --> RNULL["dim C(A) = r<br/>dim N(A) = n - r"]
    RNULL --> RN["⭐ Rank-nullity:<br/>r + (n-r) = n"]
    RN --> ML["LoRA, PCA<br/>düşük-rank yaklaşım"]

    style BASIS fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style RN fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px

flowchart LR
    IND["Bağımsızlık<br/>N(A) = {0}"] --> BASIS["⭐ Baz<br/>(bağımsız + spanlayan)"]
    SPAN["Span<br/>(tüm kombinasyonlar)"] --> BASIS
    BASIS --> DIM["Boyut<br/>(bazdaki vektör sayısı)"]
    DIM --> RNULL["dim C(A) = r<br/>dim N(A) = n - r"]
    RNULL --> RN["⭐ Rank-nullity:<br/>r + (n-r) = n"]
    RN --> ML["LoRA, PCA<br/>düşük-rank yaklaşım"]

    style BASIS fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style RN fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px

Şekil 10.1: Bağımsızlık + span = baz. Baz vektör sayısı = boyut. Boyutlar rank-nullity ile bağlanır.

Builder Notu — ML’in Alfabesi

Bağımsızlık = multicollinearity yokluğu. Bağımlı özellikler $A^T A$’yı tekilleştirir.
Baz = koordinat sistemi. PCA/Fourier/wavelet — aynı bilgi, farklı eksenler.
Boyut = içsel boyut. Manifold hipotezi: yüksek boyutlu veri düşük boyutta yaşar.
rank = $\dim C(A)$ → veri matrisinin gerçek bilgi içeriği.

10.2 $n > m$ ⟹ Null Uzayı Boş Değil

Kolon sayısı satır sayısından fazlaysa, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$’ın sıfırdan farklı çözümü her zaman vardır. En fazla $m$ pivot olur; $n > m$ → en az bir serbest değişken → $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$.

“More unknowns than equations, then there are some non-zero x’s such that Ax is zero.” — Strang, 2:15

Bu, “$m$ boyutlu uzayda $m$’den fazla vektör daima bağımlıdır” sonucunu getirecek.

10.3 Lineer Bağımsızlık

$\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n$ bağımsızdır $\iff$

\[ c_1 \mathbf{x}_1 + \cdots + c_n \mathbf{x}_n = \mathbf{0} \implies c_1 = \cdots = c_n = 0 \]

Sıfırı elde etmenin tek yolu her şeyi 0 ile çarpmak.

Örnekler:

$\mathbf{v}$ ve $2\mathbf{v}$: bağımlı ($2\mathbf{v} - 1 \cdot (2\mathbf{v}) = \mathbf{0}$).
İçinde $\mathbf{0}$ olan her küme bağımlı ($0 \cdot \mathbf{v} + 5 \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$).
$\mathbb{R}^2$’de 3 vektör: her zaman bağımlı ($n > m$).

10.4 Matris Dili — Bağımsızlık ⟺ $N(A) = \{\mathbf{0}\}$

Vektörleri $A$’nın kolonları yap. Kombinasyon = $A\mathbf{c}$. Dolayısıyla:

\[ \text{kolonlar bağımsız} \iff N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff r = n \]

“The columns are independent if the null space of A is the zero vector.” — Strang, 14:30

Kare matris için: bağımsız $\iff$ tersinir.

Builder Notu: np.linalg.matrix_rank(A) == n → kolonlar bağımsız. Bağımlı kolonlar $A^T A$’yı tekilleştirir → regresyon kütüphaneleri ya kolonu atar ya da ridge ($\lambda I$ ekleyerek) by-pass eder.

10.5 Span

\[ \text{span}(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_l) = \{c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_l \mathbf{v}_l : c_i \in \mathbb{R}\} \]

Vektörleri içeren en küçük alt-uzay. Bir matrisin kolonları $C(A)$’yı spanlar.

