25 Markov Matrisleri ve Fourier Serisi

λ = 1 kararlı durum + ortonormal fonksiyon bazı

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 24: Markov Matrices, Fourier Series (≈51 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 24
Okuma süresi: ≈40 dk

25.1 Bu Derste Ne Var?

Markov matrisi: girişler ≥ 0, kolonlar 1’e toplanır; her zaman $\lambda = 1$.
Steady state = $\lambda = 1$ özvektörü.
A ve $A^T$ aynı özdeğer.
Fourier serisi: fonksiyonlar sonsuz boyutlu ortonormal sin/cos bazında.

“The steady state will be the eigenvector for that eigenvalue (lambda = 1).” — Strang, 3:55

flowchart LR
    MARKOV["Markov<br/>(kolon = 1)"] --> L1["⭐ λ = 1 garantili"]
    L1 --> SS["Steady state<br/>= sağ özvektör"]
    L1 --> GAP["Spectral gap<br/>= karışma hızı"]
    SS --> ML1["PageRank, MCMC,<br/>HMM"]

    FOUR["Fourier serisi"] --> ORTH["sin/cos<br/>ortonormal baz"]
    ORTH --> COEF["⭐ aₖ = (1/π)∫f·cos kx dx"]
    COEF --> ML2["Positional encoding<br/>Fourier features (NeRF)<br/>FFT"]

    style L1 fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style COEF fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML1 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px
    style ML2 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    MARKOV["Markov<br/>(kolon = 1)"] --> L1["⭐ λ = 1 garantili"]
    L1 --> SS["Steady state<br/>= sağ özvektör"]
    L1 --> GAP["Spectral gap<br/>= karışma hızı"]
    SS --> ML1["PageRank, MCMC,<br/>HMM"]

    FOUR["Fourier serisi"] --> ORTH["sin/cos<br/>ortonormal baz"]
    ORTH --> COEF["⭐ aₖ = (1/π)∫f·cos kx dx"]
    COEF --> ML2["Positional encoding<br/>Fourier features (NeRF)<br/>FFT"]

    style L1 fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style COEF fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style ML1 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px
    style ML2 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 25.1: Markov + Fourier — özdeğer/ortogonalliğin iki güçlü uygulaması.

Builder Notu — Markov + Fourier ML’de

Markov / PageRank / MCMC — kararlı durum = $\lambda = 1$ özvektörü.
Spectral gap $1 - |\lambda_2|$ → MCMC karışma hızı.
Fourier serisi → transformer positional encoding, NeRF Fourier features, FFT konvolüsyon hızlandırma.
Ortonormal projeksiyon ($x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$) → PCA, wavelet, embedding ayrışımı.

25.2 Markov Matrisi

İki özellik: (1) girişler ≥ 0, (2) her kolon 1’e toplanır.

Aᵏ de Markov; özellikler korunur.

25.3 λ = 1 Garantili

$A$’nın kolonları 1’e toplanır → $A - I$’nın kolonları 0’a toplanır → satırlar bağımlı (örn. $(1, 1, \ldots, 1) \cdot (A - I) = \mathbf{0}$) → $A - I$ singular → $\lambda = 1$ özdeğer.

$(1, 1, \ldots, 1)$ vektörü = $A^T$’nin $\lambda = 1$ sol özvektörü (olasılık korunumu).

25.4 Diğer λ ve Steady State

Diğer tüm $|\lambda| \leq 1$ (1’i aşmaz, olasılık korunur).

$A^k \mathbf{u}_0 = c_1 \mathbf{x}_1 + c_2 \lambda_2^k \mathbf{x}_2 + \cdots$

$\lambda_2^k, \ldots \to 0$; sadece $\lambda = 1$ modu hayatta kalır:

\[ A^k \mathbf{u}_0 \to c_1 \mathbf{x}_1 = \text{steady state} \]

(Pozitif özvektör — başlangıç pozitifse kalır.)

25.5 A ve Aᵀ Aynı Özdeğer

$\det(A - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^T) = \det(A^T - \lambda I)$.

Özdeğerler aynı, özvektörler farklı (sol/sağ).

25.6 Markov Örneği — CA/MA

\[ A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{pmatrix} \]

trace = 1.7, det = 0.7 → $\lambda^2 - 1.7\lambda + 0.7 = 0$ → $\lambda = 1, 0.7$.

