11 Dört Temel Alt-Uzay

Bir matrisin tam geometrisi — C(A), N(A), C(Aᵀ), N(Aᵀ)

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 10: The Four Fundamental Subspaces (≈50 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 10
Okuma süresi: ≈40 dk

11.1 Bu Derste Ne Var?

“This is the heart of this approach to linear algebra, to see these four subspaces.” — Strang, 4:44

Her $m \times n$ matris dört temel alt-uzay doğurur:

$C(A)$ — kolon uzayı, $\mathbb{R}^m$, boyut $r$.
$N(A)$ — null uzayı, $\mathbb{R}^n$, boyut $n - r$.
$C(A^T)$ — satır uzayı, $\mathbb{R}^n$, boyut $r$.
$N(A^T)$ — sol null uzayı, $\mathbb{R}^m$, boyut $m - r$.

Harika gerçek: satır rank = kolon rank = $r$.

flowchart LR
    subgraph RN["Girdi uzayı R^n"]
        ROW["C(Aᵀ) satır uzayı<br/>boyut r"]
        NA["N(A) null<br/>boyut n - r"]
    end

    subgraph RM["Çıktı uzayı R^m"]
        COL["C(A) kolon uzayı<br/>boyut r"]
        LNULL["N(Aᵀ) sol null<br/>boyut m - r"]
    end

    ROW --> ML["⭐ r = ortak rank<br/>SVD, pseudoinverse,<br/>least squares"]
    COL --> ML

    style ROW fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style COL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px

flowchart LR
    subgraph RN["Girdi uzayı R^n"]
        ROW["C(Aᵀ) satır uzayı<br/>boyut r"]
        NA["N(A) null<br/>boyut n - r"]
    end

    subgraph RM["Çıktı uzayı R^m"]
        COL["C(A) kolon uzayı<br/>boyut r"]
        LNULL["N(Aᵀ) sol null<br/>boyut m - r"]
    end

    ROW --> ML["⭐ r = ortak rank<br/>SVD, pseudoinverse,<br/>least squares"]
    COL --> ML

    style ROW fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style COL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px

Şekil 11.1: Dört alt-uzay: girdi R^n (satır + null), çıktı R^m (kolon + sol null). Boyut toplamları n ve m.

Builder Notu — Dört Alt-Uzay = Dönüşüm Geometrisi

Satır uzayı = etkin girdi yönleri; null = yutulan. $\mathbf{x} = \mathbf{x}_{\text{row}} + \mathbf{x}_{\text{null}}$, $A\mathbf{x}$ sadece satır bileşenine bağlı.
Kolon uzayı = erişilen çıktı yönleri; sol null = least squares artıkları.
Satır rank = kolon rank → SVD’de tek bir $r$.
Matris uzayları → ağırlık tensörleri için soyut temel.

11.2 Dört Alt-Uzay — Yaşadıkları Uzaylar

Hangi büyük uzayda yaşarlar?

Alt-uzay	Uzay	Boyut
$C(A)$	$\mathbb{R}^m$	$r$
$C(A^T)$	$\mathbb{R}^n$	$r$
$N(A)$	$\mathbb{R}^n$	$n - r$
$N(A^T)$	$\mathbb{R}^m$	$m - r$

İki toplam:

\[ \dim C(A^T) + \dim N(A) = r + (n-r) = n \]

\[ \dim C(A) + \dim N(A^T) = r + (m-r) = m \]

$\mathbb{R}^n$ satır + null’a, $\mathbb{R}^m$ kolon + sol null’a bölünür.

11.3 Satır Uzayı $C(A^T)$

Satırlar yatay, kolonlar dikey. Çözüm: transpoze et. A’nın satırları $A^T$’nin kolonları olur:

\[ \text{satır uzayı} = C(A^T) \]

“We just got some vectors that were lying down to stand up.” — Strang, 6:55

Builder Notu: Girdi tarafındaki “etkin” alt-uzay. $\mathbf{x}$ = satır uzayı bileşeni + null uzayı bileşeni; $A\mathbf{x}$ sadece satır bileşenine bağlı. SVD ve pseudoinverse’in geometrik temeli.

