27 Simetrik Matrisler ve Pozitif Tanımlılık

Spektral teorem — A = QΛQᵀ, gerçel λ, ortogonal q

Bölüm bilgisi

Strang’in videosu: YouTube — Lecture 25: Symmetric Matrices and Positive Definiteness (≈44 dk)
OCW sayfası: MIT 18.06SC — Lecture 25
Okuma süresi: ≈40 dk

27.1 Bu Derste Ne Var?

Matrislerin en sağlam sınıfı: simetrik ($A = A^T$).

İki gerçek: özdeğerler gerçel, özvektörler dik.
Spektral teorem: $A = Q \Lambda Q^T$ ($Q$ ortogonal, $\Lambda$ gerçel köşegen).
Spektral ayrışım: $A = \sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$.
Pozitif tanım: tüm $\lambda > 0$ ⟺ tüm pivot $> 0$ ⟺ tüm sol-üst alt-det $> 0$.

“The eigenvalues are real and the eigenvectors are perpendicular.” — Strang, 1:09

flowchart LR
    SYM["Simetrik A = Aᵀ"] --> FACT["⭐ Gerçel λ<br/>Ortogonal qᵢ"]
    FACT --> SPEC["A = QΛQᵀ<br/>= Σ λᵢqᵢqᵢᵀ"]

    SYM --> PD["Pozitif tanım"]
    PD --> EQUIV["λᵢ > 0<br/>⟺ pivot > 0<br/>⟺ sol-üst alt-det > 0"]

    SPEC --> PCA["PCA<br/>(kovaryans)"]
    PD --> CHOL["Cholesky<br/>A = LLᵀ"]
    PD --> HESS["Hessian > 0<br/>= yerel min"]

    style FACT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style EQUIV fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

flowchart LR
    SYM["Simetrik A = Aᵀ"] --> FACT["⭐ Gerçel λ<br/>Ortogonal qᵢ"]
    FACT --> SPEC["A = QΛQᵀ<br/>= Σ λᵢqᵢqᵢᵀ"]

    SYM --> PD["Pozitif tanım"]
    PD --> EQUIV["λᵢ > 0<br/>⟺ pivot > 0<br/>⟺ sol-üst alt-det > 0"]

    SPEC --> PCA["PCA<br/>(kovaryans)"]
    PD --> CHOL["Cholesky<br/>A = LLᵀ"]
    PD --> HESS["Hessian > 0<br/>= yerel min"]

    style FACT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px
    style EQUIV fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px
    style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px

Şekil 27.1: Simetrik → A = QΛQᵀ (spektral teorem). Pozitif tanım → λ, pivot, alt-det > 0; PCA, Cholesky, Hessian.

Builder Notu — Simetrik = ML’in Sağlam Zemini

Spektral teorem → PCA: kovaryans simetrik → gerçel + ortogonal → ana bileşenler.
Pozitif tanım → kovaryans, kernel (Gram), Hessian (konveks optimizasyon).
Cholesky ($A = LL^T$) sadece pozitif tanım için — Gaussian örnekleme, GP regresyon.
Pivot–özdeğer işaret eşitliği → Hessian’da saddle point teşhisi (Sylvester inertia).

27.2 İki Ana Gerçek

Özdeğerler gerçel.
Özvektörler dik (ortonormal seçilebilir).

Farklı özdeğerlerde otomatik dik; tekrarlı özdeğerde özuzaydan dik baz seçilir. Simetrik matris asla degenerate olmaz — her zaman tam özvektör seti.

27.3 Spektral Teorem — $A = Q\Lambda Q^T$ ⭐

Genel $A = S\Lambda S^{-1}$’de $S = Q$ (ortogonal):

\[ \boxed{A = Q \Lambda Q^T, \quad Q^T Q = I, \quad Q^{-1} = Q^T} \]

Simetri açık: $(Q\Lambda Q^T)^T = Q \Lambda^T Q^T = Q \Lambda Q^T = A$.