Span ve bağımsızlık birbirinden bağımsız özellikler: spanlamak için yeterli, bağımlı olabilir; ya da bağımsız olabilir, spanlamaz. Baz ikisini birden ister.

10.6 Baz (Basis)

Bir uzayın bazı: aynı anda

Bağımsız (fazla vektör yok).
Spanlayan (eksik vektör yok).

“A basis is a sequence of vectors with two properties: they are independent, and they span the space.” — Strang, 22:14

$\mathbb{R}^3$ standart bazı: $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ → birim matris.

Test: $\mathbb{R}^n$’de $n$ vektör baz $\iff$ kolon yapan $n \times n$ matris tersinir.

Builder Notu — Baz = Koordinat Sistemi

Baz seçimi = koordinat sistemi seçimi. Aynı embedding’i PCA bazında, Fourier modlarında, wavelet’lerde göstermek aynı bilgiyi farklı eksenlerde sunar. PCA verinin en çok değiştiği yönleri baz yapar; sıkıştırmanın özü budur (Ders 31 baz değişimi).

10.7 Baz Tek Değil — Ama Boyut Sabit

$\mathbb{R}^3$ için sonsuz baz var (her tersinir $3 \times 3$). Ama her bazda tam 3 vektör.

“There are many, many bases, but they all have the same number of vectors.” — Strang, 34:18

Sezgi: Az vektörle spanlayamazsın (boşluk kalır); çok vektörle bağımsız olamazsın (tekrar olur). “Tam doğru” sayı = boyut.

10.8 Boyut

\[ \dim(\text{uzay}) = \text{bir bazdaki vektör sayısı} \]

$\dim \mathbb{R}^n = n$.
$\mathbb{R}^3$’te düzlem $\to 2$, doğru $\to 1$, $\{\mathbf{0}\} \to 0$.

Boyut uzayın özelliğidir, matrisin değil. “Alt-uzayın boyutu” → evet. “Matrisin boyutu” → yok.

10.9 Temel Teorem — rank-nullity

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \]

Pivot kolonlar 1 ve 2; kolon 3 = 1 + 2, kolon 4 = kolon 1.

(1) $\dim C(A) = r$. Pivot kolonlar $C(A)$ için baz oluşturur.

(2) $\dim N(A) = n - r$. Özel çözümler $N(A)$ için baz.

\[ \boxed{\dim C(A) + \dim N(A) = r + (n - r) = n} \]

Rank-nullity teoremi — Ders 7’deki sezginin tam ispatı.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]], dtype=float)
r = np.linalg.matrix_rank(A)
n = A.shape[1]
print(f"rank = dim C(A) = {r}")
print(f"dim N(A) = n - r = {n - r}")
print(f"rank-nullity: r + (n-r) = {r + (n-r)} == n = {n}")

Builder Notu — Boyut Muhasebesi

$\dim C(A) = r$ = etkin boyut (matrix_rank); $\dim N(A) = n - r$ = fazlalık. Bir lineer katmanın “kaç boyut taşıdığı + kaç boyut yuttuğu = girdi boyutu” muhasebesidir; LoRA, PCA düşük-rank yaklaşımlar bunu sömürür.

10.10 Bu Dersin Özeti

$n > m$ ⟹ $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$.
Bağımsızlık — hiçbir sıfır-olmayan kombinasyon $\mathbf{0}$ vermez.
Matris dili — bağımsız $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff r = n$.
Span, baz (bağımsız + spanlayan), boyut (baz vektör sayısı).
Rⁿ’de n vektör baz $\iff$ kare matris tersinir.
dim C(A) = $r$, dim N(A) = $n - r$.
Rank-nullity: $r + (n - r) = n$.

Tek bir cümle

Baz = bağımsızlık + spanlama (ne eksik, ne fazla); boyut = baz vektör sayısı. Bir matris için $\dim C(A) = r$, $\dim N(A) = n - r$ — lineer cebrin boyut muhasebesinin kalbi.

10.11 Kontrol Soruları

Soru 1: (1,1,0), (0,1,1), (1,0,-1) bağımsız mı?