11.4 Sol Null Uzayı $N(A^T)$

\[ N(A^T) = \{\mathbf{y} : A^T \mathbf{y} = \mathbf{0}\} \]

Neden “sol”? $A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}$ → transpoz al → $\mathbf{y}^T A = \mathbf{0}^T$. $\mathbf{y}$ satır vektörü olarak $A$’yı soldan çarpıyor.

Sezgi: $A$’nın satırlarının hangi kombinasyonu sıfır satır verir.

11.5 Satır Rank = Kolon Rank — Harika Gerçek ⭐

\[ \dim C(A) = \dim C(A^T) = r \]

“The row space and the column space have the same dimension. That’s a wonderful fact.” — Strang, 15:06

Bariz değil! 1000 kolon, 3 satır → bağımsız kolon en fazla 3.

Pratik kestirme: Strang’in Ders 9 örneğinde $(1,1,2), (2,2,5), (3,3,8)$ — iki satırı eşit ($r_1 = r_3$). Satır rank $\leq 2$ → kolon rank $= 2$ → üç kolon bağımlı.

11.6 Bazlar — Satır, Sol Null

Satır uzayı bazı: rref $R$’nin sıfır-olmayan satırları (ilk $r$).

Örnek:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Satır uzayı bazı: $(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0)$.

Neden işe yarar? Satır işlemleri satır uzayını korur (kolon uzayını değiştirir!). $A$’nın satırları $R$’nin satırlarının kombinasyonu, ve tersi → iki satır uzayı özdeş.

Sol null uzayı bazı: Gauss-Jordan ile $[A \mid I] \to [R \mid E]$, yani $EA = R$.

import numpy as np
from scipy.linalg import null_space

A = np.array([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]], dtype=float)
m, n = A.shape
r = np.linalg.matrix_rank(A)

print(f"dim C(A)   = {r}")
print(f"dim C(Aᵀ) = {r}  (satır = kolon rank)")
print(f"dim N(A)   = {n - r}")
print(f"dim N(Aᵀ) = {m - r}")

# Sol null uzayı = A^T'nin null uzayı
print("sol null uzayı bazı:\n", null_space(A.T))

$R$’nin son satırı sıfırdı (bağımlı satır 3). $EA = R$’nin son $m - r$ satırı, $A$’nın satırlarının sıfır veren kombinasyonunu söyler.

11.7 İki Çift — $\mathbb{R}^n$ ve $\mathbb{R}^m$ Bölünmesi

Girdi tarafı:

\[ \mathbb{R}^n = C(A^T) \oplus N(A), \quad \text{boyutlar } r + (n-r) = n \]

Çıktı tarafı:

\[ \mathbb{R}^m = C(A) \oplus N(A^T), \quad \text{boyutlar } r + (m-r) = m \]

Bu çiftler birbirine dik olacak (Ders 14).

Builder Notu — Least Squares ve SVD

Least squares (Ders 16): $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ = kolon bileşeni (erişilebilir) + sol null bileşeni (artık). Least squares sol null’u atıp $C(A)$ üzerine izdüşümünü çözer.

SVD (Ders 29): Dört alt-uzaya ortonormal bazlar üretir; $r$ tekil değer = ortak rank. Dört alt-uzay = dönüşümün tüm geometrisi; SVD = onun sayısal/ortonormal hâli.

11.8 Matris Uzayları

Şimdiye dek vektörler $\mathbb{R}^n$’deydi. Ama matrisler de vektör: toplayabilir, sayıyla çarpabilir, kombinasyon alabilirsin.

$3 \times 3$ matrisler uzayı $M$: 9 bağımsız giriş → $\dim M = 9$.

Alt-uzaylar:

Üst üçgensel: $3 + 3 = 6$ (köşegen + üst).
Simetrik: $3 + 3 = 6$ (köşegen + üst, alt yansır).
Diagonal: sadece köşegen = 3.

Kesişim: simetrik $\cap$ üst üçgensel = diagonal (Ders 6 kesişim kuralı).

Builder Notu: Bir ağın tüm ağırlıkları dev bir vektör uzayında nokta; yapısal kısıtlar (simetrik, düşük-rank, seyrek, blok) alt-uzaylar. Tensörler çok-boyutlu uzantı.