27.4 Gerçel Özdeğer İspatı

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$. Eşlenik + transpoze:

\[ \bar{\mathbf{x}}^T A^T = \bar{\mathbf{x}}^T \bar{\lambda} \]

Simetri ($A^T = A$):

\[ \bar{\mathbf{x}}^T A = \bar{\mathbf{x}}^T \bar{\lambda} \]

İlk denklemi $\bar{\mathbf{x}}^T$ ile, ikinciyi $\mathbf{x}$ ile çarp → sol taraflar aynı:

\[ \lambda \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = \bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} \]

$\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = \sum |x_i|^2 > 0$ → $\lambda = \bar{\lambda}$ → gerçel.

Kompleks “iyi” matris: $\bar{A}^T = A$ (Hermitian). Gerçel durumda = simetrik.

27.5 Spektral Ayrışım

$A = Q\Lambda Q^T$’yi kolon × satır:

\[ \boxed{A = \sum_i \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T} \]

Her $\mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$ = dik projeksiyon matrisi (birim vektör, $\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_i = 1$ → $P^2 = P$).

“Every symmetric matrix is a combination of mutually perpendicular projection matrices.” — Strang, 27:57

Builder Notu: Bu ayrışım PCA’nın özü — veri = ana bileşen projeksiyonlarının ağırlıklı toplamı, ağırlıklar = varyanslar (özdeğerler).

27.6 Pivot İşareti = Özdeğer İşareti

Sylvester’s law of inertia:

\[ \#\{\text{pozitif pivot}\} = \#\{\text{pozitif özdeğer}\} \]

50×50 matris için 50 özdeğer hesaplamak pahalı ve kararsız; pivotlar hızlı ve kararlı.

Kuşatma: $A - 7I$’nin pivotları → kaç özdeğer 7’nin üstünde.

Builder Notu: Hessian’da saddle point ucuz teşhisi — LDLᵀ köşegen işaretleri.

27.7 Pozitif Tanım — Tanım ve Testler

Tanım: simetrik + tüm $\lambda > 0$.

Eşdeğer testler:

Test	Koşul
Özdeğerler	hepsi $> 0$
Pivotlar	hepsi $> 0$
Sol-üst alt-determinantlar	hepsi $> 0$

27.8 Örnek — A = ((2, 1), (1, 2))

Simetrik ✓. Pivot $2$, ikinci pivot $3/2$ (det = 3). $\lambda = 1, 3$. Sol-üst alt-det: $2, 3$. Pozitif tanımlı ✓.

Karşı-örnek: $\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ — sol-üst $1 \times 1 = -1 < 0$ → pozitif tanımlı değil (büyük det olsa bile).

“This fails the test because that minus one is negative.” — Strang, 42:12

Determinant tek başına yetmez — TÜM alt-determinantlar gerekir.

import numpy as np

A = np.array([[2, 1], [1, 2]], dtype=float)
print("özdeğerler:", np.linalg.eigvalsh(A))   # [1, 3]
print("sol-üst alt-det 1×1:", A[0, 0])
print("sol-üst alt-det 2×2:", np.linalg.det(A))
print("pozitif tanımlı mı?", np.all(np.linalg.eigvalsh(A) > 0))

# Cholesky (sadece PD için çalışır)
L = np.linalg.cholesky(A)
print("L (Cholesky):\n", L)
print("L Lᵀ = A?", np.allclose(L @ L.T, A))

27.9 Kursun Birleştiği Nokta

Üç ana araç simetrik matriste buluşur:

Pivotlar (Ders 2 — elimination)
Determinantlar (Ch 5)
Özdeğerler (Ch 6)

Simetrik (özellikle PD) matriste her birinin işareti diğerlerini söyler. SVD (Ders 29) bunu n×n simetrik-olmayana genelleştirecek.

27.10 Bu Dersin Özeti

Simetrik: gerçel λ + dik q.
$A = Q\Lambda Q^T$.
Gerçel özdeğer ispatı (eşlenik + simetri).
Spektral ayrışım = $\sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$.
Pivot işareti = özdeğer işareti.
Pozitif tanım üç eşdeğer test.
Determinant tek başına yetmez.

Tek bir cümle

Simetrik matrisler gerçel özdeğer + ortogonal özvektör garantiler ($A = Q\Lambda Q^T$); pozitif tanımlı olanlarda tüm λ, pivot, sol-üst alt-det > 0 — PCA, Cholesky, Hessian, kernel methods’un sağlam temeli.