$1 \cdot (1,1,0) - 1 \cdot (0,1,1) = (1, 0, -1)$ = 3. vektör. Yani:

\[ \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} \]

Bağımlı. Matris tekil, rank 2, $\mathbb{R}^3$ spanlamaz.

Soru 2: A = ((1,2,3),(2,4,1),(3,6,4)) için C(A) bazı ve boyutu.

$\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$ → bağımlı. $\mathbf{c}_3$ bağımsız. Pivot kolonlar 1 ve 3:

\[ \text{baz} = \{(1, 2, 3)^T, (3, 1, 4)^T\}, \quad \dim C(A) = r = 2 \]

$\mathbb{R}^3$ içinde bir düzlem.

Soru 3: Boyut 3 olan uzayda 3 bağımsız vektör — otomatik baz mı?

Evet. Spanlamasalardı, span dışından bir vektör eklenip 4 bağımsız vektör elde edilirdi; ama 3 boyutta 4 bağımsız vektör olamaz → çelişki → spanlar.

Kural: Doğru sayıda ($=$ boyut) vektör varsa, “bağımsızlık” ile “spanlama” birbirini getirir — sadece birini kontrol et.

Soru 4: Bağımlı özellikler regresyonda ne sorun çıkarır?

$C(A)$ boyutu $< n$, $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$:

$A^T A$ tekil → normal denklemler $(A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}$ → tek çözüm yok; katsayılar belirsiz.
Bir özelliğin ağırlığını artırıp diğerininkini azaltarak aynı tahmin → null yönleri.
Çözümler: bağımlı kolonu at, ya da ridge ($\lambda I$ ekle) ile $A^T A + \lambda I$’yı tersinir yap, ya da PCA ile bağımsız baza geç.

İçsel boyut (rank) kaç bağımsız özelliğin olduğunu söyler.

10.12 Egzersizler

Egzersiz 1. $(1, 2, 3)$, $(1, 0, 1)$, $(1, 4, 5)$ bağımsız mı? Matrise koy, rank bul.

Egzersiz 2. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ → $C(A)$ ve $N(A)$ için baz ve boyut. Rank-nullity’yi doğrula.

Egzersiz 3. $\mathbb{R}^4$’te 5 vektör bağımsız olabilir mi? 3 vektör $\mathbb{R}^4$’ü spanlayabilir mi? (Boyut argümanı.)

Egzersiz 4. (Python) Rank-nullity’yi farklı matrislerde doğrula.

Egzersiz 5. İspatla: $n \times n$ matris tersinir $\iff$ kolonları $\mathbb{R}^n$ için baz. (İpucu: tersinir $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff$ bağımsız; $n$ bağımsız vektör $\mathbb{R}^n$’i spanlar.)

10.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 10: Dört Temel Alt-Uzay

Bir matrisin dört alt-uzayı:

$C(A) \subset \mathbb{R}^m$, boyut $r$
$N(A) \subset \mathbb{R}^n$, boyut $n - r$
$C(A^T) \subset \mathbb{R}^n$, boyut $r$ (satır uzayı)
$N(A^T) \subset \mathbb{R}^m$, boyut $m - r$ (sol null)

Ders 10 öncesi

Egzersizleri çöz, özellikle 5 (tersinir $\iff$ baz).
matrix_rank ile rank-nullity’yi birkaç matriste doğrula.

10.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
$n > m$ gerçeği	Kolon > satır → null boş değil	2m15
Bağımsızlık	Hiçbir non-zero komb. = $\mathbf{0}$	6m06
Matris dili	Bağımsız $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff r = n$	14m30
Span	Tüm kombinasyonlar	19m24
Baz	Bağımsız + spanlayan	22m14
Baz ⟺ tersinir	Rⁿ’de $n$ vektör baz $\iff$ kare tersinir	30m06
Baz sayısı sabit	Tüm bazlar aynı boyutta	34m18
Boyut	Bazdaki vektör sayısı	36m33
$\dim C(A) = r$	Pivot kolonlar = $C(A)$ bazı	41m55
$\dim N(A) = n - r$	Özel çözümler = $N(A)$ bazı	49m09

