22 Özdeğerler ve Özvektörler

Kursun zirvesi — Ax = λx, doğal eksenler

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 21: Eigenvalues and Eigenvectors (≈51 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 21
Okuma süresi: ≈40 dk

22.1 Bu Derste Ne Var?

Kursun zirvesi: özdeğer/özvektör — geri kalan derslerin çoğunu kaplar.

Özvektör: $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$.
Karakteristik denklem: $\det(A - \lambda I) = 0$.
$\sum \lambda = \text{trace}$, $\prod \lambda = \det$.
Üç tuzak: kompleks (rotasyon), tekrarlı, özvektör eksikliği.

“Ax is some multiple lambda of x — that’s our big equation.” — Strang, 2:36

flowchart LR
    EQ["A·x = λx"] --> CHAR["det(A - λI) = 0"]
    CHAR --> LAM["λ'lar"]
    LAM --> X["Her λ → null(A-λI) → x"]

    LAM --> TR["⭐ Σλ = trace<br/>Πλ = det"]
    LAM --> TRAPS["⚠ Tuzaklar:<br/>kompleks (rotasyon)<br/>tekrarlı / degenerate"]

    X --> PCA["PCA<br/>(simetrik kov)"]
    X --> RNN["RNN/dinamik<br/>(|λ| kararlılık)"]
    X --> RIDGE["Ridge<br/>(A+λI özdeğer kayar)"]

    style EQ fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style TR fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    EQ["A·x = λx"] --> CHAR["det(A - λI) = 0"]
    CHAR --> LAM["λ'lar"]
    LAM --> X["Her λ → null(A-λI) → x"]

    LAM --> TR["⭐ Σλ = trace<br/>Πλ = det"]
    LAM --> TRAPS["⚠ Tuzaklar:<br/>kompleks (rotasyon)<br/>tekrarlı / degenerate"]

    X --> PCA["PCA<br/>(simetrik kov)"]
    X --> RNN["RNN/dinamik<br/>(|λ| kararlılık)"]
    X --> RIDGE["Ridge<br/>(A+λI özdeğer kayar)"]

    style EQ fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style TR fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 22.1: Özdeğer = doğal eksen ölçeği. PCA, RNN kararlılığı, ridge regularization hepsi buradan.

Builder Notu — Özdeğer ML’in Belkemiği

PCA = kovaryans özvektörleri.
Spectral clustering / PageRank = graf matrisleri özvektörleri.
RNN/dinamik kararlılık = $|\lambda|$.
Trace = $\sum\lambda$, det = $\prod\lambda$ → log-det = $\sum \log \lambda$, etkin rank.
Simetrik → gerçel + ortogonal → PCA, kernel yöntemleri sağlam.

22.2 Ax = λx — Özvektör

$A\mathbf{x}$ genelde $\mathbf{x}$’ten farklı yönde. Bazı özel vektörler için aynı doğrultuda, sadece ölçeklenmiş:

\[ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \]

$\lambda$ pozitif/negatif/sıfır/kompleks olabilir. $n \times n$ matrisin (genelde) $n$ özdeğer/özvektörü vardır — matrisin doğal eksenleri.

22.3 λ = 0 ⟺ Singular

$\lambda = 0$ → $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{x} \in N(A)$.

\[ \lambda = 0 \text{ özdeğer} \iff A \text{ singular} \]

Builder Notu: Graph Laplacian sıfır özdeğeri (Ders 12); sayısı = bağlı bileşen sayısı. Sıfıra yakın özdeğerler = “neredeyse tekil” yönler = kararsızlık.

22.4 Geometriden Özdeğer Okuma

Projeksiyon $P$: düzlemdeki $\mathbf{x} \to \lambda = 1$; dik $\mathbf{x} \to \lambda = 0$.

Permütasyon $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$: $(1, 1) \to \lambda = 1$; $(-1, 1) \to \lambda = -1$.