27.11 Kontrol Soruları

Soru 1: A = ((2,1),(1,2)) pozitif tanımlı mı?

Pivot $2, 3/2$ > 0. $\lambda = 1, 3$ > 0. Alt-det $2, 3$ > 0. ✓ PD.

Soru 2: A = 4q₁q₁ᵀ + q₂q₂ᵀ → λ, det?

$\lambda = 4, 1$. $\det = 4$. trace = 5.

Soru 3: 50×50 simetrik, 30 + pivot, 20 -. Kaç + λ? PD mi?

30 +, 20 -. PD değil (negatif λ var).

Soru 4: PCA ve Cholesky simetrik/PD ile.

PCA: kovaryans simetrik → $A = Q\Lambda Q^T$, $Q$ ana bileşenler, $\Lambda$ varyanslar.

Cholesky ($A = L L^T$) sadece PD için — Gaussian örnekleme $\mathbf{x} = L\mathbf{z}$, GP regresyonu, lineer sistem çözümü.

27.12 Egzersizler

Egzersiz 1. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ PD doğrula (pivot + λ + alt-det).

Egzersiz 2. Spektral ayrışımdan $\lambda$, $\det$.

Egzersiz 3. Pivot işaret sayımıyla özdeğer sayısı.

Egzersiz 4. (Python) eigvalsh, cholesky, alt-det.

Egzersiz 5. İspatla: Simetrik + farklı özdeğerler → özvektörler dik. (İpucu: $\mathbf{x}^T A \mathbf{y}$’yi iki yoldan hesapla.)

27.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

Ders 26: Kompleks Matrisler ve FFT

Hermitian, üniter.
Fourier matrisi $F_n$, FFT $O(n \log n)$.

Ders 26 öncesi

Egzersiz 5 (ortogonal özvektör ispatı).
eigvalsh ile simetrik matris dene.

27.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

Kavram	Tanım	Strang’da
Simetrik	$A = A^T$	0m30
İki gerçek	Gerçel λ + dik q	1m09
Spektral teorem	$A = Q\Lambda Q^T$	8m08
Spektral ayrışım	$\sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$	27m57
Gerçel ispatı	$\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} > 0$	12m29
Hermitian	$\bar{A}^T = A$	24m20
Pivot–λ işareti	Sylvester inertia	32m58
Pozitif tanım	$\lambda > 0$ ⟺ pivot > 0 ⟺ alt-det > 0	36m20

27.15 ML Bağlantıları Özeti

7 köprü

PCA = spektral teorem → Kovaryans → ana bileşenler.
Pozitif tanım = konveks optim → Hessian PD = yerel min.
Cholesky $A = LL^T$ → Gaussian örnekleme, GP regresyon.
Kernel matrisler PD → Kernel PCA, spektral clustering, GP.
Pivot işaret testi → Saddle point teşhisi (LDLᵀ inertia).
Hermitian / üniter → Kuantum, kompleks ağlar, FFT.
Stable training → Simetrik kısıtlar; degenerate olmaz.

Tek bir şey alıp gideceksen

Simetrik → gerçel λ + dik q; $A = Q\Lambda Q^T$ (spektral). PD: tüm λ > 0 (= pivot > 0 = sol-üst alt-det > 0). PCA, Cholesky, Hessian, kernel — ML’in sağlam zemini.