10.15 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Bağımsızlık = multicollinearity yokluğu → $A^T A$ tersinir, katsayılar belirli.
Baz = koordinat sistemi → PCA, Fourier, wavelet, öğrenilmiş embedding.
Boyut = içsel boyut → Manifold hipotezi.
rank = $\dim C(A)$ = etkin boyut → matrix_rank; veri/ağırlığın gerçek bilgisi.
Span = erişilebilir uzay → $C(W)$.
Rank-nullity → Parametre muhasebesi: taşınan + yutulan = girdi.
Düşük rank = sıkıştırma → $\dim C(A) \ll n$ → LoRA, PCA.

Tek bir şey alıp gideceksen

Baz, bir uzayı tam doğru sayıda bağımsız vektörle tanımlar; boyut bu sayıdır, seçilen baza bağlı değildir. Bir matris için $\dim C(A) = r$, $\dim N(A) = n - r$ — boyut muhasebesinin kalbi.

--- title: "Lineer Bağımsızlık, Baz ve Boyut" subtitle: "Kursun kilit dersi — dört kavram bir arada" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension](https://www.youtube.com/watch?v=yjBerM5jWsc) (≈50 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 9](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/independence-basis-and-dimension/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} > *"This is a key lecture, this is where we get these ideas of linear independence, the space they span, a basis, and the dimension."* — Strang, 0:21 Şimdiye dek sezgisel kullandığımız dört kelime burada kesin tanım kazanıyor: 1. **Lineer bağımsızlık** — hiçbir kombinasyon $\mathbf{0}$ vermez (sıfır kombinasyonu hariç). 2. **Span** — vektör kümesinin tüm kombinasyonları. 3. **Baz** — bağımsız + spanlayan. 4. **Boyut** — bir bazdaki vektör sayısı. **Temel teorem:** $\dim C(A) = r$, $\dim N(A) = n - r$ → **rank-nullity**. ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Bağımsızlık + span = baz. Baz vektör sayısı = boyut. Boyutlar rank-nullity ile bağlanır." flowchart LR IND["Bağımsızlık N(A) = {0}"] --> BASIS["⭐ Baz (bağımsız + spanlayan)"] SPAN["Span (tüm kombinasyonlar)"] --> BASIS BASIS --> DIM["Boyut (bazdaki vektör sayısı)"] DIM --> RNULL["dim C(A) = r dim N(A) = n - r"] RNULL --> RN["⭐ Rank-nullity: r + (n-r) = n"] RN --> ML["LoRA, PCA düşük-rank yaklaşım"] style BASIS fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style RN fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — ML'in Alfabesi"} - **Bağımsızlık = multicollinearity yokluğu.** Bağımlı özellikler $A^T A$'yı tekilleştirir. - **Baz = koordinat sistemi.** PCA/Fourier/wavelet — aynı bilgi, farklı eksenler. - **Boyut = içsel boyut.** Manifold hipotezi: yüksek boyutlu veri düşük boyutta yaşar. - **rank = $\dim C(A)$** → veri matrisinin gerçek bilgi içeriği. ::: ## $n > m$ ⟹ Null Uzayı Boş Değil {#sec-n-greater-m} Kolon sayısı satır sayısından fazlaysa, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$'ın sıfırdan farklı çözümü **her zaman** vardır. En fazla $m$ pivot olur; $n > m$ → en az bir serbest değişken → $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$. > *"More unknowns than equations, then there are some non-zero x's such that Ax is zero."