“Those vectors are perpendicular. That’ll happen for symmetric matrices.” — Strang, 22:33

Builder Notu: Mimari biliyorsan özdeğerleri tahmin et — projeksiyon $\{0, 1\}$, ortogonal $\{\pm 1, \text{birim çember}\}$, idempotent $\{0, 1\}$.

22.5 Trace = Σλ, det = Πλ ⭐

\[ \sum_i \lambda_i = \text{trace}(A) = \sum_i a_{ii} \]

\[ \prod_i \lambda_i = \det(A) \]

2×2’de bu ikisi özdeğerleri tamamen belirler.

Permütasyon: trace = 0, det = −1 → $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$, $\lambda_1 \lambda_2 = -1$ → $\lambda = \pm 1$.

22.6 Karakteristik Denklem

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ → $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Sıfır-olmayan $\mathbf{x}$ için $(A - \lambda I)$ singular:

\[ \boxed{\det(A - \lambda I) = 0} \]

Strateji: (1) $\lambda$’ları bul. (2) Her $\lambda$ için null uzayı → $\mathbf{x}$.

Builder Notu: Pratikte asla polinom kökünden değil — QR iterasyonu (np.linalg.eig) iteratif/kararlı.

22.7 Tam Örnek — $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

\[ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) \]

$\lambda = 4, 2$. Trace 6 ✓, det 8 ✓.

$\lambda = 4$: $A - 4I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ → $\mathbf{x} = (1, 1)$.
$\lambda = 2$: $\mathbf{x} = (-1, 1)$.

Dik özvektörler (simetrik matris).

import numpy as np

A = np.array([[3, 1], [1, 3]], dtype=float)
vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("özdeğerler:", vals)
print("özvektörler (kolonlar):\n", vecs)
print(f"trace = {np.trace(A)} = Σλ = {vals.sum():.4f}")
print(f"det = {np.linalg.det(A):.4f} = Πλ = {vals.prod():.4f}")

22.8 A + cI ve A + B

$A + cI$: Özvektörler değişmez, özdeğerler $+c$ kayar.

\[ (A + cI)\mathbf{x} = A\mathbf{x} + c\mathbf{x} = (\lambda + c)\mathbf{x} \]

$A + B$: Özdeğerler toplanmaz (genelde) — farklı özvektörler.

Builder Notu: Ridge regularization $A^T A + \lambda I$ tüm özdeğerleri $\lambda$ kadar yukarı iter → sıfıra yakın özdeğerler pozitifleşir → iyi-koşullu, tersinir. Özvektörler korunur.

22.9 Kompleks Özdeğerler — Rotasyon

$Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (90° döndür). Hiçbir gerçel vektör aynı doğrultuda kalmaz.

\[ \det(Q - \lambda I) = \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i \]

Antisimetrik ($Q^T = -Q$) → saf imajiner. Simetrik ($A^T = A$) → gerçel (Ders 25).

22.10 Tekrarlı Özdeğer — Degenerate

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ — özdeğerler 3, 3 (tekrarlı).

$A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ → tek özvektör $(1, 0)$. İkinci yok.

Defective / degenerate → diagonalize edilemez (Jordan formu, Ders 28).

“A repeated lambda is the source of all trouble.” — Strang, 50:11

Builder Notu: Üç tuzak:

Kompleks → osilasyon (RNN, dinamik).
$\|\lambda\|$ → kararlılık (< 1 sönümlü, > 1 patlar).
Degenerate → diagonalize edilemez; iyi haber: simetrik matrisler asla degenerate olmaz.

22.11 Bu Dersin Özeti

$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$.
$\lambda = 0$ iff singular.
Projeksiyon (1, 0); permütasyon ($\pm 1$).
Trace + det özdeğerleri belirler.
Karakteristik denklem.
$A + cI$ özdeğer kayar (ridge).
Kompleks (rotasyon).
Degenerate (tekrarlı, eksik özvektör).