11.9 Bu Dersin Özeti

Dört temel alt-uzay.
Satır = $C(A^T)$, sol null = $N(A^T)$.
Boyutlar: $r, r, n-r, m-r$.
Satır rank = kolon rank = $r$.
Satır bazı = rref’in sıfır-olmayan satırları.
Sol null bazı = $E$’nin son $m - r$ satırı ($[A \mid I] \to [R \mid E]$).
İki çift: $\mathbb{R}^n = C(A^T) + N(A)$, $\mathbb{R}^m = C(A) + N(A^T)$.
Matris uzayları ve alt-uzayları.

Tek bir cümle

Her matris dört temel alt-uzay doğurur; girdi $\mathbb{R}^n$ ve çıktı $\mathbb{R}^m$ ikişer parçaya bölünür. Satır rank = kolon rank = $r$ — bir lineer dönüşümün tüm geometrisinin (SVD’den least squares’e) kodu.

11.10 Kontrol Soruları

Soru 1: 4×6 matris, rank 3. Dört alt-uzayın boyutu ve uzayı?

$m = 4, n = 6, r = 3$.

$C(A)$: $\mathbb{R}^4$, boyut 3.
$C(A^T)$: $\mathbb{R}^6$, boyut 3.
$N(A)$: $\mathbb{R}^6$, boyut $6 - 3 = 3$.
$N(A^T)$: $\mathbb{R}^4$, boyut $4 - 3 = 1$.

Kontrol: $\mathbb{R}^6 = 3 + 3 \checkmark$; $\mathbb{R}^4 = 3 + 1 \checkmark$.

Soru 2: A = ((1,2,1),(2,4,3),(1,2,2)) için satır uzayı bazı.

rref: $r_2 - 2r_1 = (0, 0, 1)$, $r_3 - r_1 = (0, 0, 1)$, $r_3 - r_2 = 0$. Pivot üstünü temizle:

\[ R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Satır uzayı bazı: $(1, 2, 0), (0, 0, 1)$. dim = $r = 2$.

Soru 3: Satır operasyonları satır mı kolon uzayını mı korur?

Satır uzayını korur, kolon uzayını DEĞİL.

Satır işlemi satırların kombinasyonu → satır uzayında.
Kolon uzayı değişir. Örnek: A’da $(1,1,1)$ kolon uzayında olabilir, R’de değil.

Rank ikisinde de aynı kalır ($r$), ama kolon uzayının kendisi değişir. Kolon uzayı bazı için $A$’nın pivot kolonlarını alırız, $R$’ninkileri değil.

Soru 4: Dört alt-uzay → least squares → SVD bağı.

Least squares: $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ = $C(A)$ bileşeni + $N(A^T)$ bileşeni (artık). LS, sol null’u atıp $C(A)$ üzerine izdüşümünü çözer.

SVD: Dört alt-uzaya ortonormal bazlar:

Sağ tekil vektörler $V$ → satır uzayı + null.
Sol tekil vektörler $U$ → kolon uzayı + sol null.
$r$ tekil değer = ortak rank.

Dört alt-uzay = dönüşüm geometrisi; SVD = onun sayısal hali. Düşük-rank yaklaşım, PCA, pseudoinverse hepsi buradan.

11.11 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ — dört alt-uzayın boyutları.

Egzersiz 2. Aynı $A$ için satır uzayı, null, sol null için baz.

Egzersiz 3. Kare ($n \times n$) tersinir matris — dört alt-uzay nedir? ($r = n$.)

Egzersiz 4. (Python) null_space(A.T) ile sol null’u çıkar.

Egzersiz 5. İspatla: $C(A^T) \cap N(A) = \{\mathbf{0}\}$. (İpucu: $\mathbf{x}$ ikisinde de ise $\mathbf{x} = A^T \mathbf{z}$ ve $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{x}^T \mathbf{x} = ?$.) Bu, Ders 14 ortogonallik habercisi.

11.12 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 11: Matris Uzayları, Rank 1 ve Küçük Dünya Grafikleri

Matris alt-uzayları için tam sayım.
Rank 1 matrisler ($\mathbf{u} \mathbf{v}^T$) — her matrisin yapı taşı; SVD ve LoRA çekirdeği.
Küçük dünya grafikleri (Ders 12 geçişi).

Ders 11 öncesi

Egzersiz 5 (ortogonallik habercisi) kritik.
null_space(A.T) ile sol null’u birkaç matriste çıkar.