$\lambda = 1$: $\mathbf{x}_1 = (2, 1)$.
$\lambda = 0.7$: $\mathbf{x}_2 = (-1, 1)$.

$\mathbf{u}_0 = (0, 1000)$ → $c_1 = 1000/3$, $c_2 = 2000/3$.

Steady state: $\frac{1000}{3}(2, 1) = (667, 333)$. Toplama 1000 korunur.

import numpy as np

A = np.array([[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]], dtype=float)
vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("özdeğerler:", vals)

# Steady state = λ=1 özvektörü, normalize
idx = np.argmin(np.abs(vals - 1))
ss = np.abs(vecs[:, idx]); ss /= ss.sum()
print("steady state dağılımı:", ss)

# Power iteration
u = np.array([0.0, 1000.0])
for _ in range(100): u = A @ u
print("A^100 u0:", u)   # ~ (667, 333)

Builder Notu: Karışma hızı = $1 - |\lambda_2|$ = spectral gap. CA/MA: 0.3, hızlı. Web grafında power iteration ile PageRank.

25.7 Ortonormal Bazda Projeksiyon

$\mathbf{v} = \sum x_i \mathbf{q}_i$. Her iki yanı $\mathbf{q}_i$ ile çarp:

\[ \mathbf{q}_i^T \mathbf{v} = x_i \quad (\text{diğerleri } 0) \]

Her katsayı bağımsız dot product. Matris dilinde $\mathbf{x} = Q^T \mathbf{v}$.

25.8 Fourier Serisi

\[ f(x) = a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + \cdots \]

Sonsuz boyutlu fonksiyon uzayı; baz = $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}$.

Periyot $2\pi$ ile periyodik.

Builder Notu: Sinyal işleme, transformer positional encoding (sin/cos frekansları), NeRF / Fourier features, JPEG (DCT), Gaussian process RKHS.

25.9 Fonksiyon İç Çarpımı

\[ \langle f, g \rangle = \int_0^{2\pi} f(x) g(x) \, dx \]

Toplamın sürekli karşılığı. Bu iç çarpımda $\sin, \cos$ ortogonal:

\[ \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \, dx = 0 \]

25.10 Fourier Katsayıları

$\mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$’nin fonksiyon versiyonu:

\[ \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \, dx = a_k \int_0^{2\pi} \cos^2(kx) \, dx = a_k \pi \]

\[ \boxed{a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \, dx} \]

Euler-Fourier formülü. Ortonormal bazda projeksiyon.

Builder Notu: Ayrık versiyonu FFT — konvolüsyonu frekansta çarpıma çevirir (sinyal işleme, FNet, uzun-konvolüsyon).

25.11 Bu Dersin Özeti

Markov: girişler ≥ 0, kolon = 1.
$\lambda = 1$ garantili.
Diğer $|\lambda| \leq 1$, steady state.
A ↔︎ $A^T$ özdeğer.
CA/MA örneği, $(667, 333)$.
Çözüm spektral.
Ortonormal projeksiyon $x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$.
Fourier serisi.
Fonksiyon iç çarpımı.
Fourier katsayıları.

Tek bir cümle

Markov: $\lambda = 1$ + pozitif özvektör = steady state (PageRank, MCMC). Fourier: ortonormal sin/cos bazında projeksiyon ($a_k = \frac{1}{\pi} \int f \cos kx \, dx$) = transformer positional encoding, NeRF, FFT.

25.12 Kontrol Soruları

Soru 1: A = (0.8 0.3 / 0.2 0.7) Markov mı? Özdeğer?

Kolonlar: $1.0, 1.0$ ✓; girişler ≥ 0 ✓ → Markov. trace 1.5 → $\lambda = 1, 0.5$.

Soru 2: Aynı A için steady state (toplam = 1).

$A - I = (-0.2\ 0.3 / 0.2\ -0.3)$. Null: $(3, 2)$. Normalize: $(0.6, 0.4)$.

Soru 3: f = sin(x) → b₁ ve a₁?

Zaten baz fonksiyonu! $b_1 = 1$, $a_1 = 0$ (sin ⊥ cos). Diğer hepsi 0.

Soru 4: Markov → PageRank/MCMC, Fourier → transformer.

PageRank: web grafı Markov → $\lambda = 1$ özvektörü = sayfa skorları. Power iteration; spectral gap = yakınsama.

MCMC: hedef dağılıma yakınsayan zincir; karışma hızı = spectral gap.

Transformer positional encoding: sin/cos frekansları → sıra bilgisi.