* — Strang, 2:15 Bu, "$m$ boyutlu uzayda $m$'den fazla vektör daima bağımlıdır" sonucunu getirecek. ## Lineer Bağımsızlık {#sec-bagimsizlik} $\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n$ **bağımsızdır** $\iff$ $$ c_1 \mathbf{x}_1 + \cdots + c_n \mathbf{x}_n = \mathbf{0} \implies c_1 = \cdots = c_n = 0 $$ Sıfırı elde etmenin **tek yolu** her şeyi 0 ile çarpmak. **Örnekler:** - $\mathbf{v}$ ve $2\mathbf{v}$: bağımlı ($2\mathbf{v} - 1 \cdot (2\mathbf{v}) = \mathbf{0}$). - İçinde $\mathbf{0}$ olan her küme bağımlı ($0 \cdot \mathbf{v} + 5 \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$). - $\mathbb{R}^2$'de 3 vektör: her zaman bağımlı ($n > m$). ## Matris Dili — Bağımsızlık ⟺ $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ {#sec-matris-dili} Vektörleri $A$'nın kolonları yap. Kombinasyon = $A\mathbf{c}$. Dolayısıyla: $$ \text{kolonlar bağımsız} \iff N(A) = \{\mathbf{0}\} \iff r = n $$ > *"The columns are independent if the null space of A is the zero vector."* — Strang, 14:30 Kare matris için: bağımsız $\iff$ tersinir. **Builder Notu:** `np.linalg.matrix_rank(A) == n` → kolonlar bağımsız. Bağımlı kolonlar $A^T A$'yı tekilleştirir → regresyon kütüphaneleri ya kolonu atar ya da **ridge** ($\lambda I$ ekleyerek) by-pass eder. ## Span {#sec-span} $$ \text{span}(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_l) = \{c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_l \mathbf{v}_l : c_i \in \mathbb{R}\} $$ Vektörleri içeren **en küçük** alt-uzay. Bir matrisin kolonları $C(A)$'yı spanlar. Span ve bağımsızlık birbirinden bağımsız özellikler: spanlamak için yeterli, bağımlı olabilir; ya da bağımsız olabilir, spanlamaz. **Baz** ikisini birden ister. ## Baz (Basis) {#sec-baz} Bir uzayın **bazı**: aynı anda 1. **Bağımsız** (fazla vektör yok). 2. **Spanlayan** (eksik vektör yok). > *"A basis is a sequence of vectors with two properties: they are independent, and they span the space."* — Strang, 22:14 $\mathbb{R}^3$ standart bazı: $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ → birim matris. **Test:** $\mathbb{R}^n$'de $n$ vektör baz $\iff$ kolon yapan $n \times n$ matris tersinir. ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Baz = Koordinat Sistemi"} Baz seçimi = koordinat sistemi seçimi. Aynı embedding'i PCA bazında, Fourier modlarında, wavelet'lerde göstermek aynı bilgiyi farklı eksenlerde sunar. **PCA** verinin en çok değiştiği yönleri baz yapar; sıkıştırmanın özü budur (Ders 31 baz değişimi). ::: ## Baz Tek Değil — Ama Boyut Sabit {#sec-baz-bagiz} $\mathbb{R}^3$ için sonsuz baz var (her tersinir $3 \times 3$). Ama her bazda tam **3** vektör. > *"There are many, many bases, but they all have the same number of vectors."* — Strang, 34:18 **Sezgi:** Az vektörle spanlayamazsın (boşluk kalır); çok vektörle bağımsız olamazsın (tekrar olur). "Tam doğru" sayı = **boyut**. ## Boyut {#sec-boyut} $$ \dim(\text{uzay}) = \text{bir bazdaki vektör sayısı} $$ - $\dim \mathbb{R}^n = n$. - $\mathbb{R}^3$'te düzlem $\to 2$, doğru $\to 1$, $\{\mathbf{0}\} \to 0$. **Boyut uzayın özelliğidir, matrisin değil.** "Alt-uzayın boyutu" → evet. "Matrisin boyutu" → yok. ## Temel Teorem — rank-nullity {#sec-temel-teorem} $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$ Pivot kolonlar 1 ve 2; kolon 3 = 1 + 2, kolon 4 = kolon 1. **(1) $\dim C(A) = r$.