--- title: "Simetrik Matrisler ve Pozitif Tanımlılık" subtitle: "Spektral teorem — A = QΛQᵀ, gerçel λ, ortogonal q" --- ::: {.callout-note title="Bölüm bilgisi"} - **Strang'in videosu:** [YouTube — Lecture 25: Symmetric Matrices and Positive Definiteness](https://www.youtube.com/watch?v=UCc9q_cAhho) (≈44 dk) - **OCW sayfası:** [MIT 18.06SC — Lecture 25](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/resources/lecture-25-symmetric-matrices-and-positive-definiteness/) - **Okuma süresi:** ≈40 dk ::: ## Bu Derste Ne Var? {#sec-bu-derste} Matrislerin en sağlam sınıfı: **simetrik** ($A = A^T$). 1. **İki gerçek:** özdeğerler **gerçel**, özvektörler **dik**. 2. **Spektral teorem:** $A = Q \Lambda Q^T$ ($Q$ ortogonal, $\Lambda$ gerçel köşegen). 3. **Spektral ayrışım:** $A = \sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$. 4. **Pozitif tanım:** tüm $\lambda > 0$ ⟺ tüm pivot $> 0$ ⟺ tüm sol-üst alt-det $> 0$. > *"The eigenvalues are real and the eigenvectors are perpendicular."* — Strang, 1:09 ```{mermaid} %%| label: fig-concept-map %%| fig-cap: "Simetrik → A = QΛQᵀ (spektral teorem). Pozitif tanım → λ, pivot, alt-det > 0; PCA, Cholesky, Hessian." flowchart LR SYM["Simetrik A = Aᵀ"] --> FACT["⭐ Gerçel λ Ortogonal qᵢ"] FACT --> SPEC["A = QΛQᵀ = Σ λᵢqᵢqᵢᵀ"] SYM --> PD["Pozitif tanım"] PD --> EQUIV["λᵢ > 0 ⟺ pivot > 0 ⟺ sol-üst alt-det > 0"] SPEC --> PCA["PCA (kovaryans)"] PD --> CHOL["Cholesky A = LLᵀ"] PD --> HESS["Hessian > 0 = yerel min"] style FACT fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:3px style EQUIV fill:#fff3e0,stroke:#e67e22,stroke-width:2px style PCA fill:#fce4ec,stroke:#c2185b,stroke-width:2px ``` ::: {.callout-tip title="Builder Notu — Simetrik = ML'in Sağlam Zemini"} - **Spektral teorem** → **PCA**: kovaryans simetrik → gerçel + ortogonal → ana bileşenler. - **Pozitif tanım** → **kovaryans, kernel (Gram), Hessian** (konveks optimizasyon). - **Cholesky** ($A = LL^T$) sadece pozitif tanım için — Gaussian örnekleme, GP regresyon. - **Pivot–özdeğer işaret eşitliği** → Hessian'da saddle point teşhisi (Sylvester inertia). ::: ## İki Ana Gerçek {#sec-iki-gercek} 1. **Özdeğerler gerçel**. 2. **Özvektörler dik** (ortonormal seçilebilir). Farklı özdeğerlerde otomatik dik; tekrarlı özdeğerde özuzaydan dik baz seçilir. **Simetrik matris asla degenerate olmaz** — her zaman tam özvektör seti. ## Spektral Teorem — $A = Q\Lambda Q^T$ ⭐ {#sec-spektral} Genel $A = S\Lambda S^{-1}$'de $S = Q$ (ortogonal): $$ \boxed{A = Q \Lambda Q^T, \quad Q^T Q = I, \quad Q^{-1} = Q^T} $$ Simetri açık: $(Q\Lambda Q^T)^T = Q \Lambda^T Q^T = Q \Lambda Q^T = A$. ## Gerçel Özdeğer İspatı {#sec-gercel-ispat} $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$. Eşlenik + transpoze: $$ \bar{\mathbf{x}}^T A^T = \bar{\mathbf{x}}^T \bar{\lambda} $$ **Simetri** ($A^T = A$): $$ \bar{\mathbf{x}}^T A = \bar{\mathbf{x}}^T \bar{\lambda} $$ İlk denklemi $\bar{\mathbf{x}}^T$ ile, ikinciyi $\mathbf{x}$ ile çarp → sol taraflar aynı: $$ \lambda \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = \bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} $$ $\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = \sum |x_i|^2 > 0$ → $\lambda = \bar{\lambda}$ → **gerçel**. **Kompleks "iyi" matris:** $\bar{A}^T = A$ (**Hermitian**). Gerçel durumda = simetrik. ## Spektral Ayrışım {#sec-spek-ayrisim} $A = Q\Lambda Q^T$'yi kolon × satır: $$ \boxed{A = \sum_i \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T} $$ Her $\mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$ = **dik projeksiyon matrisi** (birim vektör, $\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_i = 1$ → $P^2 = P$). > *"Every symmetric matrix is a combination of mutually perpendicular projection matrices."* — Strang, 27:57 **Builder Notu:** Bu ayrışım PCA'nın özü — veri = ana bileşen projeksiyonlarının ağırlıklı toplamı, ağırlıklar = varyanslar (özdeğerler). ## Pivot İşareti = Özdeğer İşareti {#sec-pivot-eig} **Sylvester's law of inertia:** $$ \#\{\text{pozitif pivot}\} = \#\{\text{pozitif özdeğer}\} $$ 50×50 matris için 50 özdeğer hesaplamak pahalı ve kararsız; pivotlar hızlı ve kararlı. **Kuşatma:** $A - 7I$'nin pivotları → kaç özdeğer 7'nin üstünde. **Builder Notu:** **Hessian'da saddle point** ucuz teşhisi — LDLᵀ köşegen işaretleri. ## Pozitif Tanım — Tanım ve Testler {#sec-PD} **Tanım:** simetrik + tüm $\lambda > 0$. **Eşdeğer testler:** | Test | Koşul | |------|-------| | Özdeğerler | hepsi $> 0$ | | Pivotlar | hepsi $> 0$ | | Sol-üst alt-determinantlar | hepsi $> 0$ | ## Örnek — A = ((2, 1), (1, 2)) {#sec-ornek} Simetrik ✓. Pivot $2$, ikinci pivot $3/2$ (det = 3). $\lambda = 1, 3$. Sol-üst alt-det: $2, 3$. **Pozitif tanımlı** ✓. **Karşı-örnek:** $\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ — sol-üst $1 \times 1 = -1 < 0$ → pozitif tanımlı **değil** (büyük det olsa bile). > *"This fails the test because that minus one is negative."* — Strang, 42:12 **Determinant tek başına yetmez — TÜM alt-determinantlar gerekir.** ```{python} #| label: code-PD #| code-fold: false import numpy as np A = np.array([[2, 1], [1, 2]], dtype=float) print("özdeğerler:", np.linalg.eigvalsh(A)) # [1, 3] print("sol-üst alt-det 1×1:", A[0, 0]) print("sol-üst alt-det 2×2:", np.linalg.det(A)) print("pozitif tanımlı mı?", np.all(np.linalg.eigvalsh(A) > 0)) # Cholesky (sadece PD için çalışır) L = np.linalg.cholesky(A) print("L (Cholesky):\n", L) print("L Lᵀ = A?", np.allclose(L @ L.T, A)) ``` ## Kursun Birleştiği Nokta {#sec-birlesim} Üç ana araç simetrik matriste buluşur: - **Pivotlar** (Ders 2 — elimination) - **Determinantlar** (Ch 5) - **Özdeğerler** (Ch 6) Simetrik (özellikle PD) matriste her birinin işareti diğerlerini söyler. SVD (Ders 29) bunu n×n simetrik-olmayana genelleştirecek. ## Bu Dersin Özeti {#sec-ozet} 1. **Simetrik**: gerçel λ + dik q. 2. **$A = Q\Lambda Q^T$**. 3. Gerçel özdeğer ispatı (eşlenik + simetri). 4. **Spektral ayrışım** = $\sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$. 5. **Pivot işareti = özdeğer işareti**. 6. **Pozitif tanım** üç eşdeğer test. 7. Determinant tek başına yetmez. ::: {.callout-important title="Tek bir cümle"} Simetrik matrisler gerçel özdeğer + ortogonal özvektör garantiler (**$A = Q\Lambda Q^T$**); pozitif tanımlı olanlarda tüm λ, pivot, sol-üst alt-det > 0 — PCA, Cholesky, Hessian, kernel methods'un sağlam temeli. ::: ## Kontrol Soruları {#sec-sorular} ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 1: A = ((2,1),(1,2)) pozitif tanımlı mı?"