Tek bir cümle

Özvektörler matrisin doğal eksenleri ($A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$); $\det(A - \lambda I) = 0$ ile $\lambda$ bulunur, $\sum\lambda$ = trace, $\prod\lambda = \det$. PCA, RNN kararlılığı, ridge — hepsi buradan.

22.12 Kontrol Soruları

Soru 1: A = (2 1 / 1 2) özdeğer/özvektör.

$(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-3)(\lambda-1)$. $\lambda = 3, 1$.

$\lambda = 3$: $(1, 1)$. $\lambda = 1$: $(-1, 1)$. Dik (simetrik).

Soru 2: trace = 5, det = 6 — özdeğerler? 7 olabilir mi?

$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ → 2, 3.

7 olamaz: diğeri $-2$ olur, $7 \cdot (-2) = -14 \neq 6$.

Soru 3: A = (4 1 / 0 4) bağımsız özvektör sayısı?

$\lambda = 4, 4$ (tekrarlı). $A - 4I$ rank 1 → tek özvektör $(1, 0)$.

1 bağımsız özvektör. Defective, diagonalize edilemez.

Soru 4: Özdeğer PCA, RNN, ridge ile nasıl?

PCA: Simetrik kovaryans → gerçel + ortogonal özvektör; en büyük λ = en çok varyans yönü.

RNN: $A^k \mathbf{x}$ davranışı $|\lambda|$ ile: $< 1$ sönümlü, $> 1$ patlar, kompleks = osilasyon. Ortogonal ağırlık ($|\lambda| = 1$) kararlı.

Ridge: $A^T A + \lambda I$ → tüm özdeğer $+\lambda$ kayar; sıfıra yakın değerler pozitifleşir, iyi-koşullu.

22.13 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = (1\ 2 / 2\ 4)$ — det? Bir özdeğer?

Egzersiz 2. trace = 7, det = 12 → özdeğerler.

Egzersiz 3. 60° rotasyon → özdeğerler. Gerçel mi?

Egzersiz 4. (Python) np.linalg.eig + trace/det doğrulama.

Egzersiz 5. İspatla: $\sum\lambda$ = trace, $\prod\lambda = \det$. (İpucu: karakteristik polinom $\det(A - \lambda I) = \prod(\lambda_i - \lambda)$; $\lambda = 0$ → det A; $\lambda^{n-1}$ katsayısı trace.)

22.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 22: Diagonalization ve $A^k$

$A = S \Lambda S^{-1}$.
$A^k = S \Lambda^k S^{-1}$.
Fibonacci, fark denklemleri.

Ders 22 öncesi

Egzersiz 5 (trace/det = Σλ, Πλ).
np.linalg.eig ile birkaç matris.

22.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$	Özvektör/özdeğer	2m36
$\lambda = 0 \iff$ singular	Null özvektörleri	4m12
Projeksiyon	$\{1, 0\}$	6m03
Permütasyon	$\{\pm 1\}$, dik	10m39
Σλ = trace	Köşegen toplamı	14m50
Πλ = det	—	14m50
$\det(A - \lambda I) = 0$	Karakteristik	16m51
$A + cI$	Özdeğer $+c$, özvektör aynı	31m40
Kompleks	Rotasyon → $\pm i$	42m36
Degenerate	Tekrarlı + eksik özvektör	50m11

22.16 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

PCA = kovaryans özvektörleri.
Σλ, Πλ → log-det, etkin rank.
$\|\lambda\|$ = RNN kararlılık.
Kompleks λ = osilasyon.
$A + cI$ = ridge → özdeğerleri yukarı kaydır.
Degenerate → Jordan (Ders 28).
Simetrik → PCA, spectral, kernel sağlam temeli.

Tek bir şey alıp gideceksen

Özvektörler doğal eksenler ($A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$); $\sum\lambda$ = trace, $\prod\lambda = \det$. PCA, RNN kararlılığı, ridge — modern ML’in belkemiği.