Fourier features (NeRF): koordinatları sin/cos bazında genişletme → yüksek-frekans detay.

FFT: konvolüsyon → frekansta çarpım (FNet, uzun-konv modeller).

25.13 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = (0.5\ 0.4 / 0.5\ 0.6)$ Markov mı? Özdeğer + steady state.

Egzersiz 2. Steady state $(0.6, 0.4)$, $\lambda_2 = 0.9$ — yakınsama hızı?

Egzersiz 3. $f = \cos 2x - 3\sin x$ → Fourier katsayıları.

Egzersiz 4. (Python) Markov + power iteration.

Egzersiz 5. İspatla: Markov için $|\lambda| \leq 1$ tüm $\lambda$ için. (İpucu: aksi takdirde $A^k$ patlar, olasılık korunmaz.)

25.14 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 24b: Quiz 2 İncelemesi — Determinantlar + özdeğerler + uygulamalar tekrarı.

Ders 24b öncesi

Egzersiz 5 ($|\lambda| \leq 1$).
Power iteration ile steady state.

25.15 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
Markov	Girişler ≥ 0, kolon = 1	1m01
$\lambda = 1$	$A - I$ kolon = 0 → singular	9m08
Steady state	$\lambda = 1$ özvektör	7m01
$\|\lambda\| \leq 1$	Olasılık korunumu	5m12
A, $A^T$ özdeğer	Aynı, özvektör farklı	16m50
Ortonormal proj	$x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$	35m24
Fourier	$f = a_0 + \sum (a_k \cos + b_k \sin)$	41m08
Fonksiyon iç çarp	$\int f g \, dx$	44m40
$a_k = \frac{1}{\pi} \int f \cos kx$	Bazda projeksiyon	48m20

25.16 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

Markov → PageRank, MCMC, HMM.
Steady state → Uzun-vadeli dağılım.
Spectral gap → Karışma hızı.
A, $A^T$ → Sol/sağ özvektör.
Fourier → Positional encoding, NeRF, JPEG.
Ortonormal proj → PCA, wavelet.
FFT → Konvolüsyon hızlandırma (FNet).

Tek bir şey alıp gideceksen

Markov $\lambda = 1$ = steady state (PageRank/MCMC). Fourier $a_k = \frac{1}{\pi}\int f \cos kx$ = ortonormal bazda projeksiyon (NeRF, positional encoding, FFT).