11.13 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
Dört alt-uzay	$C, N, C^T, N^T$	4m27
Satır uzayı	$C(A^T)$, $\mathbb{R}^n$, boyut $r$	6m01
Sol null	$N(A^T)$, $\mathbb{R}^m$, boyut $m-r$	7m15
Satır = kolon rank	$\dim C(A) = \dim C(A^T) = r$	15m06
Satır bazı	rref’in sıfır-olmayan satırları	26m15
Sol null bazı	$E$’nin son $m-r$ satırı	40m52
İki çift	$\mathbb{R}^n = C(A^T) + N(A)$; $\mathbb{R}^m = C(A) + N(A^T)$	42m15
Matris uzayı	$3 \times 3$ → dim 9; alt-uzaylar	43m31

11.14 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Dört alt-uzay = SVD geometrisi.
Satır = kolon rank → SVD’de tek $r$; ağırlık matrisinin etkin kapasitesi.
Sol null = LS artıkları → Erişilemeyen çıktı yönleri.
Satır + null = girdi ayrışımı → Etkin + yutulan; $A\mathbf{x}$ sadece etkin parçaya.
Rank-nullity iki uzayda → Parametre/boyut muhasebesi.
Matris uzayları = parametre uzayı → Ağ ağırlıkları nokta; yapısal kısıtlar alt-uzaylar.
Dört alt-uzay → pseudoinverse $A^+$ → Satır’ı kolon’a birebir eşler, null’ları yok sayar (Ders 33).

Tek bir şey alıp gideceksen

Her matris dört temel alt-uzay üretir; girdi $\mathbb{R}^n$ ve çıktı $\mathbb{R}^m$ ikişer parçaya bölünür. Satır = kolon rank = $r$ — bir lineer dönüşümün tüm geometrisini kodlar (SVD, LS, pseudoinverse).