--- title: "Özdeğerler ve Özvektörler" subtitle: "Kursun zirvesi — Ax = λx, doğal eksenler" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 21: Eigenvalues and Eigenvectors](https://www.youtube.com/watch?v=cdZnhQjJu4I) (≈51 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 21](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-21-eigenvalues-and-eigenvectors/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Kursun zirvesi: **özdeğer/özvektör** — geri kalan derslerin çoğunu kaplar. 1. **Özvektör:** $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$. 2. **Karakteristik denklem:** $\det(A - \lambda I) = 0$. 3. **$\sum \lambda = \text{trace}$, $\prod \lambda = \det$**. 4. **Üç tuzak:** kompleks (rotasyon), tekrarlı, özvektör eksikliği. > *"Ax is some multiple lambda of x — that's our big equation."* — Strang, 2:36 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Özdeğer = doğal eksen ölçeği. PCA, RNN kararlılığı, ridge regularization hepsi buradan." flowchart LR EQ["A·x = λx"] --> CHAR["det(A - λI) = 0"] CHAR --> LAM["λ'lar"] LAM --> X["Her λ → null(A-λI) → x"] LAM --> TR["⭐ Σλ = trace Πλ = det"] LAM --> TRAPS["⚠ Tuzaklar: kompleks (rotasyon) tekrarlı / degenerate"] X --> PCA["PCA (simetrik kov)"] X --> RNN["RNN/dinamik (|λ| kararlılık)"] X --> RIDGE["Ridge (A+λI özdeğer kayar)"] style EQ fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style TR fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Özdeğer ML'in Belkemiği"} - **PCA** = kovaryans özvektörleri. - **Spectral clustering / PageRank** = graf matrisleri özvektörleri. - **RNN/dinamik kararlılık** = $|\lambda|$. - **Trace = $\sum\lambda$, det = $\prod\lambda$** → log-det = $\sum \log \lambda$, etkin rank. - **Simetrik** → gerçel + ortogonal → PCA, kernel yöntemleri sağlam. ::: ## Ax = λx — Özvektör {#sec-tanim} $A\mathbf{x}$ genelde $\mathbf{x}$'ten farklı yönde. Bazı özel vektörler için **aynı doğrultuda, sadece ölçeklenmiş**: $$ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$ $\lambda$ pozitif/negatif/sıfır/kompleks olabilir. $n \times n$ matrisin (genelde) $n$ özdeğer/özvektörü vardır — matrisin **doğal eksenleri**. ## λ = 0 ⟺ Singular {#sec-lambda-zero} $\lambda = 0$ → $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{x} \in N(A)$. $$ \lambda = 0 \text{ özdeğer} \iff A \text{ singular} $$ **Builder Notu:** **Graph Laplacian** sıfır özdeğeri (Ders 12); sayısı = bağlı bileşen sayısı. Sıfıra yakın özdeğerler = "neredeyse tekil" yönler = kararsızlık. ## Geometriden Özdeğer Okuma {#sec-geometri} **Projeksiyon $P$:** düzlemdeki $\mathbf{x} \to \lambda = 1$; dik $\mathbf{x} \to \lambda = 0$. **Permütasyon $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:** $(1, 1) \to \lambda = 1$; $(-1, 1) \to \lambda = -1$. > *"Those vectors are perpendicular. That'll happen for symmetric matrices."* — Strang, 22:33 **Builder Notu:** Mimari biliyorsan özdeğerleri tahmin et — projeksiyon $\{0, 1\}$, ortogonal $\{\pm 1, \text{birim çember}\}$, idempotent $\{0, 1\}$. ## Trace = Σλ, det = Πλ ⭐ {#sec-trace-det} $$ \sum_i \lambda_i = \text{trace}(A) = \sum_i a_{ii} $$ $$ \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ 2×2'de bu ikisi özdeğerleri **tamamen belirler**. Permütasyon: trace = 0, det = −1 → $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$, $\lambda_1 \lambda_2 = -1$ → $\lambda = \pm 