--- title: "Markov Matrisleri ve Fourier Serisi" subtitle: "λ = 1 kararlı durum + ortonormal fonksiyon bazı" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 24: Markov Matrices, Fourier Series](https://www.youtube.com/watch?v=lGGDIGizcQ0) (≈51 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 24](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-24-markov-matrices-fourier-series/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} 1. **Markov matrisi:** girişler ≥ 0, kolonlar 1'e toplanır; her zaman $\lambda = 1$. 2. **Steady state** = $\lambda = 1$ özvektörü. 3. **A ve $A^T$ aynı özdeğer**. 4. **Fourier serisi:** fonksiyonlar sonsuz boyutlu ortonormal sin/cos bazında. > *"The steady state will be the eigenvector for that eigenvalue (lambda = 1)."* — Strang, 3:55 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Markov + Fourier — özdeğer/ortogonalliğin iki güçlü uygulaması." flowchart LR MARKOV["Markov (kolon = 1)"] --> L1["⭐ λ = 1 garantili"] L1 --> SS["Steady state = sağ özvektör"] L1 --> GAP["Spectral gap = karışma hızı"] SS --> ML1["PageRank, MCMC, HMM"] FOUR["Fourier serisi"] --> ORTH["sin/cos ortonormal baz"] ORTH --> COEF["⭐ aₖ = (1/π)∫f·cos kx dx"] COEF --> ML2["Positional encoding Fourier features (NeRF) FFT"] style L1 fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style COEF fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style ML1 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px style ML2 fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Markov + Fourier ML'de"} - **Markov / PageRank / MCMC** — kararlı durum = $\lambda = 1$ özvektörü. - **Spectral gap $1 - |\lambda_2|$** → MCMC karışma hızı. - **Fourier serisi** → transformer positional encoding, NeRF Fourier features, FFT konvolüsyon hızlandırma. - **Ortonormal projeksiyon** ($x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$) → PCA, wavelet, embedding ayrışımı. ::: ## Markov Matrisi {#sec-markov} İki özellik: (1) girişler ≥ 0, (2) her kolon 1'e toplanır. Aᵏ de Markov; özellikler korunur. ## λ = 1 Garantili {#sec-lambda-1} $A$'nın kolonları 1'e toplanır → **$A - I$**'nın kolonları 0'a toplanır → satırlar bağımlı (örn. $(1, 1, \ldots, 1) \cdot (A - I) = \mathbf{0}$) → $A - I$ singular → $\lambda = 1$ özdeğer. $(1, 1, \ldots, 1)$ vektörü = $A^T$'nin $\lambda = 1$ sol özvektörü (olasılık korunumu). ## Diğer λ ve Steady State {#sec-steady} Diğer tüm $|\lambda| \leq 1$ (1'i aşmaz, olasılık korunur). $A^k \mathbf{u}_0 = c_1 \mathbf{x}_1 + c_2 \lambda_2^k \mathbf{x}_2 + \cdots$ $\lambda_2^k, \ldots \to 0$; sadece **$\lambda = 1$ modu** hayatta kalır: $$ A^k \mathbf{u}_0 \to c_1 \mathbf{x}_1 = \text{steady state} $$ (Pozitif özvektör — başlangıç pozitifse kalır.) ## A ve Aᵀ Aynı Özdeğer {#sec-AT} $\det(A - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^T) = \det(A^T - \lambda I)$. **Özdeğerler aynı, özvektörler farklı** (sol/sağ). ## Markov Örneği — CA/MA {#sec-example} $$ A = \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{pmatrix} $$ trace = 1.7, det = 0.7 → $\lambda^2 - 1.7\lambda + 0.7 = 0$ → $\lambda = 1, 0.7$. - $\lambda = 1$: $\mathbf{x}_1 = (2, 1)$. - $\lambda = 0.7$: $\mathbf{x}_2 = (-1, 1)$. $\mathbf{u}_0 = (0, 1000)$ → $c_1 = 1000/3$, $c_2 = 2000/3$. **Steady state:** $\frac{1000}{3}(2, 1) = (667, 333)$. Toplama 1000 korunur. ```{python} #| label: code-markov #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[0.9, 0.2], [0.1, 0.8]], dtype=float) vals, vecs = np.linalg.eig(A) print("özdeğerler:", vals) # Steady state = λ=1 özvektörü, normalize idx = np.argmin(np.abs(vals - 1)) ss = np.abs(vecs[:, idx]); ss /= ss.sum() print("steady state dağılımı:", ss) # Power iteration u = np.array([0.0, 1000.0]) for _ in range(100): u = A @ u print("A^100 u0:", u) # ~ (667, 333) ``` **Builder Notu:** **Karışma hızı** = $1 - |\lambda_2|$ = spectral gap. CA/MA: 0.3, hızlı. Web grafında power iteration ile PageRank. ## Ortonormal Bazda Projeksiyon {#sec-ortonormal-proj} $\mathbf{v} = \sum x_i \mathbf{q}_i$. Her iki yanı $\mathbf{q}_i$ ile çarp: $$ \mathbf{q}_i^T \mathbf{v} = x_i \quad (\text{diğerleri } 0) $$ Her katsayı bağımsız dot product. Matris dilinde $\mathbf{x} = Q^T \mathbf{v}$. ## Fourier Serisi {#sec-fourier} $$ f(x) = a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + \cdots $$ **Sonsuz boyutlu fonksiyon uzayı**; baz = $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}$. Periyot $2\pi$ ile periyodik. **Builder Notu:** Sinyal işleme, **transformer