--- title: "Dört Temel Alt-Uzay" subtitle: "Bir matrisin tam geometrisi — C(A), N(A), C(Aᵀ), N(Aᵀ)" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 10: The Four Fundamental Subspaces](https://www.youtube.com/watch?v=nHlE7EgJFds) (≈50 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 10](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/the-four-fundamental-subspaces/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} > *"This is the heart of this approach to linear algebra, to see these four subspaces."* — Strang, 4:44 Her $m \times n$ matris **dört temel alt-uzay** doğurur: 1. **$C(A)$** — kolon uzayı, $\mathbb{R}^m$, boyut $r$. 2. **$N(A)$** — null uzayı, $\mathbb{R}^n$, boyut $n - r$. 3. **$C(A^T)$** — satır uzayı, $\mathbb{R}^n$, boyut $r$. 4. **$N(A^T)$** — sol null uzayı, $\mathbb{R}^m$, boyut $m - r$. **Harika gerçek:** satır rank = kolon rank = $r$. ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Dört alt-uzay: girdi R^n (satır + null), çıktı R^m (kolon + sol null). Boyut toplamları n ve m." flowchart LR subgraph RN["Girdi uzayı R^n"] ROW["C(Aᵀ) satır uzayı boyut r"] NA["N(A) null boyut n - r"] end subgraph RM["Çıktı uzayı R^m"] COL["C(A) kolon uzayı boyut r"] LNULL["N(Aᵀ) sol null boyut m - r"] end ROW --> ML["⭐ r = ortak rank SVD, pseudoinverse, least squares"] COL --> ML style ROW fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px style COL fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px style ML fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:3px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Dört Alt-Uzay = Dönüşüm Geometrisi"} - **Satır uzayı = etkin girdi yönleri**; null = yutulan. $\mathbf{x} = \mathbf{x}_{\text{row}} + \mathbf{x}_{\text{null}}$, $A\mathbf{x}$ sadece satır bileşenine bağlı. - **Kolon uzayı = erişilen çıktı yönleri**; sol null = least squares **artıkları**. - **Satır rank = kolon rank** → SVD'de tek bir $r$. - **Matris uzayları** → ağırlık tensörleri için soyut temel. ::: ## Dört Alt-Uzay — Yaşadıkları Uzaylar {#sec-dort-uzay} Hangi büyük uzayda yaşarlar? | Alt-uzay | Uzay | Boyut | |----------|------|-------| | $C(A)$ | $\mathbb{R}^m$ | $r$ | | $C(A^T)$ | $\mathbb{R}^n$ | $r$ | | $N(A)$ | $\mathbb{R}^n$ | $n - r$ | | $N(A^T)$ | $\mathbb{R}^m$ | $m - r$ | **İki toplam:** $$ \dim C(A^T) + \dim N(A) = r + (n-r) = n $$ $$ \dim C(A) + \dim N(A^T) = r + (m-r) = m $$ $\mathbb{R}^n$ satır + null'a, $\mathbb{R}^m$ kolon + sol null'a bölünür. ## Satır Uzayı $C(A^T)$ {#sec-satir-uzayi} Satırlar yatay, kolonlar dikey. Çözüm: **transpoze et**. A'nın satırları $A^T$'nin kolonları olur: $$ \text{satır uzayı} = C(A^T) $$ > *"We just got some vectors that were lying down to stand up."* — Strang, 6:55 **Builder Notu:** Girdi tarafındaki "etkin" alt-uzay. $\mathbf{x}$ = satır uzayı bileşeni + null uzayı bileşeni; $A\mathbf{x}$ sadece satır bileşenine bağlı. **SVD ve pseudoinverse**'in geometrik temeli. ## Sol Null Uzayı $N(A^T)$ {#sec-sol-null} $$ N(A^T) = \{\mathbf{y} : A^T \mathbf{y} = \mathbf{0}\} $$ Neden "sol"? $A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}$ → transpoz al → $\mathbf{y}^T A = \mathbf{0}^T$. $\mathbf{y}$ satır vektörü olarak $A$'yı **soldan** çarpıyor. Sezgi: $A$'nın satırlarının hangi kombinasyonu sıfır satır verir. ## Satır Rank = Kolon Rank — Harika Gerçek ⭐ {#sec-satir-kolon-rank} $$ \dim C(A) = \dim C(A^T) = r $$ > *"The row space and the column space have the same dimension. That's a wonderful fact."* — Strang, 15:06 Bariz değil! 1000 kolon, 3 satır → bağımsız kolon en fazla 3. **Pratik kestirme:** Strang'in Ders 9 örneğinde $(1,1,2), (2,2,5), (3,3,8)$ — iki satırı eşit ($r_1 = r_3$). Satır rank $\leq 2$ → kolon rank $= 2$ → üç kolon bağımlı. ## Bazlar — Satır, Sol Null {#sec-bazlar} **Satır uzayı bazı:** rref $R$'nin sıfır-olmayan satırları (ilk $r$). Örnek: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Satır uzayı bazı: $(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0)$. **Neden işe yarar?