1$. ## Karakteristik Denklem {#sec-karakteristik} $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ → $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Sıfır-olmayan $\mathbf{x}$ için $(A - \lambda I)$ singular: $$ \boxed{\det(A - \lambda I) = 0} $$ **Strateji:** (1) $\lambda$'ları bul. (2) Her $\lambda$ için null uzayı → $\mathbf{x}$. **Builder Notu:** Pratikte **asla** polinom kökünden değil — **QR iterasyonu** (`np.linalg.eig`) iteratif/kararlı. ## Tam Örnek — $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ {#sec-ornek} $$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) $$ **$\lambda = 4, 2$**. Trace 6 ✓, det 8 ✓. - $\lambda = 4$: $A - 4I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ → $\mathbf{x} = (1, 1)$. - $\lambda = 2$: $\mathbf{x} = (-1, 1)$. Dik özvektörler (simetrik matris). ```{python} #| label: code-eig #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[3, 1], [1, 3]], dtype=float) vals, vecs = np.linalg.eig(A) print("özdeğerler:", vals) print("özvektörler (kolonlar):\n", vecs) print(f"trace = {np.trace(A)} = Σλ = {vals.sum():.4f}") print(f"det = {np.linalg.det(A):.4f} = Πλ = {vals.prod():.4f}") ``` ## A + cI ve A + B {#sec-A-plus-cI} **$A + cI$:** Özvektörler **değişmez**, özdeğerler $+c$ kayar. $$ (A + cI)\mathbf{x} = A\mathbf{x} + c\mathbf{x} = (\lambda + c)\mathbf{x} $$ **$A + B$:** Özdeğerler **toplanmaz** (genelde) — farklı özvektörler. **Builder Notu:** **Ridge regularization** $A^T A + \lambda I$ tüm özdeğerleri $\lambda$ kadar yukarı iter → sıfıra yakın özdeğerler pozitifleşir → iyi-koşullu, tersinir. Özvektörler korunur. ## Kompleks Özdeğerler — Rotasyon {#sec-kompleks} $Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (90° döndür). Hiçbir gerçel vektör aynı doğrultuda kalmaz. $$ \det(Q - \lambda I) = \lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i $$ **Antisimetrik** ($Q^T = -Q$) → saf imajiner. **Simetrik** ($A^T = A$) → gerçel (Ders 25). ## Tekrarlı Özdeğer — Degenerate {#sec-degenerate} $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ — özdeğerler 3, 3 (tekrarlı). $A - 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ → tek özvektör $(1, 0)$. **İkinci yok.** **Defective / degenerate** → diagonalize edilemez (Jordan formu, Ders 28). > *"A repeated lambda is the source of all trouble."* — Strang, 50:11 **Builder Notu:** Üç tuzak: - **Kompleks** → osilasyon (RNN, dinamik). - **$\|\lambda\|$** → kararlılık (`< 1` sönümlü, `> 1` patlar). - **Degenerate** → diagonalize edilemez; iyi haber: **simetrik matrisler asla degenerate olmaz**. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$. 2. $\lambda = 0$ iff singular. 3. Projeksiyon (1, 0); permütasyon ($\pm 1$). 4. **Trace + det** özdeğerleri belirler. 5. **Karakteristik denklem**. 6. **$A + cI$** özdeğer kayar (ridge). 7. **Kompleks** (rotasyon). 8. **Degenerate** (tekrarlı, eksik özvektör). ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Özvektörler matrisin doğal eksenleri** ($A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$); $\det(A - \lambda I) = 0$ ile $\lambda$ bulunur, **$\sum\lambda$ = trace**, **$\prod\lambda = \det$**. PCA, RNN kararlılığı, ridge — hepsi buradan. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = (2 1 / 1 2) özdeğer/özvektör."} $(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-3)(\lambda-1)$. $\lambda = 3, 1$. $\lambda = 3$: $(1, 1)$. $\lambda = 1$: $(-1, 1)$. Dik (simetrik). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: trace = 5, det = 6 — özdeğerler? 7 olabilir mi?"} $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ → **2, 3**. 7 olamaz: diğeri $-2$ olur, $7 \cdot (-2) = -14 \neq 6$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: A = (4 1 / 0 4) bağımsız özvektör sayısı?"} $\lambda = 4, 4$ (tekrarlı). $A - 4I$ rank 1 → tek özvektör $(1, 0)$. **1 bağımsız özvektör**. Defective, diagonalize edilemez. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Özdeğer PCA, RNN, ridge ile nasıl?"} **PCA:** Simetrik kovaryans → gerçel + ortogonal özvektör; en büyük λ = en çok varyans yönü. **RNN:** $A^k \mathbf{x}$ davranışı $|\lambda|$ ile: $< 1$ sönümlü, $> 1$ patlar, kompleks = osilasyon. Ortogonal ağırlık ($|\lambda| = 1$) kararlı. **Ridge:** $A^T A + \lambda I$ → tüm özdeğer $+\lambda$ kayar; sıfıra yakın değerler pozitifleşir, iyi-koşullu. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = (1\ 2 / 2\ 4)$ — det? Bir özdeğer? **Egzersiz 2.** trace = 7, det = 12 → özdeğerler. **Egzersiz 3.** 60° rotasyon → özdeğerler. Gerçel mi? **Egzersiz 4.** *(Python)* `np.linalg.eig` + trace/det doğrulama. **Egzersiz 5.** *İspatla:* $\sum\lambda$ = trace, $\prod\lambda = \det$. (İpucu: karakteristik polinom $\det(A - \lambda I) = \prod(\lambda_i - \lambda)$; $\lambda = 0$ → det A; $\lambda^{n-1}$ katsayısı trace.) ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 22: Diagonalization ve $A^k$** - $A = S \Lambda S^{-1}$. - $A^k = S \Lambda^k S^{-1}$. - Fibonacci, fark denklemleri. ::: {.callout-warning title="Ders 22 öncesi"} - Egzersiz 5 (trace/det = Σλ, Πλ). - `np.linalg.eig` ile birkaç matris. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$** | Özvektör/özdeğer | 2m36 | | **$\lambda = 0 \iff$ singular** | Null özvektörleri | 4m12 | | **Projeksiyon** | $\{1, 0\}$ | 6m03 | | **Permütasyon** | $\{\pm 1\}$, dik | 10m39 | | **Σλ = trace** | Köşegen toplamı | 14m50 | | **Πλ = det** | — | 14m50 | | **$\det(A - \lambda I) = 0$** | Karakteristik | 16m51 | | **$A + cI$** | Özdeğer $+c$, özvektör aynı | 31m40 | | **Kompleks** | Rotasyon → $\pm i$ | 42m36 | | **Degenerate** | Tekrarlı + eksik özvektör | 50m11 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **PCA = kovaryans özvektörleri**. 2. **Σλ, Πλ** → log-det, etkin rank. 3. **$\|\lambda\|$ = RNN kararlılık**. 4. **Kompleks λ = osilasyon**. 5. **$A + cI$ = ridge** → özdeğerleri yukarı kaydır. 6. **Degenerate** → Jordan (Ders 28). 7. **Simetrik** → PCA, spectral, kernel sağlam temeli. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Özvektörler doğal eksenler** ($A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$); $\sum\lambda$ = trace, $\prod\lambda = \det$. PCA, RNN kararlılığı, ridge — modern ML'in belkemiği. :::

22.1 Bu Derste Ne Var?

22.2 Ax = λx — Özvektör

22.3 λ = 0 ⟺ Singular

22.4 Geometriden Özdeğer Okuma

22.5 Trace = Σλ, det = Πλ ⭐

22.6 Karakteristik Denklem

22.7 Tam Örnek — \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)

22.8 A + cI ve A + B

22.9 Kompleks Özdeğerler — Rotasyon

22.10 Tekrarlı Özdeğer — Degenerate

22.11 Bu Dersin Özeti

22.12 Kontrol Soruları

22.13 Egzersizler

22.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

22.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

22.16 ML Bağlantıları Özeti