** Pivot kolonlar $C(A)$ için baz oluşturur. **(2) $\dim N(A) = n - r$.** Özel çözümler $N(A)$ için baz. $$ \boxed{\dim C(A) + \dim N(A) = r + (n - r) = n} $$ **Rank-nullity teoremi** — Ders 7'deki sezginin tam ispatı. ```{python} #| label: code-rank-nullity #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]], dtype=float) r = np.linalg.matrix_rank(A) n = A.shape[1] print(f"rank = dim C(A) = {r}") print(f"dim N(A) = n - r = {n - r}") print(f"rank-nullity: r + (n-r) = {r + (n-r)} == n = {n}") ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Boyut Muhasebesi"} $\dim C(A) = r$ = etkin boyut (`matrix_rank`); $\dim N(A) = n - r$ = fazlalık. Bir lineer katmanın "kaç boyut taşıdığı + kaç boyut yuttuğu = girdi boyutu" muhasebesidir; **LoRA, PCA** düşük-rank yaklaşımlar bunu sömürür. ::: ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **$n > m$ ⟹ $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$**. 2. **Bağımsızlık** — hiçbir sıfır-olmayan kombinasyon $\mathbf{0}$ vermez. 3. **Matris dili** — bağımsız $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff r = n$. 4. **Span**, **baz** (bağımsız + spanlayan), **boyut** (baz vektör sayısı). 5. **Rⁿ'de n vektör baz** $\iff$ kare matris tersinir. 6. **dim C(A) = $r$**, **dim N(A) = $n - r$**. 7. **Rank-nullity:** $r + (n - r) = n$. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Baz** = bağımsızlık + spanlama (ne eksik, ne fazla); **boyut** = baz vektör sayısı. Bir matris için **$\dim C(A) = r$**, **$\dim N(A) = n - r$** — lineer cebrin boyut muhasebesinin kalbi. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: (1,1,0), (0,1,1), (1,0,-1) bağımsız mı?"} $1 \cdot (1,1,0) - 1 \cdot (0,1,1) = (1, 0, -1)$ = 3. vektör. Yani: $$ \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} $$ **Bağımlı.** Matris tekil, rank 2, $\mathbb{R}^3$ spanlamaz. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: A = ((1,2,3),(2,4,1),(3,6,4)) için C(A) bazı ve boyutu."} $\mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1$ → bağımlı. $\mathbf{c}_3$ bağımsız. Pivot kolonlar 1 ve 3: $$ \text{baz} = \{(1, 2, 3)^T, (3, 1, 4)^T\}, \quad \dim C(A) = r = 2 $$ $\mathbb{R}^3$ içinde bir düzlem. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Boyut 3 olan uzayda 3 bağımsız vektör — otomatik baz mı?"} **Evet.** Spanlamasalardı, span dışından bir vektör eklenip 4 bağımsız vektör elde edilirdi; ama 3 boyutta 4 bağımsız vektör olamaz → çelişki → spanlar. **Kural:** Doğru sayıda ($=$ boyut) vektör varsa, "bağımsızlık" ile "spanlama" birbirini getirir — sadece birini kontrol et. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Bağımlı özellikler regresyonda ne sorun çıkarır?"} $C(A)$ boyutu $< n$, $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$: - **$A^T A$ tekil** → normal denklemler $(A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}$ → tek çözüm yok; katsayılar belirsiz. - Bir özelliğin ağırlığını artırıp diğerininkini azaltarak aynı tahmin → null yönleri. - **Çözümler:** bağımlı kolonu at, ya da **ridge** ($\lambda I$ ekle) ile $A^T A + \lambda I$'yı tersinir yap, ya da **PCA** ile bağımsız baza geç. İçsel boyut (rank) kaç bağımsız özelliğin olduğunu söyler. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $(1, 2, 3)$, $(1, 0, 1)$, $(1, 4, 5)$ bağımsız mı? Matrise koy, rank bul. **Egzersiz 2.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ → $C(A)$ ve $N(A)$ için baz ve boyut. Rank-nullity'yi doğrula. **Egzersiz 3.** $\mathbb{R}^4$'te 5 vektör bağımsız olabilir mi? 3 vektör $\mathbb{R}^4$'ü spanlayabilir mi? (Boyut argümanı.) **Egzersiz 4.** *(Python)* Rank-nullity'yi farklı matrislerde doğrula. **Egzersiz 5.** *İspatla:* $n \times n$ matris tersinir $\iff$ kolonları $\mathbb{R}^n$ için baz. (İpucu: tersinir $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff$ bağımsız; $n$ bağımsız vektör $\mathbb{R}^n$'i spanlar.) ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 10: Dört Temel Alt-Uzay** Bir matrisin **dört** alt-uzayı: - $C(A) \subset \mathbb{R}^m$, boyut $r$ - $N(A) \subset \mathbb{R}^n$, boyut $n - r$ - $C(A^T) \subset \mathbb{R}^n$, boyut $r$ (satır uzayı) - $N(A^T) \subset \mathbb{R}^m$, boyut $m - r$ (sol null) ::: {.callout-warning title="Ders 10 öncesi"} - Egzersizleri çöz, özellikle 5 (tersinir $\iff$ baz). - `matrix_rank` ile rank-nullity'yi birkaç matriste doğrula. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **$n > m$ gerçeği** | Kolon > satır → null boş değil | 2m15 | | **Bağımsızlık** | Hiçbir non-zero komb. = $\mathbf{0}$ | 6m06 | | **Matris dili** | Bağımsız $\iff N(A) = \{\mathbf{0}\}$ $\iff r = n$ | 14m30 | | **Span** | Tüm kombinasyonlar | 19m24 | | **Baz** | Bağımsız + spanlayan | 22m14 | | **Baz ⟺ tersinir** | Rⁿ'de $n$ vektör baz $\iff$ kare tersinir | 30m06 | | **Baz sayısı sabit** | Tüm bazlar aynı boyutta | 34m18 | | **Boyut** | Bazdaki vektör sayısı | 36m33 | | **$\dim C(A) = r$** | Pivot kolonlar = $C(A)$ bazı | 41m55 | | **$\dim N(A) = n - r$** | Özel çözümler = $N(A)$ bazı | 49m09 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Bağımsızlık = multicollinearity yokluğu** → $A^T A$ tersinir, katsayılar belirli. 2. **Baz = koordinat sistemi** → PCA, Fourier, wavelet, öğrenilmiş embedding. 3. **Boyut = içsel boyut** → Manifold hipotezi. 4. **rank = $\dim C(A)$ = etkin boyut** → `matrix_rank`; veri/ağırlığın gerçek bilgisi. 5. **Span = erişilebilir uzay** → $C(W)$. 6. **Rank-nullity** → Parametre muhasebesi: taşınan + yutulan = girdi. 7. **Düşük rank = sıkıştırma** → $\dim C(A) \ll n$ → LoRA, PCA. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Baz**, bir uzayı tam doğru sayıda bağımsız vektörle tanımlar; **boyut** bu sayıdır, seçilen baza bağlı değildir. Bir matris için **$\dim C(A) = r$**, **$\dim N(A) = n - r$** — boyut muhasebesinin kalbi. :::

10 Lineer Bağımsızlık, Baz ve Boyut

10.1 Bu Derste Ne Var?

10.2 \(n > m\) ⟹ Null Uzayı Boş Değil

10.3 Lineer Bağımsızlık

10.4 Matris Dili — Bağımsızlık ⟺ \(N(A) = \{\mathbf{0}\}\)

10.5 Span

10.6 Baz (Basis)

10.7 Baz Tek Değil — Ama Boyut Sabit

10.8 Boyut

10.9 Temel Teorem — rank-nullity

10.10 Bu Dersin Özeti

10.11 Kontrol Soruları

10.12 Egzersizler

10.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

10.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

10.15 ML Bağlantıları Özeti