** Satır işlemleri **satır uzayını korur** (kolon uzayını **değiştirir**!). $A$'nın satırları $R$'nin satırlarının kombinasyonu, ve tersi → iki satır uzayı özdeş. **Sol null uzayı bazı:** Gauss-Jordan ile $[A \mid I] \to [R \mid E]$, yani $EA = R$. ```{python} #| label: code-sol-null #| code-fold: false import numpy as np from scipy.linalg import null_space A = np.array([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]], dtype=float) m, n = A.shape r = np.linalg.matrix_rank(A) print(f"dim C(A) = {r}") print(f"dim C(Aᵀ) = {r} (satır = kolon rank)") print(f"dim N(A) = {n - r}") print(f"dim N(Aᵀ) = {m - r}") # Sol null uzayı = A^T'nin null uzayı print("sol null uzayı bazı:\n", null_space(A.T)) ``` $R$'nin son satırı sıfırdı (bağımlı satır 3). $EA = R$'nin son $m - r$ satırı, $A$'nın satırlarının sıfır veren kombinasyonunu söyler. ## İki Çift — $\mathbb{R}^n$ ve $\mathbb{R}^m$ Bölünmesi {#sec-iki-cift} **Girdi tarafı:** $$ \mathbb{R}^n = C(A^T) \oplus N(A), \quad \text{boyutlar } r + (n-r) = n $$ **Çıktı tarafı:** $$ \mathbb{R}^m = C(A) \oplus N(A^T), \quad \text{boyutlar } r + (m-r) = m $$ Bu çiftler **birbirine dik** olacak (Ders 14). ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Least Squares ve SVD"} **Least squares (Ders 16):** $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ = kolon bileşeni (erişilebilir) + sol null bileşeni (artık). Least squares sol null'u atıp $C(A)$ üzerine izdüşümünü çözer. **SVD (Ders 29):** Dört alt-uzaya **ortonormal bazlar** üretir; $r$ tekil değer = ortak rank. Dört alt-uzay = dönüşümün tüm geometrisi; SVD = onun sayısal/ortonormal hâli. ::: ## Matris Uzayları {#sec-matris-uzaylari} Şimdiye dek vektörler $\mathbb{R}^n$'deydi. Ama **matrisler de vektör**: toplayabilir, sayıyla çarpabilir, kombinasyon alabilirsin. $3 \times 3$ matrisler uzayı $M$: 9 bağımsız giriş → $\dim M = 9$. **Alt-uzaylar:** - Üst üçgensel: $3 + 3 = 6$ (köşegen + üst). - Simetrik: $3 + 3 = 6$ (köşegen + üst, alt yansır). - Diagonal: sadece köşegen = **3**. **Kesişim:** simetrik $\cap$ üst üçgensel = diagonal (Ders 6 kesişim kuralı). **Builder Notu:** Bir ağın tüm ağırlıkları dev bir vektör uzayında nokta; yapısal kısıtlar (simetrik, düşük-rank, seyrek, blok) alt-uzaylar. **Tensörler** çok-boyutlu uzantı. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Dört temel alt-uzay**. 2. **Satır = $C(A^T)$**, **sol null = $N(A^T)$**. 3. **Boyutlar:** $r, r, n-r, m-r$. 4. **Satır rank = kolon rank = $r$**. 5. **Satır bazı** = rref'in sıfır-olmayan satırları. 6. **Sol null bazı** = $E$'nin son $m - r$ satırı ($[A \mid I] \to [R \mid E]$). 7. **İki çift**: $\mathbb{R}^n = C(A^T) + N(A)$, $\mathbb{R}^m = C(A) + N(A^T)$. 8. **Matris uzayları** ve alt-uzayları. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Her matris dört temel alt-uzay doğurur; girdi $\mathbb{R}^n$ ve çıktı $\mathbb{R}^m$ ikişer parçaya bölünür. **Satır rank = kolon rank = $r$** — bir lineer dönüşümün tüm geometrisinin (SVD'den least squares'e) kodu. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: 4×6 matris, rank 3. Dört alt-uzayın boyutu ve uzayı?"} $m = 4, n = 6, r = 3$. - $C(A)$: $\mathbb{R}^4$, boyut **3**. - $C(A^T)$: $\mathbb{R}^6$, boyut **3**. - $N(A)$: $\mathbb{R}^6$, boyut $6 - 3 = 3$. - $N(A^T)$: $\mathbb{R}^4$, boyut $4 - 3 = 1$. Kontrol: $\mathbb{R}^6 = 3 + 3 \checkmark$; $\mathbb{R}^4 = 3 + 1 \checkmark$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: A = ((1,2,1),(2,4,3),(1,2,2)) için satır uzayı bazı."} rref: $r_2 - 2r_1 = (0, 0, 1)$, $r_3 - r_1 = (0, 0, 1)$, $r_3 - r_2 = 0$. Pivot üstünü temizle: $$ R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Satır uzayı bazı: $(1, 2, 0), (0, 0, 1)$. dim = $r = 2$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: Satır operasyonları satır mı kolon uzayını mı korur?"} **Satır uzayını korur, kolon uzayını DEĞİL.