} Pivot $2, 3/2$ > 0. $\lambda = 1, 3$ > 0. Alt-det $2, 3$ > 0. ✓ **PD**. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 2: A = 4q₁q₁ᵀ + q₂q₂ᵀ → λ, det?"} $\lambda = 4, 1$. $\det = 4$. trace = 5. ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 3: 50×50 simetrik, 30 + pivot, 20 -. Kaç + λ? PD mi?"} **30 +, 20 -**. PD **değil** (negatif λ var). ::: ::: {.callout-note collapse="true" title="Soru 4: PCA ve Cholesky simetrik/PD ile."} **PCA:** kovaryans simetrik → $A = Q\Lambda Q^T$, $Q$ ana bileşenler, $\Lambda$ varyanslar. **Cholesky** ($A = L L^T$) sadece PD için — Gaussian örnekleme $\mathbf{x} = L\mathbf{z}$, GP regresyonu, lineer sistem çözümü. ::: ## Egzersizler {#sec-egzersizler} **Egzersiz 1.** $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ PD doğrula (pivot + λ + alt-det). **Egzersiz 2.** Spektral ayrışımdan $\lambda$, $\det$. **Egzersiz 3.** Pivot işaret sayımıyla özdeğer sayısı. **Egzersiz 4.** *(Python)* `eigvalsh`, `cholesky`, alt-det. **Egzersiz 5.** *İspatla:* Simetrik + farklı özdeğerler → özvektörler dik. (İpucu: $\mathbf{x}^T A \mathbf{y}$'yi iki yoldan hesapla.) ## Sonraki Ders İçin Hazırlık {#sec-sonraki} **Ders 26: Kompleks Matrisler ve FFT** - Hermitian, üniter. - Fourier matrisi $F_n$, FFT $O(n \log n)$. ::: {.callout-warning title="Ders 26 öncesi"} - Egzersiz 5 (ortogonal özvektör ispatı). - `eigvalsh` ile simetrik matris dene. ::: ## Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet) {#sec-cheat-sheet} | Kavram | Tanım | Strang'da | |--------|-------|-----------| | **Simetrik** | $A = A^T$ | 0m30 | | **İki gerçek** | Gerçel λ + dik q | 1m09 | | **Spektral teorem** | $A = Q\Lambda Q^T$ | 8m08 | | **Spektral ayrışım** | $\sum \lambda_i \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T$ | 27m57 | | **Gerçel ispatı** | $\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} > 0$ | 12m29 | | **Hermitian** | $\bar{A}^T = A$ | 24m20 | | **Pivot–λ işareti** | Sylvester inertia | 32m58 | | **Pozitif tanım** | $\lambda > 0$ ⟺ pivot > 0 ⟺ alt-det > 0 | 36m20 | ## ML Bağlantıları Özeti {#sec-ml-baglantilar} ::: {.callout-tip title="7 köprü"} 1. **PCA = spektral teorem** → Kovaryans → ana bileşenler. 2. **Pozitif tanım = konveks optim** → Hessian PD = yerel min. 3. **Cholesky $A = LL^T$** → Gaussian örnekleme, GP regresyon. 4. **Kernel matrisler PD** → Kernel PCA, spektral clustering, GP. 5. **Pivot işaret testi** → Saddle point teşhisi (LDLᵀ inertia). 6. **Hermitian / üniter** → Kuantum, kompleks ağlar, FFT. 7. **Stable training** → Simetrik kısıtlar; degenerate olmaz. ::: ::: {.callout-important title="Tek bir şey alıp gideceksen"} Simetrik → gerçel λ + dik q; **$A = Q\Lambda Q^T$** (spektral). PD: tüm λ > 0 (= pivot > 0 = sol-üst alt-det > 0). PCA, Cholesky, Hessian, kernel — ML'in sağlam zemini. :::

27.1 Bu Derste Ne Var?

27.2 İki Ana Gerçek

27.3 Spektral Teorem — \(A = Q\Lambda Q^T\) ⭐

27.4 Gerçel Özdeğer İspatı

27.5 Spektral Ayrışım

27.6 Pivot İşareti = Özdeğer İşareti

27.7 Pozitif Tanım — Tanım ve Testler

27.8 Örnek — A = ((2, 1), (1, 2))

27.9 Kursun Birleştiği Nokta

27.10 Bu Dersin Özeti

27.11 Kontrol Soruları

27.12 Egzersizler

27.13 Sonraki Ders İçin Hazırlık

27.14 Anahtar Kavramlar (Cheat Sheet)

27.15 ML Bağlantıları Özeti