positional encoding** (sin/cos frekansları), **NeRF / Fourier features**, JPEG (DCT), Gaussian process RKHS. ## Fonksiyon İç Çarpımı {#sec-ic-carpim} $$ \langle f, g \rangle = \int_0^{2\pi} f(x) g(x) \, dx $$ Toplamın sürekli karşılığı. Bu iç çarpımda $\sin, \cos$ ortogonal: $$ \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \, dx = 0 $$ ## Fourier Katsayıları {#sec-fourier-coef} $\mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$'nin fonksiyon versiyonu: $$ \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \, dx = a_k \int_0^{2\pi} \cos^2(kx) \, dx = a_k \pi $$ $$ \boxed{a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \, dx} $$ **Euler-Fourier formülü.** Ortonormal bazda projeksiyon. **Builder Notu:** Ayrık versiyonu **FFT** — konvolüsyonu frekansta çarpıma çevirir (sinyal işleme, FNet, uzun-konvolüsyon). ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Markov**: girişler ≥ 0, kolon = 1. 2. **$\lambda = 1$ garantili**. 3. **Diğer $|\lambda| \leq 1$**, steady state. 4. **A ↔ $A^T$ özdeğer**. 5. **CA/MA örneği**, $(667, 333)$. 6. **Çözüm spektral**. 7. **Ortonormal projeksiyon** $x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$. 8. **Fourier serisi**. 9. **Fonksiyon iç çarpımı**. 10. **Fourier katsayıları**. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} **Markov:** $\lambda = 1$ + pozitif özvektör = steady state (PageRank, MCMC). **Fourier:** ortonormal sin/cos bazında projeksiyon ($a_k = \frac{1}{\pi} \int f \cos kx \, dx$) = transformer positional encoding, NeRF, FFT. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = (0.8 0.3 / 0.2 0.7) Markov mı? Özdeğer?"} Kolonlar: $1.0, 1.0$ ✓; girişler ≥ 0 ✓ → **Markov**. trace 1.5 → $\lambda = 1, 0.5$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: Aynı A için steady state (toplam = 1)."} $A - I = (-0.2\ 0.3 / 0.2\ -0.3)$. Null: $(3, 2)$. Normalize: $(0.6, 0.4)$. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: f = sin(x) → b₁ ve a₁?"} Zaten baz fonksiyonu! $b_1 = 1$, $a_1 = 0$ (sin ⊥ cos). Diğer hepsi 0. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: Markov → PageRank/MCMC, Fourier → transformer."} **PageRank:** web grafı Markov → $\lambda = 1$ özvektörü = sayfa skorları. Power iteration; spectral gap = yakınsama. **MCMC:** hedef dağılıma yakınsayan zincir; karışma hızı = spectral gap. **Transformer positional encoding:** sin/cos frekansları → sıra bilgisi. **Fourier features (NeRF):** koordinatları sin/cos bazında genişletme → yüksek-frekans detay. **FFT:** konvolüsyon → frekansta çarpım (FNet, uzun-konv modeller). ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = (0.5\ 0.4 / 0.5\ 0.6)$ Markov mı? Özdeğer + steady state. **Egzersiz 2.** Steady state $(0.6, 0.4)$, $\lambda_2 = 0.9$ — yakınsama hızı? **Egzersiz 3.** $f = \cos 2x - 3\sin x$ → Fourier katsayıları. **Egzersiz 4.** *(Python)* Markov + power iteration. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Markov için $|\lambda| \leq 1$ tüm $\lambda$ için. (İpucu: aksi takdirde $A^k$ patlar, olasılık korunmaz.) ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 24b: Quiz 2 İncelemesi** — Determinantlar + özdeğerler + uygulamalar tekrarı. ::: {.callout-warning title="Ders 24b öncesi"} - Egzersiz 5 ($|\lambda| \leq 1$). - Power iteration ile steady state. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **Markov** | Girişler ≥ 0, kolon = 1 | 1m01 | | **$\lambda = 1$** | $A - I$ kolon = 0 → singular | 9m08 | | **Steady state** | $\lambda = 1$ özvektör | 7m01 | | **$|\lambda| \leq 1$** | Olasılık korunumu | 5m12 | | **A, $A^T$ özdeğer** | Aynı, özvektör farklı | 16m50 | | **Ortonormal proj** | $x_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{v}$ | 35m24 | | **Fourier** | $f = a_0 + \sum (a_k \cos + b_k \sin)$ | 41m08 | | **Fonksiyon iç çarp** | $\int f g \, dx$ | 44m40 | | **$a_k = \frac{1}{\pi} \int f \cos kx$** | Bazda projeksiyon | 48m20 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **Markov → PageRank, MCMC, HMM**. 2. **Steady state** → Uzun-vadeli dağılım. 3. **Spectral gap** → Karışma hızı. 4. **A, $A^T$** → Sol/sağ özvektör. 5. **Fourier** → Positional encoding, NeRF, JPEG. 6. **Ortonormal proj** → PCA, wavelet. 7. **FFT** → Konvolüsyon hızlandırma (FNet). ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} **Markov $\lambda = 1$** = steady state (PageRank/MCMC). **Fourier $a_k = \frac{1}{\pi}\int f \cos kx$** = ortonormal bazda projeksiyon (NeRF, positional encoding, FFT). :::