** - Satır işlemi satırların kombinasyonu → satır uzayında. - Kolon uzayı değişir. Örnek: A'da $(1,1,1)$ kolon uzayında olabilir, R'de değil. **Rank ikisinde de aynı kalır** ($r$), ama kolon uzayının **kendisi** değişir. Kolon uzayı bazı için **$A$'nın** pivot kolonlarını alırız, $R$'ninkileri değil. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Dört alt-uzay → least squares → SVD bağı."} **Least squares:** $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ = $C(A)$ bileşeni + $N(A^T)$ bileşeni (artık). LS, sol null'u atıp $C(A)$ üzerine izdüşümünü çözer. **SVD:** Dört alt-uzaya ortonormal bazlar: - Sağ tekil vektörler $V$ → satır uzayı + null. - Sol tekil vektörler $U$ → kolon uzayı + sol null. - $r$ tekil değer = ortak rank. Dört alt-uzay = dönüşüm geometrisi; SVD = onun sayısal hali. Düşük-rank yaklaşım, PCA, pseudoinverse hepsi buradan. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ — dört alt-uzayın boyutları. **Egzersiz 2.** Aynı $A$ için satır uzayı, null, sol null için baz. **Egzersiz 3.** Kare ($n \times n$) tersinir matris — dört alt-uzay nedir? ($r = n$.) **Egzersiz 4.** *(Python)* `null_space(A.T)` ile sol null'u çıkar. **Egzersiz 5.** *İspatla:* $C(A^T) \cap N(A) = \{\mathbf{0}\}$. (İpucu: $\mathbf{x}$ ikisinde de ise $\mathbf{x} = A^T \mathbf{z}$ ve $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{x}^T \mathbf{x} = ?$.) Bu, Ders 14 **ortogonallik** habercisi. ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 11: Matris Uzayları, Rank 1 ve Küçük Dünya Grafikleri** - Matris alt-uzayları için tam sayım. - **Rank 1 matrisler** ($\mathbf{u} \mathbf{v}^T$) — her matrisin yapı taşı; SVD ve LoRA çekirdeği. - Küçük dünya grafikleri (Ders 12 geçişi). ::: {.callout-warning title="Ders 11 öncesi"} - Egzersiz 5 (ortogonallik habercisi) kritik. - `null_space(A.T)` ile sol null'u birkaç matriste çıkar. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **Dört alt-uzay** | $C, N, C^T, N^T$ | 4m27 | | **Satır uzayı** | $C(A^T)$, $\mathbb{R}^n$, boyut $r$ | 6m01 | | **Sol null** | $N(A^T)$, $\mathbb{R}^m$, boyut $m-r$ | 7m15 | | **Satır = kolon rank** | $\dim C(A) = \dim C(A^T) = r$ | 15m06 | | **Satır bazı** | rref'in sıfır-olmayan satırları | 26m15 | | **Sol null bazı** | $E$'nin son $m-r$ satırı | 40m52 | | **İki çift** | $\mathbb{R}^n = C(A^T) + N(A)$; $\mathbb{R}^m = C(A) + N(A^T)$ | 42m15 | | **Matris uzayı** | $3 \times 3$ → dim 9; alt-uzaylar | 43m31 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Dört alt-uzay = SVD geometrisi**. 2. **Satır = kolon rank** → SVD'de tek $r$; ağırlık matrisinin etkin kapasitesi. 3. **Sol null = LS artıkları** → Erişilemeyen çıktı yönleri. 4. **Satır + null = girdi ayrışımı** → Etkin + yutulan; $A\mathbf{x}$ sadece etkin parçaya. 5. **Rank-nullity iki uzayda** → Parametre/boyut muhasebesi. 6. **Matris uzayları = parametre uzayı** → Ağ ağırlıkları nokta; yapısal kısıtlar alt-uzaylar. 7. **Dört alt-uzay → pseudoinverse $A^+$** → Satır'ı kolon'a birebir eşler, null'ları yok sayar (Ders 33). ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Her matris dört temel alt-uzay üretir; girdi $\mathbb{R}^n$ ve çıktı $\mathbb{R}^m$ ikişer parçaya bölünür. **Satır = kolon rank = $r$** — bir lineer dönüşümün tüm geometrisini kodlar (SVD, LS, pseudoinverse). :::

Alt-uzay	Uzay	Boyut
\(C(A)\)	\(\mathbb{R}^m\)	\(r\)
\(C(A^T)\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(r\)
\(N(A)\)	\(\mathbb{R}^n\)	\(n - r\)
\(N(A^T)\)	\(\mathbb{R}^m\)	\(m - r\)

11 Dört Temel Alt-Uzay

11.1 Bu Derste Ne Var?

11.2 Dört Alt-Uzay — Yaşadıkları Uzaylar

11.3 Satır Uzayı \(C(A^T)\)

11.4 Sol Null Uzayı \(N(A^T)\)

11.5 Satır Rank = Kolon Rank — Harika Gerçek ⭐

11.6 Bazlar — Satır, Sol Null

11.7 İki Çift — \(\mathbb{R}^n\) ve \(\mathbb{R}^m\) Bölünmesi

11.8 Matris Uzayları

11.9 Bu Dersin Özeti

11.10 Kontrol Soruları

11.11 Egzersizler

11.12 Sonraki Ders İçin Hazırlık

11.13 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

11.14 ML Bağlantıları Özeti